考點02 函數(shù)的概念及表示（原卷版）

考點二函數(shù)的概念及表示知識點整合1．函數(shù)（1）常量和變量在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量．【注意】①變量和常量是相對而言的，變化過程不同，它們可能發(fā)生改變，判斷的前提條件是“在同一個變化過程中”，當(dāng)變化過程改變時，同一個量的身份也可能隨之改變．例如，在s=t中，當(dāng)s一定時，v、t為變量，s為常量；當(dāng)t一定時，s、v為變量，而t為常量．②“常量”是已知數(shù)，是指在整個變化過程中保持不變的量，不能認(rèn)為式中出現(xiàn)的字母就是變量，如在一個勻速運動中的速度v就是一個常量．③變量、常量與字母的指數(shù)沒有關(guān)系，如S=πr2中，變量是“S”和“r”，常量是“π”．④判斷一個量是不是變量，關(guān)鍵是看其數(shù)值是否發(fā)生變化．（2）函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．例如：在s=60t中，有兩個變量；s與t，當(dāng)t變化時，s也隨之發(fā)生變化，并且對于t在其取值范圍內(nèi)的每一個值，s都有唯一確定的值與之對應(yīng)，我們就稱t是自變量，s是t的函數(shù)．對函數(shù)定義的理解，主要抓住以下三點：①有兩個變量．②函數(shù)不是數(shù)，函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)，函數(shù)關(guān)系就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，且是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的數(shù)值隨著另一個變量數(shù)值的變化而變化．③函數(shù)的定義中包括了對應(yīng)值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數(shù)有且只有一個值與之對應(yīng)，對自變量x的不同取值，y的值可以相同，如：函數(shù)y=x2，當(dāng)x=1和x=-1時，y的對應(yīng)值都是1．④在某個變化過程中處于主導(dǎo)地位的變量即為自變量，隨之變化且對應(yīng)值有唯一確定性的另一個變量即為該自變量的函數(shù).（3）函數(shù)取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的取值范圍的確定必須考慮兩個方面：①不同類型的函數(shù)關(guān)系式中自變量取值范圍的求解方法；②當(dāng)用函數(shù)關(guān)系式表示實際問題時，自變量的取值不但要使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還必須使實際問題有意義．（4）函數(shù)解析式及函數(shù)值函數(shù)解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式．①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數(shù)，通常等式右邊的代數(shù)式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數(shù)．③書寫函數(shù)的解析式是有順序的．y=2x-1表示y是x的函數(shù)，若x=2y-1，則表示x是y的函數(shù)，即求y關(guān)于x的函數(shù)解析式時，必須用含x的代數(shù)式表示y，也就是等式左邊是一個變量y，右邊是一個含x的代數(shù)式．④用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做解析式法．函數(shù)值：對于自變量x在取值范圍內(nèi)的某個確定的值a，函數(shù)y所對應(yīng)的值為b，即當(dāng)x=a，y=b時，b叫做自變量x的值為a時的函數(shù)值．（5）函數(shù)的圖象及其畫法一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．畫函數(shù)的圖象，可以運用描點法，其一般步驟如下：①列表：表中列舉一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值，自變量的取值不應(yīng)使函數(shù)值太大或太小，以便于描點，點數(shù)一般以5到7個為宜．②描點：在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點．描點時，要注意橫、縱坐標(biāo)的符號與點所在的象限（或坐標(biāo)軸）之間的關(guān)系，描出的點大小要適中，位置要準(zhǔn)確．③連線：按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．（6）函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法一般有三種：解析式法、列表法和圖象法，表示函數(shù)關(guān)系時，要根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ袝r為了全面地認(rèn)識問題，需要幾種方法同時使用．考向一函數(shù)的概念典例引領(lǐng)1．聲音在空氣中傳播的速度v（簡稱聲速）與空氣溫度t的大致關(guān)系如下表所示，則下列說法錯誤的是（

）溫度t/℃－20－100102030聲速v/（m/s）318324330336342348A．溫度越高，聲速越快B．在這個變化過程中，自變量是聲速v，因變量是溫度tC．當(dāng)空氣溫度為20℃時，聲速為342m/sD．溫度t每升高10℃，聲速v提高6m/s2．下列關(guān)于y與x的關(guān)系式中，y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．在平整的路面上，某型號汽車緊急剎車后仍將滑行s（m），一般地有經(jīng)驗公式，其中v表示剎車前汽車的速度（單位：km/h）．在這個公式中因變量是（

）A．300 B．s C．v D．s與v4．下列圖形中的曲線不表示y是x的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．知識拓展5．變量x，y有如下關(guān)系；①；②；③；④．其中y是x的函數(shù)的是．6．某學(xué)校為學(xué)生購買某種課外閱讀書，書的單價是14元，購買本書，花費元.這個問題中的變量是，常量是.三、解答題7．游泳池應(yīng)定期換水，某游泳池在一次換水前存水936立方米，換水時關(guān)閉進(jìn)水孔打開排水孔，以每小時78立方米的速度將水放完，當(dāng)放水時間增加時，游泳池的存水隨之減少，它們的變化情況如下表：放水時間/小時123456游泳池的存水/立方米858780702546(1)在這個變化過程中，自變量是________，因變量是________；(2)請將上述表格補(bǔ)充完整；(3)設(shè)放水時間為小時，游泳池的存水量為立方米，寫出與的關(guān)系式（不要求寫自變量范圍）．8．下列各式中，是否是的函數(shù)？為什么？(1)；(2)．9．小明和父母一起開車到離家200km的景點旅游，出發(fā)前，轎車油箱內(nèi)儲油45L，當(dāng)行駛了150km時，發(fā)現(xiàn)油箱剩余油量為30L（假設(shè)行駛過程中該轎車的耗油量是均勻的）．(1)這個變化過程中哪個是自變量？哪個是因變量？(2)寫出行駛路程與剩余油量的關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)時，求剩余油量Q的值．10．父親告訴小明“在一定范圍內(nèi)，距離地面越高，溫度越低”，并給小明出示了下面的表格：距離地面的高度012345溫度201482根據(jù)表格回答下列問題：(1)距離地面，的溫度分別是多少？(2)在這個變化過程中變量是什么？(3)如果用表示距離地面的高度，用表示溫度，那么在一定范圍內(nèi)，隨著的變化，是怎么變化的？考向二函數(shù)的解析式典例引領(lǐng)1．某轎車行駛時油箱中的剩余油量與行駛時間的關(guān)系如下表，則下面用含t的代數(shù)式表示Q的式子正確的是（）行駛時間剩余油量12345……A． B． C． D．2．甲、乙兩地相距，一貨車從甲地出發(fā)以的速度勻速向乙地行駛，則貨車距離乙地的路程與時間之間的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．二、填空題3．聲音在常溫空氣中的傳播速度是，則傳播距離l（）與傳播時間t（）之間的函數(shù)表達(dá)式為．4．有若干張如圖①所示的拼圖卡，用3張這樣的拼圖卡按圖②的方式無縫隙拼接在一起，拼成的圖案總長為；如圖③，用8張這樣的拼圖卡按同樣的方式拼接，拼成的圖案總長為；若用x張這樣的拼圖卡按同樣的方式拼接，拼成的圖案總長為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（為正整數(shù)）．

5．某水果商購進(jìn)一批蘋果到農(nóng)貿(mào)市場銷售．已知賣出的蘋果質(zhì)量xkg與收入y元的關(guān)系如下表：質(zhì)量x/kg12345…收入y/元…則收入y元與賣出的蘋果質(zhì)量xkg之間的函數(shù)表達(dá)式是．變式拓展6．某高層樓房的平面示意圖，如圖所示，假設(shè)每層室內(nèi)凈高為2.7米，每層樓板厚度為0.3米，第一層高出地面為0.3米，頂層平臺厚度為0.3米．(1)將表格補(bǔ)充完整；層數(shù)12345樓房高度（米）3.36.3______12.3______(2)設(shè)該高層樓房有層，樓房總高度為米，則與之間的函數(shù)關(guān)系式是______；(3)若樓房總高度為66.3米，求該樓房的層數(shù)．7．已知一個等腰三角形的周長為cm，腰長為xcm，底邊長為ycm．(1)請寫出底邊長y（cm）與腰長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)腰長為cm時，求這個等腰三角形的底邊長．8．如圖，是一個“因變量隨著自變量變化而變化”的示意圖，下面表格中是通過運算得到的幾組x與y的對應(yīng)值．根據(jù)圖表信息回答下列問題：輸入x…02…輸出y…2m18…(1)直接寫出：______，______，______．(2)當(dāng)輸出y的值為12時，求輸入x的值．9．一種蘋果的銷售數(shù)量千克與銷售額元的關(guān)系如下：數(shù)量千克銷售額元(1)求出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系；(2)請估計銷售量為千克時銷售額是多少？10．綜合與實踐下表是兩種“5G優(yōu)惠套餐”計費方式．每月基本服務(wù)費固定收，通話時間不超時，上網(wǎng)流量不超量不再收費，通話時間超時（不足一分鐘按一分鐘計算）和上網(wǎng)超流量部分（不足1G按1G計算）加收超時通話費和超流量費．套餐A套餐B服務(wù)項目國內(nèi)通話十上網(wǎng)流量國內(nèi)通話十上網(wǎng)流量每月基本服務(wù)費38元58元免費通話時間100分鐘300分鐘超時通話每分鐘收費元元免費上網(wǎng)流量8G10G套餐外流量不足1G時按1G收費（5元/G），達(dá)到1G（即5元）時，再額外贈送1G免費流量，當(dāng)免費流量用完后，仍按5元/G收費．(1)若小雨的媽媽某月通話時間為350分鐘，上網(wǎng)流量為5G，則她的媽媽按套餐計費需付多少元，按套餐計費需付多少元；(2)若小雨上網(wǎng)流量每月不超過8G，設(shè)通話時間為分鐘，所需付出的費用為元，分別寫出套餐、套餐中與之間的關(guān)系式；(3)小雨通過幾個月對賬單發(fā)現(xiàn)，自己每月100分鐘的通話時間綽綽有余，但上網(wǎng)流量波動比較大，設(shè)上網(wǎng)流量為（且為整數(shù)），那么小雨選擇哪種套餐更優(yōu)惠？考向三函數(shù)自變量的取值范圍典例引領(lǐng)1．函數(shù)的自變量x的取值范圍是（

）．A． B． C．且 D．且2．函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）．A． B． C． D．一切實數(shù)3．在函數(shù)中，當(dāng)函數(shù)值為時，自變量的值為（

）A．2 B． C． D．二、填空題4．函數(shù)的自變量x的取值范圍是．5．函數(shù)中自變量的取值范圍是．變式拓展6．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．7．函數(shù)的定義域是．8．函數(shù)的定義域是．9．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是．三、解答題10．有人說“鮮花可作為七彩云南的一張名片，”的確，在云南幾乎一年四季都有各種鮮花在爭妍斗艷，令人賞心悅目，各種鮮花制品也是種類繁多，令人目不暇接，某花店第一天賣出50束玉蘭花和20束玫瑰花的利潤是800元，第二天賣出30束玉蘭花和30束玫瑰花的利潤是750元．(1)每束玉蘭花和玫瑰花的利潤各是多少元？(2)某天該花店賣出玉蘭花和玫瑰花一共80束．①賣出束玉蘭花，賣出兩種花的總利潤為元，寫出與的函數(shù)關(guān)系式；②賣這兩種花的利潤是900元，這天賣出多少束玫瑰花？考向四函數(shù)圖像分析典例引領(lǐng)1．水池有個進(jìn)水口，個出水口，每個進(jìn)水口進(jìn)水量與時間的關(guān)系如圖甲所示，出水口出水量與時間的關(guān)系如圖乙所示．某天點到點，該水池的蓄水量與時間的關(guān)系如圖丙所示．下列判斷：點到點，打開兩個進(jìn)水口，關(guān)閉出水口；點到點，同時關(guān)閉兩個進(jìn)水口和一個出水口；點到點，關(guān)閉兩個進(jìn)水點．同時打開兩個進(jìn)水口和一個出水口．其中，可能正確的論斷是（）A． B． C． D．2．甲、乙兩個草莓采摘園為吸引顧客，在草莓售價相同的條件下，分別推出下列優(yōu)惠方案：進(jìn)入甲園，顧客需購買門票，采摘的草莓按六折銷售；進(jìn)入乙園，顧客免門票，采摘草莓超過一定數(shù)量后．超過的部分打折銷售．活動期間，某顧客的草莓采摘量為x千克．若在甲園采摘的總費用是元，在乙園采摘的總費用是元．，與x之間的函數(shù)圖象如圖所示．則下列說法中錯誤的是（

）

A．乙園草莓優(yōu)惠前的銷售價格是元/千克B．甲園的門票費用是元C．乙園超過5千克后，超過部分的價格按六折銷售D．顧客用元在乙園采摘的草莓比在甲園采摘的草莓多3．水平地面上一個小球被推開后向前滑行，滑行的距離與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖為拋物線的一部分，其中是該拋物線的頂點），則下列說法正確的是（

）A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止C．小球向前滑行的速度不變 D．小球向前滑行的速度越來越大4．甲乙兩人騎自行車分別從，兩地同時出發(fā)相向而行，甲勻速騎行到地，乙勻速騎行到地，甲的速度大于乙的速度，兩人分別到達(dá)目的地后停止騎行．兩人之間的距離米和騎行的時間秒之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③甲的速度為米秒；④當(dāng)甲、乙相距米時，甲出發(fā)了秒或秒．其中正確的結(jié)論有()A．①② B．①③ C．②④ D．③④變式拓展5．A，B兩地相距，甲車從A地以的速度勻速前往B地，到達(dá)B地后停止．在甲出發(fā)的同時，乙車從B地沿同一公路勻速前往A地，到達(dá)A地后停止．兩車之間的距離與甲車出發(fā)時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的折線所示，其中點C的坐標(biāo)是，點D的坐標(biāo)是．給出下列判斷：①甲車行駛的時間是6小時；②乙車的速度是；③點E的坐標(biāo)是；④甲車行駛2.4小時與乙車相遇．其中正確的是（

）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④6．現(xiàn)代物流的高速發(fā)展，為鄉(xiāng)村振興提供了良好條件．某物流公司的汽車在城市道路上勻速