人教版高中物理舉一反三-必修二7.3萬有引力理論的成就（原卷版）

7.3萬有引力理論的成就原卷版目錄TOC\o"1-1"\h\u一、【重力和萬有引力的關(guān)系知識點梳理】 1二、【由環(huán)繞天體求中心天體的質(zhì)量和密度知識點梳理】 3三、【多星問題知識點梳理】 5四、【拉格朗日點的計算知識點梳理】 9【重力和萬有引力的關(guān)系知識點梳理】1.重力為萬有引力的分力如圖所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，物體受到地球的萬有引力為F，方向指向地心。由萬有引力定律公式可得F=GMmR圖中的F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，方向垂直于地軸；F2就是物體的重力mg，故除地球兩極外，mg<GMmR2。(1)緯度對重力的影響a.物體在赤道上：F、F1、mg三者同向，向心力F1達到最大值mRω2，mg=GMmR2-mRω重力最小，指向地心。(ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度)b.物體在地球兩極處，向心力F1為零，所以mg=F=GMmRc.物體在地面上其他的位置，重力mg<GMmR重力逐漸增大。(2)高度對重力的影響(不考慮地球自轉(zhuǎn))a.在地球表面：mg=GMmR2→地球表面的重力加速度g=b.在距地面高h處：mgh=GMm(R+h)2→離地面高h處的重力加速度gh=GM大，重力加速度gh越小。c.g和gh的關(guān)系：gh=RR+h2知識拓展

由于物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力很小，一般情況下認為重力近似等于萬有引力。因此不考慮地球自轉(zhuǎn)時，在地球表面及表面附近有mg=GMmR2，化簡得gR2=GM。gR2=GM通常叫作黃金代換式，適用于任何天體，在某星體的質(zhì)量M2、“稱量”地球的質(zhì)量①地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，其所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg=Gmm地R2，可得Gm地=gR2(黃金代換式)，地球的質(zhì)量m②推廣：若知道其他天體表面的重力加速度、天體的半徑及G值，利用上式可計算

出該天體的質(zhì)量。3、計算天體的密度：已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，求解天體的質(zhì)量或密度。分析思路：不考慮天體的自轉(zhuǎn)時，天體表面物體所受的重力等于天體對物體的萬有引力，即mg=GMmR2，解得天體的質(zhì)量為M=gR2G。代入ρ=MV，特別說明：若題目中出現(xiàn)“g”“地面”“自由落體”“豎直上拋”等字樣時，常采用“地表法”求解天體的質(zhì)量。【重力和萬有引力的關(guān)系舉一反三練習】1．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（）A．0.2g B．0.4g C．2.0g D．2.5g2．由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同，已知地球表面兩極處的重力加速度大小為，在赤道處的重力加速度大小為，地球自轉(zhuǎn)的周期為，引力常量為。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，下列說法正確的是（）A．質(zhì)量為的物體在地球北極受到的重力大小為B．質(zhì)量為的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為C．地球的半徑為D．地球的密度為3．在太空探測過程中，航天員乘飛船登陸了某星球，若航天員在星球表面將一個物體豎直向上以初速度拋出（不計空氣阻力），經(jīng)過t時間落回拋出點，已知該星球的半徑為地球半徑的k倍，地球表面重力加速度為，則該星球與地球的平均密度之比為（）A． B． C． D．4．假定太陽系一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星自轉(zhuǎn)可以忽略?，F(xiàn)若該星球自轉(zhuǎn)加快，角速度為ω時，該星球表面“赤道”上的物體對星球的壓力減為原來的。已知引力常量G，則該星球密度ρ為（）A． B． C． D．5．已知火星兩極和赤道的重力加速度之比為n，火星的自轉(zhuǎn)角速度為，將火星視為均勻球體，則火星的近地衛(wèi)星的角速度為（）A． B． C． D．6．科學家在宜居帶“金發(fā)姑娘區(qū)”發(fā)現(xiàn)一顆類地行星TRAPPIST—le，若將該行星視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，一物體從離行星表面（）處由靜止釋放，經(jīng)時間，該物體落回到行星表面，引力常量為G，則該行星的平均密度約為（

）A． B． C． D．7．用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R，質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F0。（1）若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F1，求比值的表達式，并就的情形算出具體數(shù)值（計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；（2）若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F2，求比值的表達式?！居森h(huán)繞天體求中心天體的質(zhì)量和密度知識點梳理】已知行星(或衛(wèi)星)環(huán)繞中心天體做勻速圓周運動的軌道半徑r及其他相關(guān)運動參量，如線速度(v)、角速度(ω)或周期(T)，求解中心天體的質(zhì)量或密度。分析思路：行星(或衛(wèi)星)繞中心天體做勻速圓周運動，中心天體對行星(或衛(wèi)星)的萬有引力提供向心力，可得GMmr2=mv2r=mrωM=rv2G=r3ω2G=4π2r3GT2。若已知中心天體的半徑為R特殊情況：當衛(wèi)星在中心天體表面附近環(huán)繞中心天體運動時，其軌道半徑r可認為等于中心天體的半徑R，則ρ=3πGT若已知衛(wèi)星的線速度v和運行周期T(軌道半徑r未知)，則由GMmr2=mv2r解得中心天體的質(zhì)量M=Tv【由環(huán)繞天體求中心天體的質(zhì)量和密度舉一反三練習】8．一顆衛(wèi)星繞X行星做圓形軌道運行，且軌道距離行星表面非常近．要估計行星X的密度，我們只需測量（）A．衛(wèi)星的周期B．軌道半徑C．衛(wèi)星的速度D．行星X的質(zhì)量E．衛(wèi)星的質(zhì)量9．火星繞太陽運轉(zhuǎn)可看成是勻速圓周運動，設(shè)火星運動軌道的半徑為r，火星繞太陽一周的時間為T，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（

）A．火星的質(zhì)量 B．火星的向心加速度C．太陽的平均密度 D．太陽的質(zhì)量10．2023年11月23日《中國日報》消息，11月23日18時00分04秒，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁運載火箭及遠征三號上面級成功將互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道，發(fā)射任務取得圓滿成功。如果互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗衛(wèi)星的軌道半徑為r，周期為T，地球的半徑為R，引力常量為G，則（

）A．地球的質(zhì)量為 B．地球的質(zhì)量為C．地球的密度為 D．地球的密度為11．中子星是一種密度很大的特殊天體。若某中子星恰好能維持不解體，其自轉(zhuǎn)的周期為T，已知引力常量為G，則中子星的平均密度為（）A． B． C． D．12．（多選）太空探測器來到某未知星球，貼著該星球表面做圓周運動，周期為T；在離星球表面高度為h的軌道上做圓周運動，運行周期為8T，引力常量為G，則（）A．該星球的密度為 B．該星球的密度為C．該星球的半徑為3h D．該星球的半徑為13．中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實來自火星。某同學想根據(jù)平時收集的部分火星資料（如圖所示）計算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進行比較。下列計算火星密度的公式錯誤的是（引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響）（）火星-Mars火星的小檔案直徑d=6779km質(zhì)量M=6.4171×1023kg表面的重力加速度g0=3.7m/s2近地衛(wèi)星的周期T=3.4hA． B． C． D．14．地球半徑為，距地面高為處有一顆同步衛(wèi)星。另一星球半徑為，距該星球球面高度為處也有一顆同步衛(wèi)星，它的周期為72小時，則該星球的平均密度與地球的平均密度之比為（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：815．（多選）假設(shè)“天問一號”探測器在環(huán)繞火星軌道上做勻速圓周運動時，探測到它恰好與火星表面某一山脈相對靜止，測得相鄰兩次看到日出的時間間隔為T，探測器儀表上顯示的繞行速度為v，已知引力常量為G，則（）A．火星的質(zhì)量為 B．火星的質(zhì)量為C．探測器的軌道半徑為 D．火星的平均密度為16．2020年11月24日成功發(fā)射的“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器。已知月球半徑為R，地心與月球中心之間的距離為r，月球繞地球做圓周運動的公轉(zhuǎn)周期為，“嫦娥五號”探測器繞近月軌道做圓周運動的周期為，引力常量為G，由以上條件可知（）A．月球質(zhì)量為 B．地球質(zhì)量為C．月球的密度為 D．地球的密度為【多星問題知識點梳理】1、雙星模型(1)構(gòu)建“雙星”模型兩個離得比較近的天體，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計，它們在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的某一點做圓周運動，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星模型(2)“雙星”模型的特點①兩顆星的運行軌道為同心圓，圓心是它們連線上的某一點。②兩顆星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。③兩顆星的運動半徑之和等于它們的中心之間的距離，即r1+r2=L。④兩顆星的向心力大小相等，由它們之間的萬有引力提供，即Gm1m2L2=m1ω12r1=m1v12r1=m1r14π2T(3)幾個結(jié)論①軌道半徑：r1=m2m1+m2L，r2=m1m1+m(2)“雙星”模型的特點②星體質(zhì)量：m1=4π2r2L2GT2，m2=③周期：T=2πLLG(2、三星模型常見情景圖示三個質(zhì)量相等的星體，一個星體位于中心位置不動，另外兩個星體圍繞它做圓周運動三個質(zhì)量相等的星體分別位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做圓周運動特點這三個星體始終位于同一直線上，中心星體受力平衡，運轉(zhuǎn)的星體由其余兩個星體的萬有引力的合力提供向心力，兩運轉(zhuǎn)星體的轉(zhuǎn)動方向相同，角速度、線速度、周期大小相等三個星體在同一圓軌道上運動，相對位置不變，即構(gòu)成的正三角形的邊長不變化。每個星體運行所需的向心力都由其余兩個星體對它的萬有引力的合力提供。三個星體的轉(zhuǎn)動方向相同，角速度、線速度、周期大小相等【多星問題舉一反三練習】17．如圖所示，由恒星A與恒星B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點各自做勻速圓周運動，經(jīng)觀測可知恒星B的運行周期為T。若恒星A的質(zhì)量為m，恒星B的質(zhì)量為2m，引力常量為G，則恒星A與O點間的距離為（）A． B． C． D．18．宇宙中存在一些離其它恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所中示，三顆恒星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星甲、丙繞中央星乙在同一半徑的圓軌道上運行，假設(shè)甲、丙的質(zhì)量均為m，圓周運動的軌道半徑均為R，向心加速度的大小均為a，引力常量為G，下列說法正確的是（

）A．甲對丙的引力大小為 B．甲的速度大小為C．乙的質(zhì)量為 D．丙對乙的引力大小為19．（多選）宇宙空間有一種由三顆星體A、B、C組成的三星系統(tǒng)，它們分別位于等邊三角形ABC的三個頂點上，繞一個固定且共同的圓心O做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，其軌道半徑rA<rB<rC。忽略其他星體對它們的作用，可知這三顆星體（）

A．線速度大小關(guān)系是vA<vB<vCB．加速度大小關(guān)系是aA>aB>aCC．質(zhì)量大小關(guān)系是mA>mB>mCD．所受萬有引力合力的大小關(guān)系是FA=FB=FC20．（多選）在銀河系中，雙星的數(shù)量非常多，研究雙星，對于了解恒星形成和演化過程的多樣性有重要的意義。如圖所示為由A、B兩顆恒星組成的雙星系統(tǒng)，A、B繞連線上一點O做圓周運動，測得A、B兩顆恒星間的距離為L，恒星A的周期為T，恒星A做圓周運動的向心加速度是恒星B的2倍，忽略其他星球?qū)、B的影響，則下列說法正確的是（）A．恒星B的周期為B．A、B兩顆恒星質(zhì)量之比為1：2C．恒星B的線速度是恒星A的2倍D．A、B兩顆恒星質(zhì)量之和為21．如圖是宇宙中由三顆星體構(gòu)成的一個系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，正在繞某一共同的圓心在三角形所在的平面內(nèi)順時針做角速度相等的圓周運動。已知星體A的質(zhì)量為3m，星體B、C的質(zhì)量均為m，三角形邊長為L（L遠大于星體自身半徑），萬有引力常量為G。求：（1）若A星體可視為球體，且半徑為R，求A星體的第一宇宙速度大?。唬?）A星體所受合力的大?。唬?）A、B、C三星體做圓周運動時向心加速度之比。22．（多選）如圖所示，A、B、C三顆星體分別位于等邊三角形的三個頂點上，在相互之間的萬有引力作用下，繞圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做勻速圓周運動，rBO=rCO=2rAO。忽略其他星體對它們的作用，則下列關(guān)系正確的是（

）

A．星體的線速度vA=2vB B．星體的加速度2aA=aBC．星體所受合力FA=FB D．星體的質(zhì)量mB=mC23．（多選）如圖所示，天文觀測中觀測到有質(zhì)量相等的三顆天體位于邊長為l的等邊三角形△ABC三個頂點上，三顆天體均做周期為T的勻速圓周運動。已知引力常量為G，不計其他天體對它們的影響，關(guān)于這個三星系統(tǒng)，下列說法中正確的是（）A．三顆天體的質(zhì)量均為 B．三顆天體的質(zhì)量均為C．三顆天體線速度大小均為 D．三顆天體線速度大小均為24．宇宙間存在一些離其他恒星較遠的雙星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的恒星組成，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的一點做周期相同的勻速圓周運動。某雙星系統(tǒng)由甲、乙兩顆恒星組成，甲、乙兩顆恒星的質(zhì)量分別為，且。它們做勻速圓周運動的周期為T，萬有引力常量為G。關(guān)于雙星系統(tǒng)的下列說法正確的是（）A．恒星甲做勻速圓周運動的半徑大于恒星乙做勻速圓周運動的半徑B．恒星甲做勻速圓周運動的線速度大于恒星乙做勻速圓周運動的線速度C．雙星做圓周運動的速率之和D．雙星之間的距離25．我國科學家團隊在某個河外星系中發(fā)現(xiàn)了一對相互繞轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)，這是迄今為止發(fā)現(xiàn)的第二例超大質(zhì)量雙黑洞繞轉(zhuǎn)系統(tǒng)，兩黑洞繞它們連線上某點做勻速圓周運動。黑洞1、2的質(zhì)量分別為，下列關(guān)于黑洞1、2的說法中正確的是（）A．半徑之比為 B．向心力之比為C．動能之比為 D．角速度之比為【拉格朗日點的計算知識點梳理】兩個靠的很近的天體繞著它們連線上的一點（質(zhì)心）做圓周運動，構(gòu)成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)，雙星系統(tǒng)運動時，其軌道平面存在著一些特殊的點，在這些點處，質(zhì)量極小的物體（例如人造衛(wèi)星）可以與兩星體保持相對靜止，這樣的點被稱為“拉格朗日點”。一般一個雙星系統(tǒng)有五個拉格朗日點?！纠窭嗜拯c的計算舉一反三練習】26．在兩個大物體引力場空間中存在著一些點，在這些點處的小物體可相對于兩個大物體基本保持靜止，這些點稱為拉格朗日點，比如圖中的點，，衛(wèi)星在這些點可以幾乎不消耗燃料與月球同步繞地球做圓周運動。則關(guān)于處于拉格朗日點和上的兩顆衛(wèi)星，下列說法正確的是（）A．兩衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力相等B．兩衛(wèi)星繞地球做圓周運動的線速度相等C．處于點的衛(wèi)星繞地球做圓周運動的角速度較大D．處于點的衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心加速度較大27．拉格朗日點指的是在太空中類似于“地一月”或“日一地”的天體系統(tǒng)中的某些特殊位置，在該位置處的第三個相對小得多（質(zhì)量可忽略不計）的物體靠兩個天體的引力的矢量和提供其轉(zhuǎn)動所需要的向心力，進而使得該物體與該天體系統(tǒng)處于相對靜止狀態(tài)，即具有相同的角速度。如圖所示是地一月天體系統(tǒng)，在月球外側(cè)的地月連線上存在一個拉格朗日點，發(fā)射一顆質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星至該點跟著月球一起轉(zhuǎn)動，距離月球的距離為s。已知地球的半徑為R，地