2025屆山東省濟寧市達標名校高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆山東省濟寧市達標名校高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.322．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.23．已知拋物線內(nèi)一點，過點的直線交拋物線于，兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C D.4．已知離散型隨機變量X的分布列如下：X123P則數(shù)學期望（）A. B.C.1 D.25．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.6．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.7．函數(shù)為的導函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.8．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.9．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務.一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.10．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.111．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.12．以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______14．已知拋物線的焦點F為，過點F的直線交該拋物線的準線于點A，與該拋物線的一個交點為B，且，則______15．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設上存在極大值M，證明：.16．在數(shù)列中，滿足，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺16200元，第一年每臺設備的維修保養(yǎng)費用為1100元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益8100元（1）每臺充電樁第幾年開始獲利？（2）每臺充電樁在第幾年時，年平均利潤最大18．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角正弦值.20．（12分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件，補充在下面的問題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿足_________，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A3、B【解析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.4、D【解析】利用已知條件，結(jié)合期望公式求解即可【詳解】解：由題意可知：故選：D5、A【解析】根據(jù)離心率求出的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.6、A【解析】利用基本不等式可得，進而可得，即求.【詳解】∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴，，∴.故選：A.7、B【解析】求導后，令，可求得，再利用導數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因為，所以，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導數(shù)可得的單調(diào)性.8、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據(jù)復合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】根據(jù)遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A10、A【解析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.11、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數(shù)乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A12、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.【點睛】此題利用設而不求的方法，找出、、、之間的關(guān)系，化簡即可得到的值.此題的難點在于計算量較大，且容易計算出錯.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】取CD的中點O，以O為原點，以CD所在直線為x軸，以底面內(nèi)過點O且與CD垂直的直線為y軸，以過點O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為：14、【解析】作垂直于準線，垂足為，準線與軸交于點，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點坐標，準線方程，作垂直于準線于，準線與軸交于點，則，∴.∵，∴，由拋物線的定義得，∴.故答案為：.15、（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）詳見解析.【解析】（1）求得，利用和即可求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間；（2）求得函數(shù)的解析式，求，對的情況進行分類討論得到函數(shù)有極大值的情形，再結(jié)合極大值點的定義進行替換、即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當時，令，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間中單調(diào)遞減，當時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由函數(shù)，則，令，可得令，解得，當時.，函數(shù)在單調(diào)遞增，此時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時不存在極大值，當時，令解得，令，解得，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為在上存在極大值，所以，解得，因為，易證明，存在時，，存在使得，當在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，即，，由，所以【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題16、15【解析】根據(jù)遞推公式，依次代入即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，當時，可得，當時，可得，當時，可得，故答案為：15.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）公司從第3年開始獲利；（2）第9年時每臺充電樁年平均利潤最大3600元【解析】（1）判斷已知條件是等差數(shù)列，然后求解利潤的表達式，推出表達式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【詳解】（1）每年的維修保養(yǎng)費用是以1100為首項，400為公差的等差數(shù)列，設第n年時累計利潤為f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），開始獲利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司從第3年開始獲利；（2）每臺充電樁年平均利潤為當且僅當，即n=9時，等號成立即在第9年時每臺充電樁年平均利潤最大3600元【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的實際應用，基本不等式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題18、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，再由，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設點，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖：因為三角形是等邊三角形，所以，又因為面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，在上找一點，其中，，，，設面的一個法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點，符合題意.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程，解得M坐標，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果【詳解】（1）因為，為的中點，所以，且連結(jié)因為，所以為等腰直角三角形，且由知由知平面（2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系由已知得取平面的法向量設，則設平面的法向量為由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以與平面所成角的正弦值為【點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”20、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項公式.當①②時，設數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關(guān)系式，列方程求出與，求出，寫出的通項公式，可得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選②③時，設數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，解出與，寫出的通項公式，可得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選①③時，設數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因為，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時，設數(shù)列公差為，因為，所以，因為，所以時，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時，設數(shù)列公差為，因為，所以，即，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，因為，所以，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.選①③時，設數(shù)列公差為，因為，所以時，，所以.又因為，，成等比