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2025屆江西省宜春第九中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.102.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.3.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.20174.已知三棱錐中,是等邊三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.5.學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為、、、、五個(gè)等級(jí).某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生,其另外一科等級(jí)為,則該班()A.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人6.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn),且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.已知,則()A. B. C. D.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.84二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線是曲線的一條切線為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則實(shí)數(shù)__________.14.若為假,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15.記等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,若,則______.16.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點(diǎn),連接,為的中點(diǎn),連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:19.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列,求的值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,證明:.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)為3的線段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng),點(diǎn)為線段上的點(diǎn),且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點(diǎn)為曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),記,判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)的值和這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,在底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點(diǎn),.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,計(jì)算得到答案.【詳解】,驗(yàn)證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,圖像共有8個(gè)交點(diǎn),故所有解之和等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;B.,值域?yàn)?,奇函?shù),排除;C.,值域?yàn)?,奇函?shù),滿足;D.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.3、D【解析】
依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.4、D【解析】
根據(jù)底面為等邊三角形,取中點(diǎn),可證明平面,從而,即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為,可求得到平面的距離,畫出幾何關(guān)系,設(shè)球心為,即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑,進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn),是等邊三角形,所以,又因?yàn)?,且,所以平面,則,由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面等邊的重心為,可得,,所以三棱錐的外接球球心在面下方,設(shè)為,如下圖所示:由球的性質(zhì)可知,平面,且在同一直線上,設(shè)球的半徑為,在中,,即,解得,所以三棱錐的外接球表面積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算,正三棱錐的外接球半徑求法,球的表面積求法,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對(duì)于A選項(xiàng),物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)物理和,化學(xué)都是時(shí),或化學(xué)和,物理都是時(shí),物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生,因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人,所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為(人),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少(人),D選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.6、C【解析】
顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)即時(shí),取等號(hào),當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運(yùn)用基本不等式時(shí),滿足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗?,?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.9、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查向量知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.10、A【解析】
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).12、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)切線的斜率為,利用導(dǎo)數(shù)列方程,由此求得切點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得切線方程,通過(guò)對(duì)比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點(diǎn)為,故切線為,即,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由為假,可知為真,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求出的最小值,令即可.【詳解】因?yàn)闉榧?,則其否定為真,即為真,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用,利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】
結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因?yàn)?所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)椋?,?dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)取等號(hào),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)連接,證明,得到面,得到證明.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(1)連接,在四邊形中,,平面,面,,,面,又面,,又在直角三角形中,,為的中點(diǎn),,,面,面,.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,,,,,令,則,,,同理可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)向量與的所成的角為,,由圖形知,二面角為銳二面角,所以余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、(Ⅰ)最小值為;(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果;(2)利用分析法證明,結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】(Ⅰ)則當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),所以的最小值為.(Ⅱ)要證明:,只需證:,即證明:,由,也即證明:.因?yàn)?,所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式,分析法證明不等式,審清題意,仔細(xì)計(jì)算,屬中檔題.19、(1)證明見(jiàn)解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項(xiàng),分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因?yàn)閚,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當(dāng)時(shí),,所以,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)椋?,,,,,,,,,,所?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由在上恒成立,采用分離參數(shù)法求解;(2)觀察函數(shù),不等式湊配后知,利用時(shí)可證結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以,即在上恒成立因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減的,所以,所以(2)因?yàn)?,所以由?)知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減所以即所以.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來(lái),利用函數(shù)的特例得出不等式的證明.21、(1)(2)存在;常數(shù),定值【解析】
(1)設(shè)出的坐標(biāo),利用以及,求得曲線的方程.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)出直線的方程,求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合以及為定值,求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù),且定值.【詳解】(1)解析:(1)設(shè),,由題可得,解得又,即,消去得:(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為設(shè),由可得:由點(diǎn)到的距離為定值可得(為常數(shù))即得:即,又為定值時(shí),,此時(shí),且符合當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)
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