云南專版人教版八年級數(shù)學下冊教案 第十八章 平行四邊形

第十八章平行四邊形

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

第1課時平行四邊形的邊、角特征

教學目標

1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質(zhì).

2.會用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的平行四邊形的計算問題，并會進行有關(guān)的論證.

3.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及邏輯推理能力.

預習反饋

閱讀教材P41?43,完成下列問題.

1.兩組對邊分別壬紅的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形用符號?表示，如圖，平行四邊形ABCD記作nABCD.

D

A匚27

如圖，?.?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AB〃英，AD〃區(qū).

反過來，：AB〃CD,AD〃BC,

四邊形ABCD是平行四邊形.

2.平行四邊形的對邊壬任且相箋，對角相笠，鄰角互補.

DC

二

A7R

如圖，???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\AB/7CD,AD/7BC,

AB=CD,AD=BC,

ZA=ZC,ZB=ZD,

NA+NB=180°,ZA+ZD=180°.

3.兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線之間的距離.

如圖，已知a〃b,則a與b的距離是圖中的線段”的長度.

ACE

名校講壇

例(教材P42例1)如圖，在。ABCD中，DE±AB,BF±CD,垂足分別為E,F.求證:AE=CF.

【思路點撥】要證AE=CF,可以證明△ADEg^CBF.

【解答】，?四邊形ABCD是平行四邊形，

AZA=ZC,AD=CB.

又,.?NAED=NCFB=90°,

AADE^ACBF(AAS).

Z.AE=CF.

【方法歸納】在平行四邊形中證明線段與角的問題通常要用到全等.

【跟蹤訓練1】(教材P43練習T1變式)在QABCD中，AD=3cm,AB=2cm,則。ABCD的周長等于(A)

A.10cmB.6cm

C.5cmD.4cm

【跟蹤訓練2】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E,B,D,F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB/7CD,AB=CD.

AZABD=ZCDB.

AZABE=ZCDF.

fAB=CD,

在aABE和4CDF中，｛ZABE=ZCDF,

[BE=DF,

.,.△ABE^ACDF(SAS).

.\AE=CF.

鞏固訓練

1.已知在QABCD中，NA+/C=240°,則/B的度數(shù)是(B)

A.100°B.60°C.80°D.160°

2.如圖，在。ABCD中，AB=3,BC=5,NABC的平分線交AD于點E,則DE的長為(D)

A.5

B.4

C.3

D.2

3.若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1：2,則其中較大的內(nèi)角是(D)

A.45°B.60°C.90°D.120°

4.在。ABCD中，若AB=3cm,AD=4cm,則可\BCD的周長為基

5.在平面直角坐標系中，若BIBCD的三個頂點坐標為A(l,0),B(0,2),C(一4,2),則另外一個頂點D的坐標為

(一3,0).

6.如圖，在。ABCD中，E,F為對角線BD上的兩點.

(1)若AE_LBD,CF1BD,證明：BE=DF；

(2)若AE=CF,能否說明BE=DF?

解：(1)證明：；AE_LBD,CF±BD,

.?.NAEB=NCFD=90°.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.AB=CD,AB〃CD.

ZABE=ZCDF.

CZAEB=ZCFD,

在aAEB和aCFD中，JNABE=NCDF,

[AB=CD,

AAEB^ACFD(AAS).BE=DF.

(2)不能，舉例如圖.

課堂小結(jié)

1.平行四邊形的定義.

’對邊平行

對邊相等

2.平行四邊形的性質(zhì)〈

對角相等

、鄰角互補

3.連接對角線可以幫助解決平行四邊形問題.

第2課時平行四邊形的對角線性質(zhì)

教學目標

1.理解平行四邊形中心對稱的特征，掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì).

2.能綜合運用平行四邊形的性質(zhì)解決平行四邊形的有關(guān)計算問題和簡單的證明題.

3.培養(yǎng)學生的推理論證能力和邏輯思維能力.

預習反饋

閱讀教材P43?44,完成下列問題.

1.平行四邊形的對角線互相壬分.

如圖，???四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC,BD相交于點0,

11

.,.A0=0C=-AC,B0=D0=-BD.

2.(1)平行四邊形的面積=底義高.

如圖1,在口ABCD中，AE_LBC于E,AFJ_CD于F,則S°ABCI>=BC?AE=CD?AF.

===

(2)如圖2,0ABCD的對角線AC,BD相父于點0,則SZSAOB—SABW——SACO<)—SADOAT4SaABci).

名校講壇

例(教材P44例2)如圖，在。ABCD中，AB=10,AD=8,AC1BC,求BC,CD,AC,OA的長，以及口ABCD的面積.

【思路點撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到BC和CD的長，根據(jù)AC1BC,在RtAABC中運用勾股定理即可得出

AC的長，又0A等于AC的一半即可求出0A,口ABCD的面積=BC?AC.

【解答】???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.BC=AD=8,CD=AB=10.

VAC±BC,

.'.△ABC是直角三角形.

根據(jù)勾股定理，得

AC=^/AB2-BC2=^/102-82=6.

XV0A=0C,

.,.0A=1AC=3,

SOABCD=BC?AC=8X6=48.

【跟蹤訓練1】（教材P44練習Tl）如圖，在DABCD中，BC=10,AC=8,BD=14.AAOD的周長是多少？^ABC與4

DBC的周長哪個長？長多少？

解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

八“11

???A0=0C=5AC,BO=OD=,BD,BC=AD.

ACAAOD=AO+OD+AD=|AC+1BD+BC=4+10+7=21.

??,四邊形ABCD為平行四邊形，

AAB=CD.

VCAABC=AB+BC+AC=AB+BC+8,C△廂C=BC+CD+BD=BC+AB+14,

CADBC-CAABC=6.

C△DBC>CAAIJC,長6.

【跟蹤訓練2】（《名校課堂》18.L1第2課時習題）如圖所示，在口ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,點M,

N在對角線AC上，且AM=CN,求證：BM〃DN.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.0A=0C,0B=0D.

VAM=CN,

A0M=0N.

f0B=0D,

在△BOM和△DON中，iZB0M=ZD0N,

[()M=ON,

.'.△BOM^ADON(SAS).

AZ0BM=Z0DN.

???BM〃DN.

鞏固訓練

1.如圖，口ABCD的對角線AC,BD相交于點0,則下列說法一定正確的是(C)

A.AO=ODB.AO±OD

C.AO=OCD.AO±AB

2.如圖，口ABCD的對角線AC和BD相交于點0,與aOBC面積相等的三角形（不包括自身）的個數(shù)是（B）

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，在口ABCD中，對角線AC與BD交于點0,ZDAC=42°,ZCBD=23°,則NC0D=(C)

A.61°B.63°C.65°D.67°

B

4.如圖，在口ABCD中，Z0DA=90°,AC=10cm,BD=6cm,則AD的長為(A)

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

5.已知在口ABCD中，AC,BD交于點0,4AOB的面積為2,那么。ABCD的面積為當

6.如圖，己知口1BCD的對角線AC,BD相交于點0,AELBD于點E,CF_LBD于點F,求證:△ADE^ACBF.

證明：???四邊形ABCD為平行四邊形,

AAD=BC,AD//BC.

AZADE=ZCBF.

VAE1BD,CF1BD,

.\ZAED=ZCFB=90°.

.,.△ADE^ACBF(AAS).

7.如圖，在口ABCD中，對角線AC,BD交于點0,過點0作直線EF,交AD,BC于點E,F.

(1)求證:OE=OF；

⑵四邊形ABFE的面積與四邊形FCDE的面積間有何關(guān)系？

解：(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AO=OC,AD//BC.

AZEA0=ZFC0.

ZA0E=ZC0F,

在aAOE和△COF中,AO=CO,

ZEA0=ZFC0,

/.△AOE^ACOF(ASA).A0E=0F.

(2)S四邊形ABFE=S四邊形H,俄.理由如下:

??,四邊形ABCD是平行四邊形,

.\AB=CD,BC=AD,ZABC=ZCDA.

AABC^ACDA(SAS).，S△祝=5△..

由(1)可知AAOEg△COF,

SAAOE==SACOF.

X***S四邊形ABFE=SZXABC+SAAOE—SACOF,

S四邊形ECDE=SACDA+SACOF-SAAOE，

s四邊形ABFE=S四邊形FCDE.

課堂小結(jié)

,對邊平行且相等

平行四邊形的性質(zhì)上寸角相等

、對角線互相平分

18.1.2平行四邊形的判定

第1課時平行四邊形的判定

教學目標

1.掌握平行四邊形的判定定理.

2.靈活運用平行四邊形的判定定理.

3.靈活運用平行四邊形性質(zhì)和判定解決實際問題.

預習反饋

閱讀教材P45?47,完成下列問題.

1.兩組對邊分別壬丘的四邊形是平行四邊形.

圖1

如圖1,在四邊形ABCD中，

VAB/7CD,BC/7AD,

四邊形ABCD是平行四邊形.

2.兩組對邊分別相笠的四邊形是平行四邊形.

如圖1,在四邊形ABCD中,

VAB=CD,BC=DA,

四邊形ABCD是平行四邊形.

3.兩組對角分別相笠的四邊形是平行四邊形.

如圖1,在四邊形ABCD中,

VZA^ZC,/B=ND,

四邊形ABCD是平行四邊形.

圖2

4.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

如圖2,在四邊形ABCD中，AC,BD相交于點0,

VA0=C0,B0=D0,

...四邊形ABCD是平行四邊形.

5.一組對邊平行且相笠的四邊形是平行四邊形.

如圖1,在四邊形ABCD中，

VAB//CD,AB=CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形.

名校講壇

例1（教材P46例3）如圖，QABCD的對角線AC,BD相交于點0,E,F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形

BFDE是平行四邊形.

【思路點撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得出0A=0C,0B=0D,再結(jié)合AE=CF,得出四邊形BFDE的對角線互相

平分，即可得出四邊形BFDE是平行四邊形.

【解答】證明：\?四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.B0=D0,A0=C0.

又：AE=CF,

；.E0=F0.

四邊形BFDE是平行四邊形.

【跟蹤訓練1】如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,對角線AC,BD相交于點0,且A0=C0.求證：四邊形ABCD是平

行四邊形.

.1

證明：VAB/7CD,

；./ABO=/CDO,

ZBAO=ZDCO.

又,..△()=CO,

...△ABO絲△CDO(AAS).

.*.BO=DO.

四邊形ABCD是平行四邊形.

例2(教材P47例4)如圖，在。ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點，求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

【思路點撥】根據(jù)E,F分別是AB,CD的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，可得BE平行且等于DF.

【解答】???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,EB〃FD.

又EB=%B,FD=|cD,

AEB=FD.

...四邊形EBFD是平行四邊形.

【方法歸納】判定平行四邊形的基本思路：

(1)若已知一組對邊平行，可以證這一組對邊相等或另一組對邊平行；

(2)若己知一組對邊相等，可以證這一組對邊平行或另一組對邊相等；

(3)若已知一組對角相等，可以證另一組對角相等；

(4)若已知條件與對角線有關(guān)，可以證明對角線互相平分.

【跟蹤訓練2】如圖，在。ABCD中，點E,F分別在AD,BC上，且AE=CF,EF,BD相交于點0,求證：0E=

證明：連接BE,DF.

:四邊形ABCD是平行四邊形,

，AD〃BC,AD=BC.

VAE=CF,，DE=BF.

又?.?DE〃BF,

???四邊形BEDF是平行四邊形.

AOE=OF.

鞏固訓練

1.如圖所示，AD/7BC,要使四邊形ABCD成為平行四邊形還需要條件(D)

/D

HC

A.AB=DC

B.Z1=Z2

C.AB=AD

D.AD=BC

2.下面給出的是四邊形ABCD中NA,ZB,ZC,ND的度數(shù)比，其中能判斷出四邊形是平行四邊形的是(B)

A.4：3：2：1B.3：2：3：：2

C.3：3：2：2D.3：2：2：1

,4D

/?C

3.如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點0,A0=C0,請?zhí)砑右粋€條件B0=D0(答案不唯一)(只添一個即可),使四

邊形ABCD是平行四邊形.

BE=；BC,FD=；AD,連接BF,DE.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

4.如圖，點E,F在口ABCD的邊BC,AD上，

,4卜D

R/-：C

證明：???四邊形ABCD為平行四邊形，

AAD平行且等于BC.

11

VBE=-BC,FD=-AD,

OO

ABE=FD.

又：BE〃FD,

四邊形BEDF是平行四邊形.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,點E,F為對角線AC上兩點，且AF=CE,DF〃BE.求證：四邊形ABCD為平行

四邊形.

證明：VAB^CD,

ZDCA=ZBAC.

；DF〃BE,.,.ZDFA=ZBEC.

；./CFD=/AEB.

VAF=CE,

.\AF-EF=CE-EF,即AE=CF.

fZBAE=ZDCF,

在aAEB和aCFD中，，AE=CF,

|,ZAEB=ZCFD,

.,.△AEB^ACFD(ASA).

AAB=CD.

：AB〃CD,

四邊形ABCD為平行四邊形.

課堂小結(jié)

1.平行四邊形判定定理：

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(5)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.平行四邊形性質(zhì)和判定的運用.

第2課時三角形的中位線

教學目標

1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì).

2.能較熟練地應用三角形中位線性質(zhì)進行有關(guān)的證明和計算.

預習反饋

閱讀教材P47?49,完成下列問題.

1.三角形的中位線的定義：連接三角形兩邊史在的線段叫做三角形的中位線.

2.三角形的中位線定理：三角形的中位線壬立于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

A

RC

如圖，：DE是aABC的中位線，

-1

ADE//BC,且DE=]/.

3.一個三角形有三條中位線.

名校講壇

例1（教材P48探究）如圖，D,E分別為AABC邊AB,AC的中點，求證：DE〃BC,且DE=；BC.

【思路點撥】本題既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長等于另一條線段長的一半.將

DE延長一倍后，可以將證明DE=；BC轉(zhuǎn)化為證明延長后的線段與BC相等.又由于E是AC的中點，根據(jù)對角線互相

平分的四邊形是平行四邊形構(gòu)造一個平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)進行證明.

占

HC

【解答】證明：如圖，延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,DC,AF.

VAE=EC,DE=EF.

四邊形ADCF是平行四邊形，CF平行且等于DA.

；.CF平行且等于BD.

四邊形DBCF是平行四邊形，DF平行且等于BC.

XVDE=|DF,

；.DE〃BC,且DE=；BC.

A

【跟蹤訓練1】如圖，在口ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,點E是AB的中點，0E=5cm,則AD的長為12cm.

例2(教材P49練習T1)如圖，在aABC中，D,E,F分別是AB,BC,CA的中點，以這些點為頂點，在圖中，你能

畫出多少個平行四邊形？為什么？

【解答】能畫出三個平行四邊形，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形BEFD、四邊形DECF、

四邊形ADEF為平行四邊形.

【跟蹤訓練2】如圖，在AABC中，D,E,F分別為邊AB,BC,CA的中點.求證：四邊形DECF是平行四邊形.

證明：：D,E,F分別為AB,BC,CA的中點,

；.DF,DE為△ABC的中位線.

；.DF〃BC,DE/7AC.

四邊形DECF是平行四邊形.

鞏固訓練

1.如圖，在等邊aABC中，點D,E分別為AB,AC的中點，則NDEC的度數(shù)為(B)

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.如圖，AABC中，D,E,F,G分別是AB,AC,AD,AE的中點，若BC=8,則DE+FG=(B)

A.4.5

%-\G

3.已知aABC的各邊長度分別為3cm,4cm,5cm,則連接各邊中點的三角形周長為(D)

A.2cmB.7cmC.5cmD.6cm

A

4.如圖，在AABC中，D,E分別是AB和AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，CF=1,DF交CE于點G,且EG=CG,

則BC=2.

5.如圖，在△ABC中，CF平分/ACB,CA=CD,AE=EB,求證：EF=|BD.

證明：VCA=CD,CF平分NACB,

；.CF為AD邊上的中線.

???F為AD的中點.

VAE=EB,

???E為AB中點.

Z.EF^AABD的中位線.

1

AEF=-BD.

乙

6.如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E,F分別是AB,CD的中點，AD=BC,NPEF=18°.求NPFE

的度數(shù).

解：：P,E,F分別是DB,AB,DC的中點,

；.PF是△[)0?的中位線，PE是aDAB的中位線,

；.PF=*C,PE=|AD.

VBC=AD,APF=PE.

,."ZPEF=18",.\ZPFE=ZPEF=18".

課堂小結(jié)

1.三角形的中位線定理.

2.三角形的中位線定理不僅給出了中位線與第三邊的位置關(guān)系，而且給出了他們的數(shù)量關(guān)系，在三角形中給出一

邊的中點時，要轉(zhuǎn)化為中位線.

18.2特殊的平行四邊形

18.2.1矩形

第1課時矩形的性質(zhì)

教學目標

1.掌握矩形的概念和性質(zhì)，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.

2.會初步運用矩形的概念和性質(zhì)來解決有關(guān)問題.

預習反饋

閱讀教材P52?53,完成下列問題.

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

如圖1,：四邊形ABCD是平行四邊形，ZA=90°,

四邊形ABCD是矩形.

2.矩形的性質(zhì)：矩形的對邊平行且相等;矩形的四個角都是直角;矩形的對角線互相平分且相等.

如圖2,?.?四邊形ABCD是矩形,

；.AB平行且等于④，AD平行且等于區(qū),

NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,

11

AO=OC=-AC,BO=DO=-BD,AC=BD.

3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二生.

如圖,在RSABC中,NACB=9。。，D為AB的中點，則CD/膽

名校講壇

例1（教材P53例1）如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,ZA0B=60°,AB=4,求矩形對角線的長.

【思路點撥】因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質(zhì)，根據(jù)矩形的這個性

質(zhì)和已知條件，可得AOAB是等邊三角形，因此對角線的長度可求.

【解答】1?四邊形ABCD是矩形,

...AC與BD相等且互相平分.

AOA=OB.

又NA0B=60°,

.?.△OAB是等邊三角形.；.0A=AB=4.

.,.AC=BD=20A=2X4=8.

【方法歸納】應用矩形性質(zhì)計算的一般思路:

①根據(jù)矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個全等的直角三角形，用勾股定理求線段的長度是常

用的思路;

②根據(jù)矩形對角線相等且互相平分，故可借助對角線的關(guān)系得到全等三角形，矩形的兩條對角線把矩形分成四

個等腰三角形，在矩形性質(zhì)相關(guān)的計算和證明中要注意這個結(jié)論的運用，建立能夠得到線段或角度的等量關(guān)系.

【跟蹤訓練1】（《名校課堂》18.2第1課時習題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,ZACB=30°,

則NAOB的大小為（B）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

【跟蹤訓練2】如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,點E,F在BD上，OE=OF.求證：AE=CF.

??C

證明：???四邊形ABCD是矩形，

AOA=OC.

在AAOE和△COF中，

[OA=OC,

<ZA0E=ZC0F,

[OE=OF,

.,.△AOE^ACOF(SAS).

???AE=CF.

例2如圖，D,E,F分別是aABC各邊的中點，AH是高，如果ED=5cm,求HF的長.

【思路點撥】由中位線定理可知DE=%C,即可求出AC的長度，又因為IIF是RtaAHC斜邊上的中線，即可求出HF

的長度.

【解答】由題意，得DE是aABC的中位線，

1

.\DE=-AC.

VHF是RtAAHC的斜邊AC上的中線，

；.HF=%C.

AHF=DE=5cm.

【跟蹤訓練3】如圖，在aABC中，D為AB的中點，BE±AC,垂足為E.若DE=4,AE=6,則BE的長度是(D)

A

B

A.10

B.2乖

C.8

I).2小

鞏固訓練

1.在下面性質(zhì)中，矩形不一定具有的是(D)

A.對角線相等B.四個角都相等

C.是軸對稱圖形D.對角線互相垂直

2.直角三角形中，斜邊長為12,則斜邊上的中線長是(A)

A.6B.4C.8D.12

3.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,點E,F分別是AO,AD的中點，若AB=6cm,BC=8cm,

則AAEF的周長為(C)

A.7cmB.8cm

C.9cmD.12cm

4.如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于0,AEJ_BD于E,若NDAE：/BAE=3：1,則/ABD為(D)

5.如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點0,過點0的直線分別交AD和BC于點E,F,AB=2,BC=4,則圖

中陰影部分的面積為生

6.如圖，己知四邊形ABCD是矩形(AD>AB),點E在BC上，且AE=AD,DF1AE,垂足為點F,求證：DF=AB.

證明：?.?四邊形ABCD是矩形，DF1AE,

.*.ZEBA=ZDFA=90o，AD//BC.

ZDAF=ZAEB.

]NDAF=/AEB,

在4AFD和aEBA中，｛/AFD=NEBA,

|,AD=AE,

.,.△AFD^AEBA(AAS).

；.DF=AB.

課堂小結(jié)

1.矩形的定義及性質(zhì).

2.矩形是特殊的平行四邊形，矩形的四個角都是直角，對角線互相平分且相等.

第2課時矩形的判定

教學目標

1.能應用矩形定義、判定定理，解決簡單的證明題和計算題，進一步培養(yǎng)分析能力.

2.培養(yǎng)綜合應用知識分析解決問題的能力.

預習反饋

閱讀教材P54?55,完成下列問題.

1.如圖1,；四邊形ABCD是平行四邊形，/A=90°,

四邊形ABCD是矩形.

2.如圖2,：四邊形ABCD是平行四邊形，AC-BD,

四邊形ABCD是矩形.

3.如圖，?.?在四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,，四邊形ABCD是矩形.

名校講壇

例（教材P54例2）如圖，在。ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,且0A=0D,N0AD=50°.求N0AB的度數(shù).

【思路點撥】先證明口ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的四個內(nèi)角均為90°,即可求出N0AB的度數(shù).

【解答】?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AB

/.OA=OC=~AC,OB=OD=；BD.

又???OA=OD,

???AC=BD.

???四邊形ABCD是矩形.

???NDAB=90°.

又N0AD=50°,

AZ0AB=40°.

【方法歸納】判定矩形的基本思路：

①若已知一個直角，則可以證該四邊形是平行四邊形或其他角中有兩個是直角；

②若對角線相等，則可以證該四邊形是平行四邊形；

③若已知四邊形是平行四邊形，則需要證明一個內(nèi)角是直角或?qū)蔷€相等.

【跟蹤訓練1】如圖所示，在aABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線

于點F,且AF=BD,連接BF.

(1)求證：D是BC的中點；

(2)若AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.

證明:(1)VAF/7BC,

；./AFC=NFCB.

XVZAEF=ZDEC,AE=DE,

.,.△AEF^ADEC(AAS).

.,.AF=DC.

又：AF=BD,.\BD=DC,即D是BC的中點.

(2)四邊形AFBD是矩形.

VAFZ/BC,AF=BD,

...四邊形AFBD是平行四邊形.

；AB=AC,D是BC的中點,

AADIBC,BPZADB=90°.

四邊形AFBD是矩形.

【跟蹤訓練2】(《名校課堂》18.2.1第2課時習題)已知：如圖，在口ABCD中，AF,BH,CH,DF分別是/BAD,

/ABC,ZBCD,NADC的平分線.求證：四邊形EFGH為矩形.

證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.ZDAB+ZADC=180°.

VAF,DF分別平分NDAB,ZADC,

1

.?.ZFAD=ZBAF=-ZDAB,

1

ZADF=ZCDF=-ZADC.

.?./FAD+/ADF=90°.AZAFD=90°.

同理可得，ZBHC=ZHEF=90°.

四邊形EFGH是矩形.

鞏固訓練

1.在nABCD中，增加一個條件四邊形ABCD就成為矩形，這個條件是(B)

A.AB=CDB.ZA+ZC=180°

C.BD=2ABD.ACXBD

2.如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是(D)

A.AB=CDB.AD=BC

C.AB=BCD.AC=BD

一

BC

3.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC±BD,E,F,G,H分別是各邊的中點.若AC=8,BD=6,則四邊形EFGH

的面積是12.

D

y力c

R

4.如圖，在nABCD中，E是DC邊的中點，且EA=EB.求證：MBCD是矩形.

DEC

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，...AD=BC,AD〃BC.

.?.ZD+ZC=180°.

VE是DC邊的中點，，DE=EC.在aADE和4BCE中，

(DE=CE,

JAD=BC,

[AE=BE,

AADE^ABCE(SSS).ND=ZC.

VZD+ZC=180°,，/D=/C=90°.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.平行四邊形ABCD是矩形.

5.已知：如圖，D是AABC的邊AB上一點，CN〃AB,DN交AC于點M,MA=MC.

(1)求證：AD=CN；

(2)若NBAN=90°,求證：四邊形ADCN是矩形.

證明：(1)TCN〃AB,

ZDAM=ZNCM.

在aAMD和ACMN中，

(/DAM=NNCM,

hlA=MC,

|.ZAMD=ZCMN,

.,.△AMD^ACMN(ASA)..，.AD=CN.

(2)VAD/7CN,AD=CN,

四邊形ADCN是平行四邊形.

XVZBAN=90°,即NDAN=90°,

四邊形ADCN是矩形.

課堂小結(jié)

矩形的判定方法:

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

2.對角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個角是直角的四邊形是平行四邊形.

18.2.2菱形

第1課時菱形的性質(zhì)

教學目標

1.理解并掌握菱形的定義及性質(zhì)定理；會用這些定理進行有關(guān)的論證和計算.

2.根據(jù)平行四邊形與矩形、菱形的從屬關(guān)系，通過畫圖向?qū)W生滲透集合思想.

預習反饋

閱讀教材P55?56,完成下列問題.

1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形.

如圖1,?.?四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=AD,

四邊形ABCD是菱形.

B13

圖1圖2

2.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直平分,且每條對角線平分一組對角;菱形是軸

對稱圖形，它的對角線所在的直線就是它的對稱軸.

如圖2,?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=DA,

AC±BD,AO=OC=-AC,

BO=DO=-BD,

AC平分/BAD和/BCD,BD平分NABC和NADC.

3.菱形的面積等于底乘以直；菱形的面積等于兩對角線乘積的一半.如圖，S-AE=|AC-BD.

名校講壇

例（教材P56例3）如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m,/ABC=60°,沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和

BD,求兩條小路的長（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

【思路點撥】本題要求兩條小路的長和花壇的面積，可以在RtZXABO中，應用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出

0A,0B的長.

【解答】；花壇ABCD的形狀是菱形，

.'.AC1BD,ZAB0=1zABC=1x60°=30°.

在RtZXOAB中，

A0=1AB=1X20=10.

BO=^AB2-A02=^/20--102=1073.

花壇的兩條小路長AC=2AO=20（m）.

BD=2B0=20^Q34.64（m）.

花壇的面積S菱形幽＞=4XSAOAB=3C-BD=200小心346.4底）.

【方法歸納】（1）菱形的一條對角線將菱形分成兩個全等的等腰三角形；

（2）菱形的兩條對角線將菱形分成四個全等的小直角三角形；

（3）應用菱形性質(zhì)計算的一般思路：

①菱形對邊平行、對角相等、四邊相等，所以在做題時，可利用等量代換來轉(zhuǎn)換為其他邊的長；

②菱形的對角線互相垂直，故常借助對角線垂直和勾股定理來求線段的長.

【跟蹤訓練1】菱形的周長為4,兩個相鄰內(nèi)角度數(shù)為1：2,則該菱形的面積為（A）

A.坐B.小C.2D.24

【跟蹤訓練2】（《名校課堂》18.2.2第1課時習題）如圖，在菱形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，連接

AE,AF.AE和AF有什么樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由.

解：AE=AF.

理由：???四邊形ABCD是菱形,

，AB=AD,ZB=ZD,BC=CD.

又yE,F分別為BC,CD的中點,

11

/.BE=~BC,DF=>).

???BE=DF.

.二△ABE絲△ADF(SAS).

AAE=AF.

鞏固訓練

1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是(D)

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

2.如圖，在菱形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是(D)

B.ZDAC=ZBAC

C.AC1BD

D.AO=DO

3.如圖，在菱形ABCD中，E,F分別是AB,AC的中點，若EF=3,則菱形ABCD的周長是(D)

4.已知菱形ABCD的面積為24cm2,若對角線AC=6cm,則這個菱形的邊長為立cm.

5.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是菱形.若點A的坐標是(3,4),則點C的坐標是(8,4).

6.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，/ACD=30°,AB=6.

(1)求NABC的度數(shù)；

⑵求AC的長.

D

解:⑴；四邊形ABCD是菱形,ZACD=30°,

.?.ZBCD=2ZACD=60°.

.,.ZABC=180°-60°=120°.

(2)連接BD交AC于點0,則NAOB=90°,A0=C0.

VZACD=ZBAC=30°,

.,.在RtAAOB中，0B=1AB=3.

OA=^AB2-0B2=373.

AAC=6-\/3.

7.如圖，在菱形ABCD中，AC,BD相交于點0,E為AB的中點，DE±AB.

(1)求/ABC的度數(shù)；

(2)如果AC=44，求DE的長.

解：⑴為AB的中點,DE±AB,/.AD=DB.

?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD,AD〃BC.

.,.AD=DB=AB.

/.△ABD為等邊三角形.

AZDAB=60°.

；AD〃BC,

.?.ZABC=180°-ZDAB=180°-60°=120°,

KPZABC=120°.

⑵?.?四邊形ABCD是菱形,

ABDIAC,AO=1AC=|X4^/3=2^/3.

由（1）可知,DE和AO都是等邊aABD的高，

；.DE=A0=24.

課堂小結(jié)

1.菱形的定義.

2.菱形的性質(zhì).

3.菱形與平行四邊形、矩形的關(guān)系.

第2課時菱形的判定

教學目標

1.理解并掌握菱形的定義及其他兩個判定方法.

2.會用這些判定方法進行有關(guān)的論證和計算.

預習反饋

閱讀教材P57?58,完成下列問題.

1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

如圖，?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD,

四邊形ABCD是菱形.

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

如圖，?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AC1BD,

四邊形ABCD是菱形.

3.四條邊都相等的四邊形是菱形.

如圖，在四邊形ABCD中，

VAB=BC=CD=DA,

四邊形ABCD是菱形.

名校講壇

例（教材P57例4）如圖，/BCD的對角線AC,BD相交于點0,AB=5,AC=8,DB=6.求證：四邊形ABCD是菱形.

【思路點撥】在aAOB中，根據(jù)勾股定理的逆定理可以得出NA0B=90°,再結(jié)合四邊形ABCD是平行四邊形即可得

證.

I)

A

【解答】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，0A=0C=4,0B=0D=3.

又AB=5,則3"2=52,BP0A2+0B2=AB2.

AZAOB=90°,即AC_LBD.

四邊形ABCD是菱形.

【方法歸納】判定菱形的基本思路：

①若已知一組鄰邊相等，則需要證該四邊形是平行四邊形或四條邊都相等：

②若對角線互相垂直，則需要證明該四邊形是平行四邊形；

③若已知四邊形是平行四邊形，則需要證明一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.

【跟蹤訓練】(《名校課堂》18.2.2第2課時習題)在aABC中，M是AC邊上的一點，連接BM.將△ABC沿AC翻折,

使點B落在點D處，當DM〃AB時，求證：四邊形ABMD是菱形

L

S

A

c

證明：VABZ/DM,

/.ZBAM=ZAMD.

由折疊性質(zhì)，得NCAB=NCAD,AB=AD,BM=DM.

JZDAM=ZAMD.

，DA=DM=AB=BM.

???四邊形ABMD是菱形.

鞏固訓練

1.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，要使它成為菱形，那么需要添加的條件可以是(A)

A.AD=CDB.AB=AC

C.ZABC=90°D.AC=BD

D

韭

/?c

2.如圖,在口ABCD中，AC平分NDAB,AB=2,則口ABCD的周長為(C)

A.4B.6C.8D.12

￡)

3.如圖，小明在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點A,B為圓心，大于線段AB長度一半的長為

半徑畫弧，相交于點C,D,則直線CD即為所求，連接AC,