山東省壽光市圣都中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷A

PAGEPAGE18山東省壽光市圣都中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷（A）留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集為實(shí)數(shù)集，集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵或，，∴，∴．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則．3．若從數(shù)字，，，，中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】從數(shù)字，，，，中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，，這個兩位數(shù)大于，則十位數(shù)字為或，共有，概率為，故選C．4．已知是定義在上的偶函數(shù)，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是偶函數(shù)，則，所以，所以．所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，所以，所以選D．5．基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指間隔相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間(單位：天)的規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿意，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出，，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加倍須要的時間約為()（）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】B【解析】，，，∴，得，∴，∴，∴，．6．正方形的邊長為，是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立以為原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，則，，由，得，所以，所以當(dāng)時，的最小值為．7．某運(yùn)動制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn)，現(xiàn)選擇名志愿者，對其身高和臂展進(jìn)行測量(單位：厘米)，左圖為選取的名志愿者身高與臂展的折線圖，右圖為身高與臂展所對應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其回來方程為，以下結(jié)論中不正確的為（）A．名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系C．可估計身高為厘米的人臂展大約為厘米D．身高相差厘米的兩人臂展都相差厘米【答案】D【解析】A，身高極差大約為，臂展極差大于等于，故正確；B，很明顯依據(jù)散點(diǎn)圖像以及回來直線得到，身高矮臂展就會短一些，身高高一些，臂展就長一些，故正確；C，身高為厘米，代入回來方程可得到臂展估計值等于厘米，但是不是精確值，故正確；D，身高相差厘米的兩人臂展的估計值相差厘米，但并不是精確值，回來方程上的點(diǎn)并不都是精確的樣本點(diǎn)，故說法不正確，故答案為D．8．設(shè)奇函數(shù)定義在上，在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】奇函數(shù)定義在，在上為增函數(shù)，且，∴函數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上也是增函數(shù)，過點(diǎn)，所以可將函數(shù)的圖像畫出，大致如下，∵，∴不等式可化為，即，不等式的解集即為自變量與函數(shù)值異號的的范圍，據(jù)圖像可以知道，故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題，真命題的有（）A．設(shè)，為兩個定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動點(diǎn)的軌跡為雙曲線B．過定圓上肯定點(diǎn)作圓的動弦，則弦的中點(diǎn)的軌跡為橢圓C．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D．雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)【答案】CD【解析】A中，只有當(dāng)時，才表示的是雙曲線；B中明顯不正確；C中，方程的兩根為或，所以和可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；D中，由雙曲線方程可知它的焦點(diǎn)在軸上，，由橢圓的方程可知橢圓的焦點(diǎn)也在軸上，，所以它們有相同的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．10．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位得到D．對隨意，恒有【答案】ABD【解析】，當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，故A中說法正確；令，，得，，明顯直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸，故B中說法正確；函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，故C中說法錯誤；的最小正周期為，故D中說法正確，故選ABD．11．四棱錐的底面是矩形，側(cè)面平面，，，下列說法正確的是（）A． B．與所成的角的余弦為C．與所成的角的余弦為 D．該四棱錐外接球的半徑為【答案】BD【解析】取的中點(diǎn)，連接，在中，，，∴，，，所以在中，，同理，∴，所以為與所成的角或其補(bǔ)角，，設(shè)的中心為，球心為，則，設(shè)到平面的距離為，則，∴，，故選BD．12．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】BC【解析】依據(jù)題意知，，∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯誤；∵，∴是奇函數(shù)，B正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上是增函數(shù)，C正確；∵，∴，∴，∴，D錯誤．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．命題“，滿意不等式”是假命題，則的取值范圍為．【答案】【解析】∵命題“，滿意不等式”是假命題，∴命題“時，滿意不等式”是真命題，∴在上恒成立，令，，∵，∴，∴，∴．14．正項等比數(shù)列滿意，且，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時的值為．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，則，所以，解得（舍去）或，因為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時，取得最小值，取得最小值．15．在中，點(diǎn)滿意，當(dāng)點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上移動時，若，則的取值范圍為．【答案】【解析】∵點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上，設(shè)，，又，∴，，，故的取值范圍．16．如圖，，為橢圓長軸的左、右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，為橢圓上不同于，的三點(diǎn)，直線，，，圍成一個平行四邊形，則．【答案】【解析】設(shè)，，，則，．易知直線，的斜率均存在且不為，設(shè)其方程分別為，，因為，，所以，，．由，得，，同理，，由兩點(diǎn)間的距離公式得．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知向量，，．（1）求圖象的對稱中心；（2）已知，，分別是內(nèi)角，，的對邊，若且，，，求的周長．在①，②，③，，成等比數(shù)列，這三個條件中，任選一個，補(bǔ)充在問題中，并加以解答．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1），令，可得，∴圖象的對稱中心為．（2），∵，∴．①選條件，∴，∴，由余弦定理得，即，∴，∴的周長為．②選條件，依據(jù)正弦定理得，依據(jù)余弦定理，得，解得，∴，∴的周長為．③選條件，，成等比數(shù)列，∴，依據(jù)正弦定理得，依據(jù)余弦定理，可得，∴，∴的周長為．18．（12分）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列滿意，且與的等差中項是．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由已知得，解得或，由于數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，，所以．因為與的等差中項是，所以，即，于是，故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，所以．19．（12分）“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深化人心，這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展．下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)位購車車主的性別與購車種類狀況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（1）求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù)，并推斷與是否線性相關(guān)；（2）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān)；（3）若以這名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機(jī)選取人，記選到女性車主的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差．參考公式：，，其中．，若，則可推斷與線性相關(guān)．附表：【答案】（1），故與線性相關(guān)；（2）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為；（3），．【解析】（1）依題意，，，故，，，則，故與線性相關(guān)．（2）依題意，完善表格如下：，故有的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān)．（3）依題意，該地區(qū)購置新能源車的車主中女性車主的概率為，則，所以，．20．（12分）如圖所示，在長方體中，，為線段上一點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求點(diǎn)到平面距離．在①，②，③二面角的正弦值為，這三個條件中，任選一個，補(bǔ)充在問題中，并加以解答．【答案】（1）證明見解析；（2）見解析．【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，∵平面為正方形，∴，又∵平面，∴，∵，∴平面，又∵平面，∴．（2）①選條件，∴，∴，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，依據(jù)可得，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．②選條件，∴，，，∴，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，依據(jù)可得，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．③選條件二面角的正弦值為，∵，，∴二面角的平面角為，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，依據(jù)可得，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】的定義域為，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，而，所以不恒成立；時，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，所以，依題，只需，令，則，所以在單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以若，則的取值范圍是．22．（12分）如圖，已知橢圓與兩條直線的四個交點(diǎn)分別為，，，，若四邊形的面積為，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，問：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個定點(diǎn)，使得等式成立?若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，，詳見解析．【解析】（1）將