第2章 圓與方程章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第2章圓與方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求圓的方程經(jīng)典題型二：求軌跡方程經(jīng)典題型三：直線與圓位置關(guān)系經(jīng)典題型四：圓與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型五：弦長、切線、切線長、切點弦問題經(jīng)典題型六：圓中范圍與最值問題經(jīng)典題型七：面積問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求圓的方程例1．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓經(jīng)過拋物線與軸的交點，且過點，則圓的方程為.例3．（2023·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線：上，則圓的方程為.例4．（2023·浙江·高二浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，，當(dāng)四邊形的周長最小時，的外接圓的方程為．例5．（2023·河南平頂山·高二汝州市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的三個頂點分別是，則的外接圓的方程為．例6．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校按竽聼熤?，長河落日圓”體現(xiàn)了我國古代勞動人民對于圓的認(rèn)知.已知，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．例7．已知O為原點，點為圓心，以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，則圓關(guān)于點對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．例10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知一個圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型二：求軌跡方程例11．（2023·高二課時練習(xí)）已知、兩定點．若動點滿足，求動點的軌跡方程．例12．（2023·高二課時練習(xí)）已知定點，動點在圓上，點在線段上，且，求點的軌跡方程．例13．（2023·高二課時練習(xí)）已知動直線（其中且為變動參數(shù)）和圓相交于、兩點，求弦的中點的軌跡方程．例14．（2023·高二課時練習(xí)）的頂點B，C的坐標(biāo)分別是，，頂點A在圓上運動，求的重心G的軌跡方程.例15．（2023·高二課時練習(xí)）從定點向圓任意引一割線交圓于P，Q兩點，求弦PQ的中點M的軌跡方程.例16．（2023·高二單元測試）已知圓(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線方程；(2)從圓C外一點向該圓引一條切線，切點為M，且有為坐標(biāo)原點，點P的軌跡方程.例17．（2023·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點和圓為圓上的動點.(1)求的中點的軌跡方程；(2)若，求線段中點的軌跡方程.例18．（2023·云南紅河·高二開遠市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.例20．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

例21．（2023·高二課時練習(xí)）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為，端點A在圓C：上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．例22．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓：．(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)設(shè)直線：①求證：直線與圓恒相交；②若直線與圓交于，兩點，弦的中點為，求點的軌跡方程，并說明它是什么曲線．例23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓.過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程.經(jīng)典題型三：直線與圓位置關(guān)系例24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）關(guān)于曲線C：，下列說法正確的是（

）A．曲線C可能經(jīng)過點B．若，過原點與曲線C相切的直線有兩條C．若，曲線C表示兩條直線D．若，則直線被曲線C截得弦長等于例25．（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知A，B（異于坐標(biāo)原點）是圓與坐標(biāo)軸的兩個交點，則下列點M中，使得為鈍角三角形的是（

）A． B． C． D．例26．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期中）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定例27．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W(xué)?？计谥校┮阎獔A，直線.下列說法正確的是（

）A．直線與圓可能相切B．圓被軸截得的弦長為C．直線恒過定點D．直線被圓截得弦長存在最小值，此時直線的方程為例28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）對于任意實數(shù)，圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．與的取值有關(guān)例29．（2023·高二課時練習(xí)）若圓C：上存在到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例30．（2023·貴州黔東南·高二?？计谥校┤糁本€與圓總有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或例31．（2023·高二課時練習(xí)）若無論實數(shù)取何值，直線與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（

）A． B． C． D．例33．（2023·四川廣安·高二四川省廣安代市中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例34．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓：與直線：的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定例35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例36．（2023·高二單元測試）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則的取值不可能是（

）A．-2 B．0C．1 D．3例37．（2023·遼寧營口·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型四：圓與圓的位置關(guān)系例38．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．例39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例40．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知點，，若點A到直線l的距離為1，點B到直線l的距離為4，則滿足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4例41．（2023·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）圓，圓，則兩圓的公切線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條例42．（2023·高二課時練習(xí)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．內(nèi)含例43．（2023·山西·高二山西大附中?？计谥校┮韵滤膫€命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點B．兩圓與的公共弦所在的直線方程為C．已知圓：，為直線上一動點，過點向圓引條切線，其中A為切點，則的最小值為D．圓：與圓：恰有三條公切線例44．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A：與圓B：，則兩圓的公切線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例45．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓交于兩點，則（

）A． B． C． D．例46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．例47．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．經(jīng)典題型五：弦長、切線、切線長、切點弦問題例48．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為．則直線的方程為（

）A． B．C． D．例49．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過圓外一點做圓的兩條切線，切點為兩點，求所在的直線方程為（

）A． B．C． D．例50．（2023·高二課時練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，，點P在x軸上移動，當(dāng)∠MPN取最大值時，點P的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7例51．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．或例52．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點，過點M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時，l的方程為（

）A． B．C． D．例53．已知直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．例54．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．例55．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過直線上一點向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則（

）A． B． C． D．例56．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，當(dāng)直線與平行時，（

）A． B． C． D．4例57．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．例58．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2例59．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)點為直線上任意一點，過點作圓的切線，切點分別為，則直線必過定點（

）A． B． C． D．例60．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，直線的方程為，若在直線上存在點，過點作圓的切線，切點分別為點，使得為直角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例61．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2例62．（2023·廣西南寧·高二南寧三中校考期末）已知圓：，直線：，直線與圓交于、，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．例63．（2023·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考期末）若直線與圓交于，兩點，當(dāng)最小時，劣弧的長為（

）A． B． C． D．例64．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與圓交于兩點，則（

）A． B． C． D．例65．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)校考開學(xué)考試）當(dāng)圓截直線所得的弦長最短時，實數(shù)（

）A． B． C． D．例66．（2023·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）直線與圓相交于P，Q兩點．若，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．[－1，1] D．[－，3]例67．（2023·高二單元測試）設(shè)，均為正實數(shù)，若直線被圓截得的弦長為2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例68．（2023·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線交于A，B兩點，若，則t的值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個經(jīng)典題型六：圓中范圍與最值問題例69．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）若實數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是例70．（2023·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）過作圓與圓的切線，切點分別為，，若，則的最小值為．例71．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）圓上點到直線距離的最小值是．例72．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知點與圓，P是圓C上任意一點，則的最小值是．例73．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點在動直線上的投影為點M，若點，那么的最小值為.例74．（2023·上海浦東新·高二?？计谀┕畔ＥD著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點滿足，則的最小值為.例75．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)、為正數(shù)，若直線被圓截得弦長為，則的最小值為.例76．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為.例77．（2023·全國·高二專題練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為．例78．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與圓相交于兩點，則弦長的最小值為.例79．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與圓有公共點，且與直線交于點，則的最小值是．例80．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足方程，則（1）的最大值和最小值分別為和；（2）y－x的最大值和最小值分別為和；（3）的最大值和最小值分別為和．例81．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谥校┮阎本€與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則的最大值為.例82．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，為圓上任一點，則的最大值為.例83．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是．經(jīng)典題型七：面積問題例84．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍．例85．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）以原點O為圓心作單位圓O，直線l與直線平行，且過點，P為直線l上一動點，過點P作直線與圓O相切于點B，則面積的最小值為．例86．（2023·全國·高二期中）曲線圍成的圖形的面積是.例87．（2023·廣東揭陽·高二?？计谥校┮阎本€與圓交于兩點，以線段為直徑作圓，該圓的面積的取值范圍為.例88．（2023·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？计谥校┰谥?，為的角平分線，D在上，且，則面積的最大值為．例89．（2023·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知圓：，圓：，過圓上的任意一點P作圓的兩條切線，切點為A，B，則四邊形面積的最大值為.例90．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點在直線上運動，過作的兩條切線，切點分別為、，當(dāng)四邊形的面積最小時，．例91．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓的方程為，設(shè)該圓過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，求四邊形ABCD的面積．例92．（2023·安徽阜陽·高二安徽省阜南實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知圓方程：，圓相交點A、B．(1)求經(jīng)過點A、B的直線方程.(2)求的面積.例93．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是直線上的動點，，是圓的兩條切線，，是切點．求四邊形面積的最小值.例94．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若點為圓的弦的中點．求：(1)直線的方程；(2)的面積．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例95．圓M：與兩個坐標(biāo)軸共有3個公共點，則實數(shù)m的值是（

）A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1例96．過點作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C．或