浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《4.1比例線段》同步測(cè)試題及答案

第第頁(yè)浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《4.1比例線段》同步測(cè)試題及答案1.如果數(shù)x是2和32的比例中項(xiàng)，那么x等于()A．8 B．－8C．16 D．±82.已知在三條線段a，b，c中，有c2＝ab，則稱c是a，b的比例中項(xiàng)線段．若a＝2，b＝8，則a，b的比例中項(xiàng)線段c的長(zhǎng)為()A．4 B．±4C．±16 D．1或163.若x是a，b的比例中項(xiàng)，則下列式子中，不一定成立的是()A．x2＝ab B．eq\f(a,x)＝eq\f(x,b)C．eq\f(b,x)＝eq\f(x,a) D．a(chǎn)b＝eq\r(x)4.如圖，已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC＞BC)，則下列結(jié)論中，正確的是()第4題圖A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC．eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)D．eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2)5.蘇堤南起南屏山麓，北到棲霞嶺下，全長(zhǎng)2.8千米．蘇堤上有名的六座橋由南到北分別是映波橋、鎖瀾橋、望山橋、壓堤橋、束浦橋、跨虹橋．壓堤橋約居蘇堤南北的黃金分割位，舊時(shí)是湖船東來(lái)西去的通道．從地圖上看，壓堤橋位于蘇堤北部．請(qǐng)結(jié)合上述描述，估計(jì)壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為()A．0.9千米B．1.1千米C．1.3千米D．1.4千米6.小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．第6題圖7.在13世紀(jì)，數(shù)學(xué)家法布蘭斯寫(xiě)了一本書(shū)，提到了一些奇異數(shù)的組合．這些奇異數(shù)的組合是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在這組數(shù)中有兩個(gè)規(guī)律：(1)從第3個(gè)數(shù)開(kāi)始，任何一個(gè)數(shù)都等于____________．(2)從第8個(gè)數(shù)21開(kāi)始，任何一個(gè)數(shù)與后面的數(shù)相除時(shí)，其商都接近____________.8.如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器板面上，若支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則C，D之間的距離為_(kāi)____________cm.第8題圖9.融融家的木地板是按照如圖所示的方式拼接的，其中四個(gè)小矩形是全等的．經(jīng)測(cè)量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD.延長(zhǎng)HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈____________DE(精確到0.001).第9題圖10.如圖，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，CB＞CA，△PAB和△QBC均是等邊三角形．若S1表示△PAC的面積，S2表示△QBC的面積，則eq\f(AC,BC)的值為_(kāi)____________，S1與S2的大小關(guān)系為_(kāi)____________.第10題圖11.回答問(wèn)題，并思考兩題有何區(qū)別．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中項(xiàng)，求b的值．(2)已知線段MN是AB，CD的比例中項(xiàng)線段，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的長(zhǎng)．12.生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美．如圖，在設(shè)計(jì)雕塑時(shí)，使雕塑的腰部以下部分的高度a與全身高度b的比值接近0.618，可以增加視覺(jué)美感．若圖中a＝125cm，b＝200cm，則雕塑的發(fā)髻高出頭頂多少時(shí)，其上半部分與下半部分符合黃金分割(精確到0.1cm)?第12題圖13.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，現(xiàn)以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊AC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊AB于點(diǎn)E.求證：E是線段AB的黃金分割點(diǎn)．第13題圖14.若一個(gè)矩形的短邊與長(zhǎng)邊的比值為eq\f(\r(5)－1,2)，則稱這樣的矩形為黃金矩形．如圖，矩形ABCD(AB＞AD)是黃金矩形．以黃金矩形ABCD的短邊AD為邊作正方形AEFD，得到的四邊形EBCF是不是黃金矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．第14題圖15.古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“黃金三角形”很美——頂角為36°的等腰三角形，稱為“黃金三角形”．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，其中eq\f(BC,AC)≈0.618，“0.618”eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))又稱為黃金比，是著名的數(shù)學(xué)常數(shù)．作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)C1，得到黃金三角形BCC1；作C1B1∥BC，交AB于點(diǎn)B1，再作B1C2∥BC1，交AC于點(diǎn)C2，得到黃金三角形B1C1C2；作C2B2∥BC，交AB于點(diǎn)B2，再作B2C3∥BC1，交AC于點(diǎn)C3，得到黃金三角形B2C2C3……依此類推，我們可以得到無(wú)窮無(wú)盡的黃金三角形．若BC的長(zhǎng)為1，求C5C6的長(zhǎng).第15題圖參考答案1.如果數(shù)x是2和32的比例中項(xiàng)，那么x等于(D)A．8 B．－8C．16 D．±82.已知在三條線段a，b，c中，有c2＝ab，則稱c是a，b的比例中項(xiàng)線段．若a＝2，b＝8，則a，b的比例中項(xiàng)線段c的長(zhǎng)為(A)A．4 B．±4C．±16 D．1或16【解析】∵c2＝ab＝2×8，∴c1＝4，c2＝－4(不合題意，舍去).3.若x是a，b的比例中項(xiàng)，則下列式子中，不一定成立的是(D)A．x2＝ab B．eq\f(a,x)＝eq\f(x,b)C．eq\f(b,x)＝eq\f(x,a) D．a(chǎn)b＝eq\r(x)4.如圖，已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC＞BC)，則下列結(jié)論中，正確的是(C)第4題圖A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC．eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)D．eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2)5.蘇堤南起南屏山麓，北到棲霞嶺下，全長(zhǎng)2.8千米．蘇堤上有名的六座橋由南到北分別是映波橋、鎖瀾橋、望山橋、壓堤橋、束浦橋、跨虹橋．壓堤橋約居蘇堤南北的黃金分割位，舊時(shí)是湖船東來(lái)西去的通道．從地圖上看，壓堤橋位于蘇堤北部．請(qǐng)結(jié)合上述描述，估計(jì)壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為(B)A．0.9千米B．1.1千米C．1.3千米D．1.4千米【解析】設(shè)壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為x千米由題意，得eq\f(2.8－x,2.8)＝eq\f(\r(5)－1,2)解得x≈1.1即壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為1.1千米．6.小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．第6題圖【解析】設(shè)eq\f(a,c)＝m，則a＝cm.又∵eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)＝eq\r(2)∴ac＝b2∴c2m＝b2∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＝2.7.在13世紀(jì)，數(shù)學(xué)家法布蘭斯寫(xiě)了一本書(shū)，提到了一些奇異數(shù)的組合．這些奇異數(shù)的組合是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在這組數(shù)中有兩個(gè)規(guī)律：(1)從第3個(gè)數(shù)開(kāi)始，任何一個(gè)數(shù)都等于__前面兩個(gè)數(shù)的和__．(2)從第8個(gè)數(shù)21開(kāi)始，任何一個(gè)數(shù)與后面的數(shù)相除時(shí)，其商都接近__0.618__.8.如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器板面上，若支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則C，D之間的距離為_(kāi)_80eq\r(5)－160__cm.第8題圖【解析】∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)∴AC＝BD＝80×eq\f(\r(5)－1,2)＝(40eq\r(5)－40)cm∴CD＝BD－(AB－AC)＝2BD－AB＝(80eq\r(5)－160)cm.9.融融家的木地板是按照如圖所示的方式拼接的，其中四個(gè)小矩形是全等的．經(jīng)測(cè)量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD.延長(zhǎng)HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈__0.618__DE(精確到0.001).第9題圖【解析】∵E是AD的黃金分割點(diǎn)∴eq\f(DE,AD)＝eq\f(AE,DE)≈0.618.由題意，得EG＝AE∴eq\f(EG,DE)≈0.618即EG≈0.618DE.10.如圖，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，CB＞CA，△PAB和△QBC均是等邊三角形．若S1表示△PAC的面積，S2表示△QBC的面積，則eq\f(AC,BC)的值為_(kāi)_eq\f(\r(5)－1,2)__，S1與S2的大小關(guān)系為_(kāi)_S1＝S2__.第10題圖【解析】∵C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且BC＞AC，則eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)∴BC2＝AC·AB.易知S1＝eq\f(\r(3),4)AC·AB，S2＝eq\f(\r(3),4)BC2∴S1＝S2.11.回答問(wèn)題，并思考兩題有何區(qū)別．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中項(xiàng)，求b的值．(2)已知線段MN是AB，CD的比例中項(xiàng)線段，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的長(zhǎng)．解：(1)∵b是a，c的比例中項(xiàng)∴b2＝ac∴b＝±eq\r(ac).又∵a＝4，c＝9∴b＝±eq\r(36)＝±6.(2)∵線段MN是AB，CD的比例中項(xiàng)線段∴MN2＝AB·CD∴MN＝eq\r(AB·CD).又∵AB＝4cm，CD＝5cm∴MN＝eq\r(20)＝2eq\r(5)(cm).通過(guò)解答(1)，(2)發(fā)現(xiàn)，b，MN同時(shí)作為比例中項(xiàng)出現(xiàn)，b為數(shù)值，MN為線段∴b可以取負(fù)值，而MN不可以取負(fù)值．12.生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美．如圖，在設(shè)計(jì)雕塑時(shí)，使雕塑的腰部以下部分的高度a與全身高度b的比值接近0.618，可以增加視覺(jué)美感．若圖中a＝125cm，b＝200cm，則雕塑的發(fā)髻高出頭頂多少時(shí)，其上半部分與下半部分符合黃金分割(精確到0.1cm)?第12題圖解：設(shè)發(fā)髻高出頭頂x(cm)由題意，得eq\f(125,200＋x)＝0.618解得x≈2.3.經(jīng)檢驗(yàn)，x≈2.3是原方程的解，且符合題意．答：雕塑的發(fā)髻高出頭頂約2.3cm時(shí)，其上半部分與下半部分符合黃金分割．13.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，現(xiàn)以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊AC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊AB于點(diǎn)E.求證：E是線段AB的黃金分割點(diǎn)．第13題圖證明：設(shè)BC＝a，則AB＝2a，由勾股定理，得AC＝eq\r(5)a.由題意，得CD＝BC＝a∴AE＝AD＝AC－CD＝eq\r(5)a－a∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)即E是線段AB的黃金分割點(diǎn)．14.若一個(gè)矩形的短邊與長(zhǎng)邊的比值為eq\f(\r(5)－1,2)，則稱這樣的矩形為黃金矩形．如圖，矩形ABCD(AB＞AD)是黃金矩形．以黃金矩形ABCD的短邊AD為邊作正方形AEFD，得到的四邊形EBCF是不是黃金矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．第14題圖解：四邊形EBCF是黃金矩形．理由如下：∵四邊形AEFD是正方形∴∠AEF＝∠BEF＝90°.又∵∠B＝∠C＝90°∴四邊形EBCF是矩形．設(shè)CD＝a，AD＝b，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)∴eq\f(CF,EF)＝eq\f(a－b,b)＝eq\f(a,b)－1＝eq\f(2,\r(5)－1)－1＝eq\f(\r(5)－1,2)∴矩形EBCF是黃金矩形．15.古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“黃金三角形”很美——頂角為36°的等腰三角形，稱為“黃金三角形”．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，其中eq\f(BC,AC)≈0.618，“0.618”eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))又稱為黃金比，是著名的數(shù)學(xué)常數(shù)．作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)C1，得到黃金三角形BCC1；作C1B1∥BC，交AB于點(diǎn)B1，再作B1C2∥BC1，交AC于點(diǎn)C2，得到黃金三角形B1C1C2；作C2B2∥BC，交AB于點(diǎn)B2，再作B2C3∥BC1，交AC于點(diǎn)C3，得到黃金三角形B2C2C3……依此類推，我們可以得到無(wú)窮無(wú)盡的黃金三角形．若BC的長(zhǎng)為1，求C5C6的長(zhǎng).第15題圖【解析】∵△BCC1是黃金三角形∴eq\f(CC1,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即CC1＝eq\f(\r(5