第12講 第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)(原卷版)_第1頁(yè)
第12講 第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)(原卷版)_第2頁(yè)
第12講 第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)(原卷版)_第3頁(yè)
第12講 第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)(原卷版)_第4頁(yè)
第12講 第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)(原卷版)_第5頁(yè)
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第12講第三章圓錐曲線(xiàn)的方程章末重點(diǎn)題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01圓錐曲線(xiàn)的定義【典例1】(2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí))-=4表示的曲線(xiàn)方程為(

)A.-=1(x≤-2) B.-=1(x≥2)C.-=1(y≤-2) D.-=1(y≥2)【典例2】(2023·高三課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)F(1,0),直線(xiàn),若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線(xiàn)l的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程是.【典例3】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),四邊形的周長(zhǎng)為8,記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).求的方程.【變式1】(2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為,則點(diǎn)的軌跡方程是.【變式2】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知P是平面上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P與的距離之差的絕對(duì)值為.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E.求曲線(xiàn)E的方程;【變式3】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,已知,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離比到點(diǎn)的距離大2,記的軌跡為,求的方程;題型02圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】(2023春·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,A為橢圓C的左頂點(diǎn),以為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點(diǎn)分別為M,N,若直線(xiàn)AM,AN的斜率之積為,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A. B. C. D.【典例2】(2023秋·高二課時(shí)練習(xí))頂點(diǎn)距離為6,漸近線(xiàn)方程是的雙曲線(xiàn)方程是(

)A.或 B.或C. D.【典例3】(多選)(2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)??茧A段練習(xí))已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上,則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A. B. C. D.【變式1】(2023秋·云南麗江·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合,則橢圓的方程為(

)A. B.C. D.【變式2】(2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若雙曲線(xiàn)C:其中一條漸近線(xiàn)的斜率為2,且點(diǎn)在C上,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A. B. C. D.【變式3】(2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末)過(guò)點(diǎn),且焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A. B.C. D.題型03圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【典例1】(2023秋·高二課時(shí)練習(xí))設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn),過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)為(

)A.12 B.24 C. D.【典例2】(2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為,,A是C上一點(diǎn),,則的最大值為(

)A.7 B.8 C.9 D.11【典例3】(2023秋·高二單元測(cè)試)設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn),且,則的大小為.【變式1】(2023秋·高二單元測(cè)試)已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,且,則的面積為(

)A.6 B.12 C. D.【變式2】(2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn),點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),若,則三角形的面積為(

)A.2 B. C. D.【變式3】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn),點(diǎn),是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為(

)A.9 B.5 C.8 D.4【變式4】(2023春·甘肅白銀·高二??计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),若,則.題型04橢圓、拋物線(xiàn)中的離心率問(wèn)題【典例1】(2023秋·高二課時(shí)練習(xí))設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)P,使線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是(

)A. B. C. D.【典例2】(2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn),在橢圓上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且,,則橢圓的離心率是.【典例3】(2023春·湖南邵陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若的面積為,則雙曲線(xiàn)的離心率為.【變式1】(2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中)已知雙曲線(xiàn)的上下焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在的下支上,過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,若恒成立,則的離心率的取值范圍為(

)A. B. C. D.【變式2】(2023·海南海口·海南華僑中學(xué)校考一模)直徑為4的球放地面上,球上方有一點(diǎn)光源P,則球在地面上的投影為以球與地面的切點(diǎn)F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.若橢圓的長(zhǎng)軸為,垂直于地面且與球相切,,則橢圓的離心率為.【變式3】(2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于C、D兩點(diǎn),若.則雙曲線(xiàn)的離心率為.題型05直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系【典例1】(2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末)曲線(xiàn)與直線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A. B. C. D.【典例2】(2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)??计谥校┮阎本€(xiàn)和雙曲線(xiàn),若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn),則t的取值范圍是.【典例3】(2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)??奸_(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為,若直線(xiàn)與只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為【變式1】(2023秋·高二單元測(cè)試)若直線(xiàn)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn),則n的取值范圍是(

)A. B. C. D.【變式2】(2023·高二課時(shí)練習(xí))如果直線(xiàn)y=kx+1與橢圓恒有公共點(diǎn),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【變式3】(2023秋·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)??计谀┻^(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn),這樣的直線(xiàn)可以作出條.題型06圓錐曲線(xiàn)中的中點(diǎn)弦問(wèn)題【典例1】(2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末)已知為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線(xiàn)的斜率為(

)A. B. C. D.【典例2】(2023春·上海長(zhǎng)寧·高二上海市第三女子中學(xué)??计谥校┮阎裹c(diǎn)在軸上的橢圓被直線(xiàn)截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則正數(shù).【典例3】(2023秋·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末)已知橢圓,過(guò)M的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),若中點(diǎn)坐標(biāo)為,則橢圓M的方程為.【典例4】(2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),,且.(1)求拋物線(xiàn)C的方程;(2)若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線(xiàn)l的方程.【變式1】(2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)??计谥校┮阎p曲線(xiàn),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),且點(diǎn)恰好是線(xiàn)段的中點(diǎn),則直線(xiàn)的方程是(

)A. B.C. D.【變式2】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn),過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn),若是線(xiàn)段的中點(diǎn),則直線(xiàn)的方程為(

)A. B.C. D.該直線(xiàn)不存在【變式3】(2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知橢圓:,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于,兩點(diǎn),且弦被點(diǎn)平分,則直線(xiàn)的方程為.【變式4】(2023春·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線(xiàn):的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于,兩點(diǎn),當(dāng)軸時(shí),.(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)當(dāng)線(xiàn)段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),求直線(xiàn)的方程.題型07圓錐曲線(xiàn)中的弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例1】(2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn),且點(diǎn)到的距離為,則(

)A. B. C. D.【典例2】(2023春·云南昆明·高三昆明一中??茧A段練習(xí))已知點(diǎn)是橢圓C:上的一點(diǎn),是橢圓的左、右焦點(diǎn),且,則橢圓C的方程是.若圓的切線(xiàn)與橢圓C相交于M點(diǎn),則的最大值是.【典例3】(2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中??寄M預(yù)測(cè))已知直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),若以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則.【典例4】(2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末)已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),它的左焦點(diǎn)為,且到其漸近線(xiàn)的距離是.(1)求的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交左支于一點(diǎn),且的斜率是,求長(zhǎng).【變式1】(2023·高二課時(shí)練習(xí))過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,作傾斜角為的弦AB,則.【變式2】(2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)且傾斜角為的直線(xiàn)交于兩點(diǎn),線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則.【變式3】(2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在上,且,的面積為.(1)求的方程;(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線(xiàn)與相切與點(diǎn),垂直,垂足為點(diǎn),求的最大值.【變式4】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn),若直線(xiàn)和曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn),求.題型08圓錐曲線(xiàn)中的三角形(四邊形)面積問(wèn)題【典例1】(2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).求使面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程.【典例2】(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知雙曲線(xiàn)截直線(xiàn)所得的弦的長(zhǎng)為.(1)求的值;(2)若軸上有一點(diǎn),使的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo).【典例3】(2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1,的軌跡為.(1)求曲線(xiàn)的方程;(2)已知點(diǎn),分別為曲線(xiàn)上的第一象限和第四象限的點(diǎn),且,求與面積之和的最小值.【變式1】(2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考期中)已知橢圓,、分別為其左、右焦點(diǎn),短軸長(zhǎng)為,離心率,過(guò)傾斜角為的直線(xiàn),直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求的周長(zhǎng)和面積.【變式2】(2023秋·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn),為上一點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)且傾斜角為的直線(xiàn)與相交于、兩點(diǎn),求的面積.【變式3】(2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)(在第一象限),當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí),.(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)已知,延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求點(diǎn)的橫坐標(biāo).題型09圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題【典例1】(2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)??计谀┮阎獧E圓:,,,是橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn),原點(diǎn)為的重心.

(1)求橢圓的離心率;(2)如果直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率都存在,求證為定值;(3)試判斷的面積是否為定值,若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例2】(2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn),直線(xiàn)過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn).(1)若兩點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)的右支上,求證:為定值;(2)試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例3】(2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)(切點(diǎn)為),交拋物線(xiàn)分別點(diǎn)且當(dāng)時(shí),.(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)判斷直線(xiàn)的斜率是否為定值?若為定值,求出這個(gè)定值;若不是定值,說(shuō)明理由.【變式1】(2023·北京海淀·北大附中??既#┮阎獧E圓過(guò)點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程及其焦距;(2)直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),直線(xiàn)分別與直線(xiàn)交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)且,求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【變式2】(2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)??级#┮阎p曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,動(dòng)直線(xiàn)l:與圓相切,且與雙曲線(xiàn)左、右兩支的交點(diǎn)分別為(,),(,).

(1)求k的取值范圍;(2)記直線(xiàn)P1A1的斜率為k1,直線(xiàn)P2A2的斜率為k2,那么是定值嗎?證明你的結(jié)論.【變式3】(2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考)在平面直角坐標(biāo)中,設(shè),,以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l與軌跡W交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,試判斷直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn).題型10圓錐曲線(xiàn)中的定直線(xiàn)問(wèn)題【典例1】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn)C:的離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與C左右兩支分別交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(異于頂點(diǎn)).(1)若點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn),求直線(xiàn)OP與直線(xiàn)MN斜率之積(O為坐標(biāo)原點(diǎn));(2)若A,B為雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn),且,試判斷直線(xiàn)AN與直線(xiàn)BM的交點(diǎn)G是否在定直線(xiàn)上,若是,求出該定直線(xiàn),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由【典例2】(2023春·河北保定·高三??茧A段練習(xí))已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn),.(1)求橢圓的方程;(2)直線(xiàn)與橢圓交于不同的,兩點(diǎn),且直線(xiàn),,的斜率依次成等比數(shù)列.橢圓上是否存在一點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形?若存在,求出直線(xiàn)的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,分別是雙曲線(xiàn)的左,右頂點(diǎn),直線(xiàn)(不與坐標(biāo)軸垂直)過(guò)點(diǎn),且與雙曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn).(1)若,求直線(xiàn)的方程;(2)若直線(xiàn)與相交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在定直線(xiàn)上.【變式2】(2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級(jí)中學(xué)??计谀┮阎獧E圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,折線(xiàn)與C交于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)m=2時(shí),求的值;(2)直線(xiàn)AM與BN交于點(diǎn)P,證明:點(diǎn)P在定直線(xiàn)上.【變式3】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),是拋物線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為,點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同點(diǎn)時(shí),在線(xiàn)段上取點(diǎn),滿(mǎn)足,證明:點(diǎn)總在某定直線(xiàn)上.題型12圓錐曲線(xiàn)中的向量問(wèn)題【典例1】(2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考期末)已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為,焦距為2,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知是直線(xiàn)上的一點(diǎn),是否存在這樣的直線(xiàn),使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相切于點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)?若存在,求出直線(xiàn)的方程;若不存在,說(shuō)明理由.【典例2】(2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模)過(guò)拋物線(xiàn)C:上一點(diǎn)作C的切線(xiàn),交C的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)A,B是C上與M不重合的兩點(diǎn),,O為原點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)O到直

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