湖北省武漢某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

湖北省武漢外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（1-2尤）6的展開式中V的系數(shù)為（）

A.-160B.160C.-80D.80

2.設(shè)a,§,7是三個不同平面，J3.aAR/=?,貝U"加〃〃"是"a〃7"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，準(zhǔn)備在A、3、。三個景點中選擇一個去游玩，已

知每個景點至少有一位同學(xué)會選，五位同學(xué)都會進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學(xué)

生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.72

4.現(xiàn)有一個橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為1,將它重新制作成一個體積與高均

不變的圓錐，則該圓錐的底面積為（）

A.2#＞兀B.3萬C.3兀+2△兀D.3工支

5.下列說法中正確的是（）

A.根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/=6.88.依據(jù)a=0.005對應(yīng)的

%=7.879的獨立性檢驗，結(jié)論為：變量x與y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.005.

B.在做回歸分析時，殘差圖中殘差比較均勻分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平

帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度越窄表示回歸效果越差.

C.X~N（〃,02）,當(dāng)〃不變時，。越大，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖.

D.已知變量無、＞線性相關(guān)，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程式3=0.4X+A,且由樣本數(shù)

據(jù)算得了=4,歹=3.7,則展=2.

6.已知等差數(shù)列｛%｝中，R是函數(shù)/（x）=sin12x-胃的一個極大值點，則tand+w）的

值為（）

試卷第1頁，共4頁

A..

B.V3C.±5/3D.—573

3

7.設(shè)函數(shù)/(X)=X3-G+1,則下列正確的是()

A.當(dāng)。=0時，了=1不是f(x)的切線

B.存在。，使得＞=/(x)沒有對稱中心

C.若/(x)有三個不同的零點五,麥,￡,則匹+%+%=0

D.當(dāng)。＞0時，若西62是/'(x)的極值點，則m了2=0

202522025

8.已知S,是數(shù)列｛勾｝的前〃項和，(1-2x)=a0+fllx+a2x+.?.+?2025x,數(shù)歹U｛6n｝的

首項4號+墨+號+…+患,…=2"("eN*),貝居必=()

A.-3-21014B.-2-3.21012C.2-3.21012D.3-21014

二、多選題

9.泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻

在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點/(2,0),直線/:x=-3,動點尸到點A的距離比到直線/的距離小

1.若某直線上存在這樣的點P,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是()

A.點尸的軌跡曲線是線段

B.y=x+2是“最遠(yuǎn)距離直線”

C.過點A的直線與點尸的軌跡交于M、N兩點，則以為直徑的圓與N軸相交

D.過點A的直線與點尸的軌跡交于M、N兩點，貝1」|九例+2|附|的最小值為3+2后

10.一只口袋中裝有形狀、大小都相同的8個小球，其中有黑球2個，白球2個，紅球4

個，分別用有放回和無放回兩種不同方式依次摸出3個球.則()

A.若有放回摸球，設(shè)摸出紅色球的個數(shù)為X,則方差。(X)=1

B.若有放回摸球，則摸出是同一種顏色球的概率弓

16

C.若無放回摸球，設(shè)摸出紅色球的個數(shù)為X,則期望E(x)=]

D.若無放回摸球，在摸出的球只有兩種不同顏色的條件下，摸出球是2紅1白的概率

試卷第2頁，共4頁

11.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/，(x)和g"),若

/(2x-l)=g(x)-2x,g(x+l)為偶函數(shù),f[-x)=f{x),則()

A.g[2)=2八3)+2B.g\2)=4

2024(i\

C.八3"(33)=99D.J=4048

三、填空題

12.求函數(shù)/(x)=T在點尸(兀,0)處的切線方程(請寫成一般式)

13.已知片是雙曲線l(a>0,b>0)的左、右焦點，以巴為圓心的圓與雙曲

線的兩支分別在第一第二象限交于43兩點，且2而=耳，則雙曲線的離心率為

14.小明對數(shù)學(xué)課上的隨機(jī)游走模型充滿興趣，思維也進(jìn)入豐富的想象，他將自己想象成一

顆粒子，在一個無限延展的平面上，從平面直角坐標(biāo)系的原點出發(fā)，每秒向上、向下、向左、

向右移動一個單位，且向四個方向移動的概率均為;，記第〃秒末小明回到原點的概率為2,

求“=，P2?=(與"有關(guān)的式子，附：^?了二仁“).

k=0

四、解答題

15.已知V/5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,滿足2a4058-。+°=。.

(1)證明：B=2A；

(2)若sinN=；,6=4五，求VA8C的面積.

16.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓氏彳+餐=1(°>6>0)左焦點為片，離心率為5,

且過點/1,十，直線/月與橢圓c相交于另一點乩

(1)求E的方程;

⑵設(shè)點M在橢圓E上，記△CUN與△比45的面積分別為岳，S?,若S2=2S1，求點〃的

坐標(biāo).

TT

17.如圖，在三棱柱/8C-481cl中，VN8C是正三角形，四邊形為菱形，ZAtAC=j,

試卷第3頁，共4頁

AXB=y/2AB.

B

(1)證明：4G，nr；

(2)求二面角的正弦值.

18.(1)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+x)-金，當(dāng)尤>0時，/(x)>0恒成立，求。的取值范圍；

(2)從編號1至100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取

20次,設(shè)抽到20個號碼互不相同的概率為。，證明：p

19.已知有窮正項數(shù)列機(jī))，若將數(shù)列每項依次圍成一圈，滿足每一項等于相鄰兩

項的乘積，則稱該數(shù)列可圍成一個“T-Circle”.例如：數(shù)列｛W｝,都可圍成

“T-Circle”.

(1)設(shè)4=。，當(dāng)機(jī)=5時，是否存在。使該數(shù)列可圍成“T-Circle”，并說明理由.

(2)若｛g｝的各項全不相等，且可圍成“T-Circle”，寫出他的取值(不必證明)，并寫出一個滿

足條件的數(shù)列.

(3)若｛%｝的各項不全相等，且可圍成“T-Circle"，求/的取值集合.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ABBBCDCDBCACD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，令工的指數(shù)為3,即可求出展開式中/的系數(shù).

【詳解】解：（1-2無）6展開式的通項公式為&|=瑪（-2"'，

令廠=3時，得展開式中x3的系數(shù)為C；（-2丫=-160.

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)題意，空間中直線與平面的位置關(guān)系，分別驗證充分性以及必要性，即可得到

結(jié)果.

【詳解】因為an〃=機(jī)，BCy=n,m〃n,則夕，7可能相交，

故，〃"”推不出充分性不滿足；

P^Y=n,a//y,由面面平行的判定定理可知加〃”，

故必要性滿足；

所以“加〃"”是必要不充分條件.

故選：B

3.B

【分析】根據(jù)題意，分組方式有1,2,2與1,1,3,由分組分配的計算公式，代入計算，即可求

解.

【詳解】若甲乙選擇的景點沒有其他人選，則分組方式為122的選法為=18種；

若甲乙選擇的景點還有其他人選，則分組方式為1,1,3的選法為卡?A；=18種；

所以總的不同的選法種數(shù)為18+18=36種.

故選：B

4.B

【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式計算.

答案第1頁，共16頁

71

【詳解】設(shè)圓錐的底面積為S,貝=解得S=3元.

故選：B.

5.C

【分析】根據(jù)獨立性檢驗、殘差分析、正態(tài)分布、線性回歸方程相關(guān)知識進(jìn)行分析，得出正

確答案.

2

【詳解】對A,Z=6.88<7.879,所以結(jié)論為變量尤與N獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率超

過0.005,A選項錯誤；

對B,在做回歸分析時，殘差圖中殘差比較均勻分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶

狀區(qū)域內(nèi)，且寬度越窄表示回歸效果越好，B選項錯誤；

對C,X~N(4,/),當(dāng)〃不變時，。越大，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖，C選

項正確；

對D,由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程式i=0.4x+3,且由樣本數(shù)據(jù)算得元=4,歹=3.7,則

5=2.1，D選項錯誤.

故選：C.

6.D

2兀

【分析】由題意可得2&=3+2版,后eZ,再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得。4+4=2%，從而可

求出tan(%+1)的值.

【詳解】因為&是函數(shù)〃x)=si“2x-「|的一個極大值點，

7171

所以2a6——=—+2左兀,左￡Z,

62

2兀_

所以2久=H2E,keZ,

3

因為｛%J為等差數(shù)列，所以&+。8=2〃6，

所以tan(“4+08)=tan(2?6)=tan[^+2左兀]=tan-6.

故選：D

7.C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得y=f(%)在店(0,1)處的切線方程>=1,可判定A錯誤；

答案第2頁，共16頁

根據(jù)貝！l/(-x)+/(x)=2,得到f(x)關(guān)于(0,1)對稱，可判定B不正確；設(shè)/(無)=d-辦+1

的三個零點分別為西,馬，馬,結(jié)合-辦+l=(x-%)(尤-電)(尤-%),可判定C正確；根據(jù)

f'(x)=3x2-a,令/(x)=0,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確.

【詳解】對于A中，當(dāng)“=0時，/(無)=丁+1,貝l]/(x)=3無=可得/'(0)=0,

所以曲線曠=/Q)在點(0,1)處的切線方程為y=1,所以A錯誤；

對于B中，函數(shù)/'(X)=J?一辦+1,可得/'(-力=_；!?+ax+l,

則/(一x)+/(x)=2,所以函數(shù)“X)關(guān)于點(0,1)對稱,

即對于任意。，曲線y=/(x)關(guān)于點(0,1)對稱，所以B不正確；

設(shè)函數(shù)/'@)=尤3-辦+1的三個零點分別為網(wǎng),乙戶3，

332

則有x-ax+\=(x-x^x-x2)(x-x3)=x-(x1+x,+^3)x-(xxx2+x1x3+x2x3)x-xrx2x3,

對比含/的系數(shù)，可得匹+/+馬=0，所以C正確；

對于D中，當(dāng)a>0時，由〃力=/-辦+1,可得/"'(x)=3/-a,

令/'(x)=0,即3/一a=o,可得占52=-。>0,所以D錯誤.

故選：C.

8.D

【分析】分另U將x=0和x=；帶入，求解出片的值，根據(jù)%「2=2"("eN*)得出5=2,

/un

然后利用等比數(shù)列求和公式，得出答案.

【詳解】當(dāng)x=0時，旬=1;

當(dāng)％時，即+1~+今+…+袋般=°'所以4=—g)=T,

又"也=2,所以仇=-2,因為]?用?=2'所以骼=2.

IA+2也+1=2

S2025=b\+b2+4+d+…+%25=(4+4+…+4025)+僅2+"+…+%24)

=(一1)(1-2⑹3)?(—2)(1-2⑹？=￥2⑹4

1-21-2

故選：D.

9.BC

答案第3頁，共16頁

【分析】由題意可知動點p到點A的距離等于到直線》=-2的距離，所以可知點P的軌跡是

以/（2,0）為焦點的拋物線，求出軌跡方程，然后逐個分析判斷即可.

【詳解】因為點工（2,0）,直線/：x=-3,動點P到點A的距離比到直線/的距離小1,

所以動點尸到點A的距離等于到直線x=-2的距離，

所以點P的軌跡是以4（2,0）為焦點，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，

所以拋物線方程為V=8x,

對于A,點P的軌跡是拋物線，所以A錯誤，

[y2=8x

對于B,由<,得/_4%+4=0,角星得x=2,y=4

[y=x+2

2

所以直線>=x+2與拋物線7=8x相交于點（2,4）,

所以歹=%+2是“最遠(yuǎn)距離直線”，所以B正確，

對于C,設(shè)過點力（2,0）的直線為了=加歹+2（加。0）,M（xx,yx\N（x2,y2）,

fj^2=8x2

由《，得〉一8町-16=0,

[x=my+2

A=64m2+64>0

所以必+%=8加，%%=T6,

2

所以再+=加必+2+my2+2=加（必+y2）+4=8m+4,

所以2

\MN\=XX+X2+p=8m+8,

所以以MN為直徑的圓的半徑為-=4/+4,

因為圓心到V軸的距離為土上=4療+2<r,

2

所以以為直徑的圓與y軸相交，所以c正確，

答案第4頁，共16頁

對于D,+2|附|=+1附|+1附|=\MN\+1附I=w+/+〃+9+f=8/+10+Z>10，

所以D錯誤，

故選：BC

10.ACD

【分析】根據(jù)題意有放回摸球時為二項分布，無放回摸球時為超幾何分布，根據(jù)兩種不同方

式和條件概率判斷各個選項；

【詳解】對于A,根據(jù)題意有放回摸球時為二項分布，摸到紅球的概率為

o2

依次摸出3個球，則'~2(3,；),所以D(X)=3xgx(l-；)=1,A正確；

21

對于B,根據(jù)題意有放回摸球時為二項分布，摸到黑球的概率為％=:，

84

摸到白球的概率為]=:，摸到紅球的概率為:=；,依次摸出3個球，

所以摸出是同一種顏色球的概率(；>+0)3+(g)3=卷，B錯誤；

對于C,無放回摸球時為超幾何分布，依次摸出3個球，設(shè)摸出紅色球的個數(shù)為X,

X的可能取值為0,1,2,3,

則尸(X=0)=*《,尸(")=雪弓

P(X=2)=-?-=-,尸(X=3)=W=-1-,

C；7C；14

1331Q

貝lj期望￡(X)=0x—+lx—+2義一+3x—=—,C正確；

')1477142

對于D,若無放回摸球，在摸出的球只有兩種不同顏色有黑白、黑紅、紅白，

則摸出的球只有兩種不同顏色的概率為C9+C泣+C；C[C；C；+c；c"c：c；白,

c；14

CY3

摸出球是2紅1白的概率為*=白，

C；14

3

一1

確

-D正

在摸出的球只有兩種不同顏色的條件下，摸出球是2紅1白的概率為1943-

一

14

故選：ACD.

11.ACD

答案第5頁，共16頁

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則取特值判斷A,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的運算法則可得g'（x）

的圖象關(guān)于（1,0）點對稱，/'（x）的圖象關(guān)于（。,0）點對稱，利用對稱性判斷BC,根據(jù)函數(shù)的

運算性質(zhì)和對稱性判斷D即可.

【詳解】選項A：因為/（2x-l）=g（x）-2x,所以2廣（2*-1）=/（為一2,

所以當(dāng)x=2時，2八3）=（⑵-2,即乳2）=2廣（3）+2,A說法正確;

選項B：因為。（久+1）為偶函數(shù)，所以g（-x+l）=g（x+l）,

所以一g'（-x+l）=g'（x+l）,即8'（-》+1）+8'（％+1）=0,

所以g'（x）的圖象關(guān)于（1,0）點對稱，g'（l）=0,

又因為f（一久）=f（x）,所以一/'（-力=/'（尤）,即/（-尤）+廣（力=0,

所以f'Q）的圖象關(guān)于（0,0）點對稱，

所以由A得?；ǘ?，解得g'0=4,所以g'2=-4,B說法錯誤；

127（l）=g（1）-2

選項C：因為g'（x）的圖象關(guān)于（1,0）點對稱，尸⑺的圖象關(guān)于（0,0）點對稱，

所以由2/'（2x—1）=g'（尤）一2得2/,（3—2x）=-2/'（2x-3）=g'（2-x）-2=-g'（x）-2,

所以/（2X—1）——（2A3）=_2,

將g'（2）=-4代入g<2）=2/⑶+2得/（3）=-3,

所以/（33）=-3+（-2*15=-33,所以廣（3）/（33）=99,C說法正確；

選項D：因為八久）的圖象關(guān)于（0,0）點對稱，所以的圖象關(guān)于&0）對稱,

所以g〈x）=2/（2x7）+2的圖象關(guān)于&,21對稱，

所以

2024(■

(2025擊"［黑1Hgi晟)+釜I+…+kSi>蜷I

=4x1012=4048,D說法正確;

答案第6頁，共16頁

故選：ACD

12.x+町一兀=0

【分析】由題干函數(shù)解析式可得/■（兀）=0,求導(dǎo)可得了'（兀）=-工，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入

71

點斜式方程求解，化為直線的一般式方程即可.

【詳解】因為/（X）=乎，則/，（x）=xcos：［Sinx,

可得/"（可=0,/,（7T）=--,即切點坐標(biāo)為（兀,0）,切線斜率左=」，

71兀

所以切線方程為〉=-工（尤-兀），整理可得尤+利-兀=0.

故答案為：x+Tty—n=0.

【分析】連接/耳,巡交于點。，由2屆=享可得△^亞與人以犯相似，結(jié)合雙曲線的定

義可得忸聞=2°,\BF2\=4a,\DFi\=2a,再利用余弦定理列式即可求解.

【詳解】如圖所示連接/耳凈巴交于點D,

因為2而=可，則所以△/亞與A引才;相似,

設(shè)以閭=忸閶=尺，則忸凰=g,

由雙曲線的定義可得歸工|-必用=①，解得R=4a,

所以忸周=2a,忸引=4%|/4|=6a,\BD\=^\BF2\=^a,|D^|==2a,

的「+|明,一片講忸川+忸引-山引

由余弦定理可得cosN/5鳥=

2\BF^\BD2|附此|

“2162A1

4。H----a—4。

44+16。2一4c2*2311

即9________整理得=r=u,

cC42

2x2ax—a2x2Qx4Qa3

3

答案第7頁，共16頁

所以e=—二---，

a3

故答案為：叵

3

142GJ

6442"

【分析】由題意得粒子在第4秒回到原點，分兩種情況考慮，再由古典概率公式求解即可,

第2〃秒未要回到原點，則必定向左移動左步，向右移動左步，向上移動，，-左步，向下移動力-無

步，表示出。2”.

【詳解】由題意得粒子在第4秒回到原點，分兩種情況考慮,

①每一步分別是四個不同方向的排列，共有A：種情況,

②每一步分別是兩個相反方向的排列，共有2C：種情況,

所以小=從注與

444x4x4x464

第2〃秒未要回到原點，

則必定向左移動左步，向右移動左步，向上移動，?后步，向下移動力-左步,

所以。2”=￡"CL1寸（2"）!

4筋4如￡（砌2K〃一砒2

k=0

=1(2n)!<_____（_M_!）_2_______1”，“方…

42n(M!)2S(^!)2[(?-^)!]2-42"

&U冬5=空

9

故答案為：才

42n

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二空解決的關(guān)鍵是分析得第2〃秒未要回到原點，粒子的運動

情況，從而得解.

15.(1)證明見解析

0、4672

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化代入計算，結(jié)合正弦的和差角公式，即可證

明；

(2)根據(jù)題意，由二倍角公式可得sinB,由正弦定理可得。，代入2a<0$5-。+。=0可得

c,再由三角形的面積公式代入計算，即可得到結(jié)果.

答案第8頁，共16頁

【詳解】(1)證明：由2Q,COS5—C+Q=0可得2sinZ,cosB—sinC+sinZ=0,

即2sin4-cosB-sinC4+5)+sinZ=0,化簡得sin/=sin(5-4),

因為45為V/5C的內(nèi)角，所以有4=3—4,得3=24.

(2)由⑴可知A為銳角，由sin/=；,得cos/=孚，

所以sin?=2sin/?cos/,cos5=Jl-,

9O9J9

由正弦定理一二=—j可得-sinN=3,

sinBsinAsmB

23

依題2Q?COSB-C+Q=0,帶入相應(yīng)得值可得。=丁,

所以SMBC=sin/==2.

16.(1)￡,：—+y2=l

⑵卜,昔書

求得橢圓方程；

（2）將S,MAB=2s.0AB,轉(zhuǎn)化為在V軸上取點尸，使得P到直線AB的距離是O到直線AB的

距離的兩倍，求出點尸的坐標(biāo)，過44作與N3平行的直線。12,與橢圓方程聯(lián)立可求出

點、M的坐標(biāo).

【詳解】（1）由題可得■V^---7V解的/=2,b

即E:工+/=1；

2

答案第9頁，共16頁

（2）由（1）得￡（-1,0）,則直線N8:y=,（x+1）,直線48與》軸交點為N（0,乎），

由題邑"43=2s40AB，轉(zhuǎn)化為在y軸上取點P,

使得P到直線的距離是O到直線NB的距離的兩倍,

2IV2I1—4/+V2I

設(shè)點尸（0,。，則1T.解得公一無，或公逑,

J2+16J2+1644

、

（亞、3后

所以40,—“，巴0,4，

4

7\7

過斗心作與平行的直線（：＞=字（工-1）,

4：y=~~~(1+3),

兩直線與橢圓E的交點即為滿足題意的點,

7

1)x=-lx=—

尸不5

由，2，得,V2，或＜

X1VT

——+V2=1

I2/

（/y7E

得必,M2不而，

7

y=￥(x+3)1

X=-1x=——

5

由?,得V2，或*

-21_7忖

——+V=1尸3y------

12,10

喈

答案第10頁，共16頁

【分析】(1)根據(jù)題意，取/C的中點為。，連接6。,4。，由線面垂直的判定定理可得/CL

平面4B。，從而可得4G_1_平面，即可證明；

(2)方法一：根據(jù)題意，結(jié)合二面角的定義可得NCW為二面角的平面角，再

由余弦定理代入計算，即可求解；方法二：根據(jù)題意，取。為/C的中點，過。作平面,8C

的垂線，以該垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算以及二面角的計

算公式代入計算，即可求解.

【詳解】(1)取NC的中點為。，連接80,4。，

由題知是正三角形，A,O1AC,BO1AC,

TT

又N4/C=w，?1△//C為正三角形，

A,01AC,又4Oc3O=。，;./C_L平面480,

又4￡///c,所以4G_L平面/RO,42u平面480,

所以45,4G.

(2)方法i：幾何法

不妨設(shè)/3=a,貝I］有48=/C=4/=a,又4B=6ABA\B=,

2

AXB=4T+AB2；,N44B=9cpBA1AXA,

取4/的中點M,連接CW,因為△//C為正三角形，所以

答案第11頁，共16頁

取48的中點N,連接則MN〃/民MN,W—

可得/CMN為二面角的平面角，

在ACAW中，MN=；a,CM=%a,同理可得/BC%=90。,

BC=CA]=a,BA]=y/2a,:.CN=,

321212

222a+aa

CM+NM-CN44~2;;11;V3

由余弓玄岸王里,cosACMN=------------------------

出示年ZE理'2CM-NM,V313，

2a,—a

22

sinZCMNC=—.

3

:zk

4____________「

方法2：建系法

取。為NC的中點，過O作平面4BC的垂線,以該垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，不妨設(shè)4B=2a,依題二-AC=BC=2a,AAX=2a,AXC=2a,AX1

則4(0,—0),5(瓦,0,0),CQM,0)設(shè)4///),

1

2222x=—產(chǎn)a

x+(J/+(I)+Z=4a出

2222

<x+(j/-?)+z=4a=<>=(),

(x--\/3ci)+2+z2=8Q2z=_屜

?—Cl

V3

./-IU-l

..4a,0,1—a,A,A,y——a,u,-y=a,AB=^y/3a,a,Q^,AC=(0,2a,0),

設(shè)平面加4法向量為4=Zi),則

「一一f1溫c囚=1

Yiy?AB=0I—~r=a%]+ciy^H—『ciz,—0i—

<—_.=<V331尸血，

n,,AA,—01i~

iy/3ax,+ay,=01z、--J3

答案第12頁，共16頁

所以1=(1,一出,后卜

同理，平面N/C的法向量”2=卜2，%/2)，

%+"=0%2=1

73A/3=<%=01,0.

4J

2ay2=0

Z2F

設(shè)銳二面角G為。，

3

:"smoXl

則COS02

V33

18.(1)a＜2；(2)證明見解析

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)后，分0＜。42和。＞2三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)

的單調(diào)性，再結(jié)合/(0)=0分析判斷即可;

/\19/\19

(2)由題意可得0=99乂：；/"81,利用放縮法可證得,要證＜:，只

92

要證也記+歷＜0,結(jié)合(1)可證得結(jié)論.

【詳解】(1)八x)=(：+2)—j"'./〉。,/(0)=0,

(x+l).(x+2)

若a40,則_f(x)＞0,

所以函數(shù)/(x)=In(1+x)-梟在(0,W)上單調(diào)遞增，

所以/(x)＞0恒成立；滿足題意

、X?+(4—2q)x+4—2a

若a>O/'(zx)=-J/申—，x>0,

(x+l)-(x+2)

方程f+(4—2Q)X+4—2Q=0的判另!J式為A=(4—2a)2—4(4—2a)=4Q(Q—2),

①0<aW2時，r(x)>0,函數(shù)〃x)=ln(l+x)-梟在(0,")上單調(diào)遞增,

所以/(x)>0恒成立，滿足題意

②a>2時，方程f+(4-2a)x+4-2a=0在(0,+oo)上的解為x=a-2+Ja(a-2),

答案第13頁，共16頁

當(dāng)0<X<Q-2+^(^2)時，x2+(4-2〃卜+4-2〃<0,/r(x)<0,

所以函數(shù)"x）=ln（l+x）-與在（0,"2+師為）上單調(diào)遞減，不滿足〃x）>0恒成立

綜上所述，。的取值范圍。42

（2）由已知條件得，抽取的20個號碼互不相同的概率為

_A常=100x99x98義…x8199x98x---x81

P~1OO201OO20100^

因為99x81=（90+9）（90-9）=902-9?<902,

同理98X82<9()2,97X83<902,…，81x99<902，

所以99x98x289。巴所以巴1

9

再證:

10I<卜

99292

即證：191n—<—2,即ln—<——，In—+—<0,

1010191019

?r1

由(1)得，當(dāng)％>0時，/(x)=ln(l+x)———>0,取％=§，

2

則宿)=ln[l+：1

9

-+2

9

所以In9一后〉0,92

即一In--------->0,

1019

92

所以In—+一<0,

1019

19

1

綜上，p<A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考

查獨立事件的概率，第（