數(shù)學(xué)九年級上學(xué)期《旋轉(zhuǎn)》單元綜合測試卷(附答案)

九年級上冊數(shù)學(xué)《旋轉(zhuǎn)》單元測試卷（滿分120分，考試用時120分鐘）一、選擇題1.將下面圖按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的是（）A.B.C.D.2.某校計劃修建一座既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的花壇，從學(xué)生中征集到的設(shè)計方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四種方案，你認(rèn)為符合條件的是（）A.等腰三角形B.正三角形C.等腰梯形D.菱形3.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A.點AB.點BC.點CD.點D4.如圖，把矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形OA′B′C′，則B′的坐標(biāo)為（）A.（2，4）B.（-2，4）C.（4，2）D.（2，-4）5.將點P（-2，3）向右平移3個單位得到點P1，點P2與點P1關(guān)于原點對稱，則P2的坐標(biāo)是（）A.（-5，-3）B.（1，-3）C.（-1，-3）D.（5，-3）6.在方格紙中，選擇標(biāo)有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成中心對稱圖形．該小正方形的序號是[]A.①B.②C.③D.④7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′使得點A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為（）A.30°B.60°C.90°D.150°8.如圖，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，將△ADC按逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)到△AEF（A、B、E在同一直線上），連接CF，則CF的長為（）A.B.5C.7D.9.如圖，將△ABC繞點C（0，-1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，設(shè)點A的坐標(biāo)為（A，B），則點A′的坐標(biāo)為（）A.（-A，-B）B.（-A，-B-1）C.（-A，-B+1）D.（-A，-B-2）10.如圖，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，那么∠BAB′的度數(shù)為（）A.30°B.35°C.40°D.50°二、填空題11.如圖，五角星的頂點是一個正五邊形的五個頂點．這個五角星可以由一個基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經(jīng)過____次旋轉(zhuǎn)而得到的，每一次旋轉(zhuǎn)____度．12.如圖，點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上，若是由繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的，則旋轉(zhuǎn)的角度為__．13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2Cm．現(xiàn)在將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′，使得點A′恰好落在AB上，連接BB′，則BB′的長度為_____．14.如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到△OCD，若∠A=110°,∠D=40°,則∠的度數(shù)是_______15.已知點P（A，-3）和Q（4，B）關(guān)于原點對稱，則=_____．16.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′，則點B′的坐標(biāo)是________．17.如圖，在等邊△ABC中，D是AC邊上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=10，BD=9，則△AED的周長是______．18.如圖所示，兩個邊長都為4Cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的對稱中心，則圖中陰影部分的面積為_______Cm2．三、解答題19.如圖所示，正方形ABCD中，E是CD上一點，F(xiàn)在CB的延長線上，且DE=BF．（1）求證：△ADE≌△ABF；（2）問：將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)多少度后與△ABF重合，旋轉(zhuǎn)中心是什么?20.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線．(1)畫出與△ACD關(guān)于點D成中心對稱的三角形；(2)找出與AC相等的線段；(3)探究：△ABC中AB與AC的和與中線AD之間有何大小關(guān)系?并說明理由．(4)若AB=5，AC=3，求線段AD的長度范圍．21.如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°后，恰好點D與點A重合，得到△PEA，連接EB，問：△ABE是什么特殊三角形?請說明理由．22.如圖，把一副三角板如圖①放置，其中，∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6Cm，DC=7Cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖②）．(1)求∠OFE1的度數(shù)；(2)求線段AD1的長．23.在△AOB中，C，D分別是OA、OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．如圖，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點．求證：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．24.平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直線MN，過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當(dāng)點E與點A重合時（如圖①），易證：AF+BF=2CE；當(dāng)三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖②、圖③的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，請直接寫出你的猜想，不需證明．

參考答案一、選擇題1.將下面圖按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的是（）A.B.C.D.[答案]A[解析][分析]根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，找出圖中眼，眉毛，嘴5個關(guān)鍵處按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的形狀即可選擇答案．[詳解]根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，圖片按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度，即正立狀態(tài)轉(zhuǎn)為順時針的橫向狀態(tài)，從而可確定為A圖．故選A．[點睛]本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，學(xué)生主要要看清是順時針還是逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)多少度，難度不大，但易錯．2.某校計劃修建一座既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的花壇，從學(xué)生中征集到的設(shè)計方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四種方案，你認(rèn)為符合條件的是（）A.等腰三角形B.正三角形C.等腰梯形D.菱形[答案]D[解析]等腰三角形是軸對稱圖形，正三角形是軸對稱圖形，等腰梯形是軸對稱圖形，菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故選D.3.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A.點AB.點BC.點CD.點D[答案]B[解析]試題分析:旋轉(zhuǎn)對稱圖形是指：把一個圖形繞著某一定點旋轉(zhuǎn)一個角度360°/n(n為大于1的正整數(shù))后，與初始的圖形重合，這種圖形就叫旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點就叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。按照定義的要求旋轉(zhuǎn)角度=360°/n。A選項中旋轉(zhuǎn)的角度是0°，不成立；B項旋轉(zhuǎn)角度是90°，則n=4，所以符合題目，故選B；C選項中，旋轉(zhuǎn)不成立；D項旋轉(zhuǎn)角度得出n不為整數(shù)，所以也不成立。考點：本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，要掌握圖形變換的知識。點評：本題難度較大，主要是空間立體要求嚴(yán)格。4.如圖，把矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形OA′B′C′，則B′的坐標(biāo)為（）A.（2，4）B.（-2，4）C.（4，2）D.（2，-4）[答案]C[解析][分析]根據(jù)矩形的特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來解決．[詳解]如圖，矩形的對邊相等，B′C′=OA=4，A′B′=OC=2，∴點B′的坐標(biāo)為（4，2）故選C．[點睛]需注意旋轉(zhuǎn)前后線段的長度不變，第一象限內(nèi)點的符號為（+，+）．5.將點P（-2，3）向右平移3個單位得到點P1，點P2與點P1關(guān)于原點對稱，則P2的坐標(biāo)是（）A.（-5，-3）B.（1，-3）C.（-1，-3）D.（5，-3）[答案]C[解析]分析：點P（－2，3）向右平移3個單位得到點P1，則，點與點關(guān)于原點對稱，則故選C．考點：1、關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)；2、坐標(biāo)與圖形變化——平移．[此處有視頻，請去附件查看]6.在方格紙中，選擇標(biāo)有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成中心對稱圖形．該小正方形的序號是[]A.①B.②C.③D.④[答案]B[解析]根據(jù)中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)涂黑②時，所形成的圖形關(guān)于點A中心對稱。故選B。7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′使得點A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為（）A.30°B.60°C.90°D.150°[答案]B[解析]試題分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A′C，然后判斷出△A′AC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ACA′=60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義即可得旋轉(zhuǎn)角為60°．故選B．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．[此處有視頻，請去附件查看]8.如圖，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，將△ADC按逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)到△AEF（A、B、E在同一直線上），連接CF，則CF的長為（）A.B.5C.7D.[答案]A[解析][分析]由于△ADC按逆時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)到△AEF，顯然△ADC≌△AEF，則有∠EAF=∠DAC，AF=AC，那么∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠FAC=∠BAD=90°．在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，同理在Rt△FAC中，利用勾股定理可求CF．[詳解]∵△ADC按逆時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)到△AEF，∴△ADC≌△AEF，∴∠EAF=∠DAC，AF=AC，∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，∴∠FAC=∠BAD，又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠FAC=90°，又∵在Rt△ADC中，AC=，∴在Rt△FAC中，CF=．故選A.[點睛]本題利用了勾股定理、全等三角形的性質(zhì)等知識．9.如圖，將△ABC繞點C（0，-1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，設(shè)點A的坐標(biāo)為（A，B），則點A′的坐標(biāo)為（）A.（-A，-B）B.（-A，-B-1）C.（-A，-B+1）D.（-A，-B-2）[答案]D[解析][分析]設(shè)點A的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對稱，再根據(jù)中點公式列式求解即可．[詳解]根據(jù)題意，點A、A′關(guān)于點C對稱，

設(shè)點A的坐標(biāo)是（x，y），

則

=0，

=-1，

解得x=-A，y=-B-2，

∴點A的坐標(biāo)是（-A，-B-2）．

故選D．[點睛]本題考查了利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行坐標(biāo)與圖形的變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點A、A′關(guān)于點C成中心對稱是解題的關(guān)鍵10.如圖，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，那么∠BAB′的度數(shù)為（）A.30°B.35°C.40°D.50°[答案]C[解析]解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′為對應(yīng)點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，∴AC=AC′，即△ACC′為等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°．故選C．二、填空題11.如圖，五角星的頂點是一個正五邊形的五個頂點．這個五角星可以由一個基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經(jīng)過____次旋轉(zhuǎn)而得到的，每一次旋轉(zhuǎn)____度．[答案]四；72[解析]解：根據(jù)題意，五角星的頂點是一個正五邊形的五個頂點，這個五角星可以由一個基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)而得到，每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為360°除以5，為72度．12.如圖，點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上，若是由繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的，則旋轉(zhuǎn)的角度為__．[答案]90°[解析]如圖：∵△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得，∴OB=OD，∴旋轉(zhuǎn)的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋轉(zhuǎn)的角度為90°13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2Cm．現(xiàn)在將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′，使得點A′恰好落在AB上，連接BB′，則BB′的長度為_____．[答案].[解析][分析]由題意可得△AA'C是等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)角為60°，可得△BCB'是等邊三角形，可得∠A'BB'=90°，根據(jù)勾股定理可得BB'的長．[詳解]∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2Cm∴∠A=60°，AB=4，∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′∴A'C=60°，A'B'=4，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'∵AC=A'C，∠A=60°∴△ACA'是等邊三角形，∴∠ACA'=60°，AA'=2∴A'B=2，∠BCB'=60°，且BC=CB'∴△BCB'是等邊三角形∴∠CBB'=60°∴∠A'BB'=90°∴BB'=2[點睛]本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是證△A'B'B是直角三角形．14.如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到△OCD，若∠A=110°,∠D=40°,則∠的度數(shù)是_______[答案]50°[解析]試題分析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠B＝∠D＝40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知：∠AOB＝180°－110°－40°＝30°，已知旋轉(zhuǎn)角∠DOB＝80°，則∠α＝∠DOB－∠AOB＝50°．故答案為：50°．點睛：此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時還涉及到三角形內(nèi)角和定理的運用，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DOB和∠AOB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15.已知點P（A，-3）和Q（4，B）關(guān)于原點對稱，則=_____．[答案]1[解析][分析]根據(jù)”平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（-x，-y），即關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”解答．[詳解]∵點P（A，-3）和Q（4，B）關(guān)于原點對稱，∴A=-4，B=3，∴（A+B）2010=（-1）2010=1．故答案為1．[點睛]本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)的特點，比較簡單．16.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′，則點B′的坐標(biāo)是________．[答案]（7，3）[解析]令x=0得y=2，則OB=2，令y=0得，x=1，則OA=1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：O′A=1，O′B′=2．則點B′（3，1）．故答案為：（3，1）．點睛：本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、30度的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo).常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.17.如圖，在等邊△ABC中，D是AC邊上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=10，BD=9，則△AED的周長是______．[答案]19．[解析]試題分析：∵將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD∴△DBE是等邊三角形∴DE=BD=9∴△AED的周長=DE+AD+AE=DE+AC=19考點：1、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2、等邊三角形的性質(zhì)18.如圖所示，兩個邊長都為4Cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的對稱中心，則圖中陰影部分的面積為_______Cm2．[答案]4．[解析][分析]圖中陰影部分的面積不在任意的三角形中，所以需構(gòu)造三角形，設(shè)BC與OE相交于M，CD與OG相交于N，連接OC、OB，則易證△OCN≌△OBM，則陰影部分的面積為△OBC的面積．[詳解]設(shè)BC與OE相交于M，CD與OG相交于N，連接OC、OB，∵正方形ABCD與正方形OEFG的邊長均為4Cm∴OB=OC=2Cm在△OCN和△OBM中，OB=OC，∠OCN=∠OBM=45°，∠CON=∠BOM∴△OCN≌△OBM，∵O是正方形ABCD的對稱中心，△OCB的高等于正方形邊長的一半，∴S陰影=S△OBC=S正方形=4Cm2．故答案為4．[點睛]把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題19.如圖所示，正方形ABCD中，E是CD上一點，F(xiàn)在CB的延長線上，且DE=BF．（1）求證：△ADE≌△ABF；（2）問：將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)多少度后與△ABF重合，旋轉(zhuǎn)中心是什么?[答案]解：（1）證明：在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，∴∠ABF=90°。∴∠D=∠ABF=90°。又∵DE=BF，AD=AB，∴△ADE≌△ABF（SAS）。（2）將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90后與△ABF重合，旋轉(zhuǎn)中心是點A。[解析]試題分析：（1）根據(jù)SAS定理，即可證明兩三角形全等。（2）將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，A不變，因而旋轉(zhuǎn)中心是A，∠DAB是旋轉(zhuǎn)角，是90度。20.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線．(1)畫出與△ACD關(guān)于點D成中心對稱的三角形；(2)找出與AC相等的線段；(3)探究：△ABC中AB與AC的和與中線AD之間有何大小關(guān)系?并說明理由．(4)若AB=5，AC=3，求線段AD的長度范圍．[答案](1)△A′BD即為所求(2)A′B=AC(3)AB+AC＞2AD(4)1＜AD＜4.[解析][試題分析]（1）根據(jù)成中心對稱的定義，延長AD到A’，使A’D=AD，點C與點B關(guān)于點D對稱，連接A’B即可，△A′BD即為所求；（2）根據(jù)成中心對稱的兩個圖形對應(yīng)邊相等，得A′B=AC；（3）由（2）得：AB+AC=AB+A′B，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得AB+A′B>AA’=2AD，即AB+AC＞2AD；(4)由（3）得，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得5-3<AA’=2AD<5+3,即2＜2AD＜8，所以1＜AD＜4.[試題解析](1)如圖所示，△A′BD即為所求；(2)A′B=AC；(3)AB+AC＞2AD，理由：由于△A′BD與△ACD關(guān)于點D成中心對稱，所以AD=A′D，AC=A′B，在△ABA′中，有AB+A′B＞AA′，即AB+AC＞AD+A′D，因此AB+AC＞2AD；(4)由(3)可得，在△ABA′中，有AB-A′B＜AA′＜AB+A′B，即AB-AC＜2AD＜AB+AC，因此有2＜2AD＜8，所以1＜AD＜4.[方法點睛]本題目是一道以成中心對稱的兩個圖形為背景，展開研究，涉及到怎樣作一個圖形關(guān)于某個點的中心對稱圖形，成中心對稱圖形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，涉及的知識面廣，知識點多，難度較大.21.如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°后，恰好點D與點A重合，得到△PEA，連接EB，問：△ABE是什么特殊三角形?請說明理由．[答案]解：△ABE是等邊三角形.理由如下：………1分由旋轉(zhuǎn)得△PAE≌△PDC∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2……3分∵∠DPA=60°∴△PDA是等邊三角形…………4分∴∠3＝∠PAD＝60°.由矩形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………6分∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE為等邊三角形…………7分[解析]特殊三角形有等腰三角形、等邊三角形、直角三角形（等腰直角三角形），此題根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可知是等邊三角形。22.如圖，把一副三角板如圖①放置，其中，∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6Cm，DC=7Cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖②）．(1)求∠OFE1的度數(shù)；(2)求線段AD1的長．[答案]（1）120°；（2）5.[解析][分析]（1）利用已知得出∠BCO=45°，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)；（2）根據(jù)OFE1=∠B+∠1，易得∠OFE1的度數(shù)，進(jìn)而得出∠4=90°，在Rt△AD1O中根據(jù)勾股定理就可以求得AD1的長．[詳解]（1）如圖乙所示，∠BCO=60°-15°=45°，∠BOC=180°-45°-45°=90°；（2）如圖乙所示，∵∠3=15°，∠E1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；∴∠D1FO=60°，∵∠CD1E1=30°，∴∠4=90°，又∵AC=BC，∠A=45°即△ABC是等腰直角三角形．∴OA=OB=AB=3Cm，∵∠ACB=90°，∴CO=AB=×6=3（Cm），又∵CD1=7（Cm），∴OD1=CD1-OC=7-3=4（Cm），在Rt△AD1O中，AD1=（Cm）[點睛]本題主要考查了勾股定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用勾股定理，并且掌握旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形完全相等．23.在△AOB中，C，D分別是OA、OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．如圖，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點．求證：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．[答案]（1）證明見解析；（2）證明見解析.[解析][分析](1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′