數(shù)學(xué)- 高三上學(xué)期開學(xué)驗收考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

東北師大附中2024—2025學(xué)年高三年級（數(shù)學(xué)）科試卷上學(xué)期假期作業(yè)驗收考試考試時長：120分鐘滿分：120分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則集合與集合的關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合中函數(shù)的值域，集合中函數(shù)的定義域，得到這兩個集合，可判斷集合間的關(guān)系.【詳解】函數(shù)值域為，函數(shù)定義域為，即，，所以有.故選：C.2.已知等差數(shù)列的前8項和為68，，則（）A.300 B.298 C.295 D.296【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，根據(jù)題意列出方程組求得，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，即看求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為等差數(shù)列的前8項和為，可得，即，即，又由，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：C.3.設(shè)：實數(shù)，滿足且；：實數(shù)，滿足；則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先考查是否成立，再考查是否成立,即可得結(jié)論.【詳解】解：因為且，所以，即成立；反之若，滿足，如，但不滿足且，即不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.4.若為偶函數(shù)，則（）A B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】由求出，代入，檢驗是否滿足題意.【詳解】的自變量需滿足，解得：或，若為偶函數(shù)，則，所以，解得：，所以，.所以為偶函數(shù)，滿足題意.故選：B.5.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分離常數(shù)法得出不等式在上能成立，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性，求出的取值范圍.【詳解】關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，在上有解，即在上能成立，所以，設(shè)函數(shù)，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上是單調(diào)遞增，又，，，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，即的取值范圍是.故選：D.6.設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期，且為偶函數(shù)，根據(jù)時，，求的值得此時解析式，即可求得的值.【詳解】為奇函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，所以①，且，又為偶函數(shù)，，則關(guān)于對稱，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數(shù)則，所以，所以所以，解得，所以當時，所以.故選：B.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)值可比較大小.【詳解】設(shè)，，時，，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù)，所以，，即.設(shè)，，時，，為增函數(shù)，時，，為減函數(shù)，所以，，即，所以.設(shè)，，為增函數(shù)，所以，所以，即.故選：D8.已知函數(shù)，若方程有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得f′x，畫出函數(shù)的大致圖像，令，可得等價于，然后構(gòu)建，結(jié)合二次函數(shù)根的分布，分別討論，代入計算，即可求解.【詳解】由題意可知：的定義域為R，則，當時，f′x>0；當時，f可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且當趨近于時，趨近于；當趨近于時，趨近于0；作出的圖象，如圖所示，對于關(guān)于x的方程，令，可得，整理得，且不為方程根，可知方程等價于，若方程有三個不相等的實數(shù)解，可知有兩個不同的實數(shù)根，且或或，構(gòu)建，若，則，解得；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象問題，以及函數(shù)零點問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于畫出函數(shù)的大致圖象，以及將方程根的問題進行轉(zhuǎn)化進行求解.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象個交點橫坐標分別為，可得出，再結(jié)合對稱性與對數(shù)運算即可得正確選項.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)，則，則直線與函數(shù)的圖象個交點橫坐標分別為，對于A：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，故A正確；對于B：由圖象可知，且，∴，即，所以，故B正確；對于C，當時，，由圖象可知，則，故C錯誤；對于D，由圖象可知，所以，故D錯誤.故選：AB.10.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，，且對任意，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)賦值法，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性，奇、偶函數(shù)的定義、函數(shù)周期性進行求解即可.【詳解】由，令，則，因為，所以，故A錯誤；令，則，①所以，因為為奇函數(shù)，所以f′x為偶函數(shù)，，所以，②由①②并整理得，即，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，故，故B正確；因為，所以，故C正確；由上知，在①中，令，得，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性、周期性及導(dǎo)數(shù)的計算.解題關(guān)鍵在于熟練地應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性的定義及導(dǎo)數(shù)的計算，利用賦值法推導(dǎo)出函數(shù)，f′x的性質(zhì)11.瑞士數(shù)學(xué)家JakobBernoulli于17世紀提出如下不等式：，有，請運用以上知識解決如下問題：若，，，則以下不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】不妨設(shè)，根據(jù)選項C的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合題目不等式結(jié)論即可判定正確，再根據(jù)題目不等式結(jié)論證明得及，相加即可判斷B正確，結(jié)合C判斷A正確，得解.【詳解】不妨設(shè)，先證明C：證明上單調(diào)遞減即可.，即要證明，即要證明，因為，得證，所以，即，故選項C正確，D錯誤；再證明B：，因此，同理，故，且，所以AB正確.故選：ABC【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)?x（3）利用導(dǎo)數(shù)研究?x（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．三、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.12.數(shù)在上可導(dǎo)，若，則______.【答案】12【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計算代入可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可.故答案為：1213.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是_____【答案】【解析】【分析】由，判斷函數(shù)值的變化情況，作出函數(shù)的圖象，再確定所在的區(qū)間，求出臨界點即可求出結(jié)果．【詳解】當,時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，由得到，可得當圖象向右平移2個單位時，最大值變?yōu)樵瓉淼谋叮畲笾挡粩嘧冃?，由得到，可得當圖象向左平移2個單位時，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，最大值不斷變大，當,時，，當,時，，設(shè),，,，，即，由，解得或，根據(jù)題意，當時，恒成立，故答案為：．14.在數(shù)列中，且，當時，，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由數(shù)列的遞推式可得，求和后結(jié)合條件可得，求出即可.【詳解】因為，，所以，當時，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是由數(shù)列的遞推式可得，然后利用累加法求和求解范圍即可.四、解答題：本大題共5小題，共58分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）若時，的圖象恒在圖象的上方，試確定實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用求得，由可求得，即得答案；（2）依題意可得當時，恒成立，參變分離可得恒成立，再令，，求出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意設(shè)，由得；由得，即恒成立，故，則，故；【小問2詳解】因為當時，的圖象恒在圖象的上方，所以當時，恒成立，即當時，恒成立，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)，且在處的切線方程是．（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1），（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【小問1詳解】因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．【小問2詳解】由（1）可得定義域為，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．17.已知數(shù)列的前項和是，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；（2）因為數(shù)列的首項為正且是一個遞減數(shù)列，令，得該數(shù)列前34為正，后面的項全為負，設(shè)數(shù)列的前項和為，利用分組求和即可求得數(shù)列的前項和.【小問1詳解】當時，，當時，把代入上式，滿足題意.數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】數(shù)列的首項為正，是一個遞減數(shù)列，先正后負，令，則數(shù)列前34為正，后面的項全為負，設(shè)數(shù)列的前項和為，則當，，當時，數(shù)列的前項和為18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；（2）當時，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1）1（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出，驗證后得到答案；（2）定義法求解函數(shù)單調(diào)性步驟：取點，作差，判號，下結(jié)論；（3）換元后得到在0,+∞有兩個不同的實數(shù)解，由根的判別式和對稱軸得到不等式，求出的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為R，且為奇函數(shù)，由，得，此時.因為，所以為奇函數(shù)，故.【小問2詳解】當時，.任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.【小問3詳解】有兩個不同的零點，等價于有兩個不同的實數(shù)解.令，則在0,+∞有兩個不同的實數(shù)解，令，其中g(shù)0=1>0所以，解得.所以的取值范圍為.19.已知函數(shù)有兩個極值點，且．（1）求的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)有兩個不相等的極值點，則方程在0,+∞上有兩個不相等的實數(shù)根，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求結(jié)論成立時的取值范圍；（2）由，設(shè)，要證，只需證，即證即證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是0,+∞，，因為函數(shù)有兩個不相等的極值點，所以方程在0,+∞上有兩個不相等的實數(shù)根，所以，方程兩邊同時除以，整理得，即直線與函數(shù)的圖象有兩個交點．令，則，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，又，時，gx>0且，所以的圖象如圖所示，要想與的圖象有兩個交點，則，所以．故的取值范圍是．【小問2詳解】由（1）易知，，設(shè)，則，．由（1）得，所以，即，又，即，代入上式得，，整理得，要證，只