上海市四校八大重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)自招真題匯編（二）

上海市四校八大重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)自招真題匯編二（華二）有一個多項(xiàng)式，除以，商式是，余式是，則該多項(xiàng)式為。解：。（復(fù)附）若只能取，且滿足，，則。解：設(shè)有個，個，個。則，解得∴。（華二）有一張長方形紙片，其長為，寬為，先將這張紙片按下右圖的方式拼成矩形，其中兩塊陰影部分沒有被紙片覆蓋，這兩個陰影部分的面積之差為，當(dāng)?shù)拈L改變時(shí)，不變，和滿足的關(guān)系為。解：設(shè)，易知，，，，，∴，∵當(dāng)?shù)拈L改變時(shí)，不變，∴，∴。（上中）有個實(shí)數(shù)，可以使得為整數(shù)？解：設(shè)（為自然數(shù)）；∴；∵；∴不大于的平方數(shù)有個（可?。?；則有個實(shí)數(shù)，可以使得為整數(shù)。（上中）設(shè)，，則以下四個選項(xiàng)中最接近的整數(shù)為（）解：∵；∴，∴最接近的整數(shù)為；故選.（復(fù)附）如圖，⊙是等腰△的內(nèi)切圓，⊙與⊙外切且與相切，⊙與⊙的半徑分別為，求△的面積。解：∵∴∴，∵，∴,∴，∵∴∴.（交附）證明不是有理數(shù)。（七年級第二學(xué)期第12章閱讀材料）證明：假設(shè)是一個有理數(shù)，那么可以得到，其中為整數(shù)，與互素，且，∴，于是有，則是的倍數(shù)，在設(shè)，則，∴，則是的倍數(shù)，可見與不是互素的，與前面所假設(shè)的與互素矛盾，因此不是有理數(shù)。（交附）如圖，分別以△的三邊向外作正方形、、，證明：。（八年級第一學(xué)期第19章閱讀材料二）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，。易證△≌△（）∴∵，∴，∴同理可得：∴∴。帕普斯對勾股定理的“推廣”：公元前年，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯證明了勾股定理的一個有趣的變形，他將直角三角形三邊上的正方形改成平行四邊形，這三個平行四邊形的作圖方法如下：如圖，對于△，分別以兩直角邊為邊，作兩個平行四邊形；分別延長兩個平行四邊形中平行與直角邊的兩邊，他們相交于點(diǎn)；作射線，與相交于點(diǎn)，再截??；以為一邊作平行四邊形，使另一組對邊平行且等于。對于以上的作圖，試證明：斜邊上的平行四邊形面積等于兩條直角邊上的平行四邊形的面積的和。證明：如圖，延長，交于點(diǎn).易知四邊形為平行四邊形，∵□與□同底同高，∴易知四邊形為平行四邊形，且，∴∴同理可證：∴.（建平）如圖，在任意△中，有以下定理成立：（1）（2），，。閱讀以上定理，解下面問題：某觀測站在目標(biāo)南偏西方向上，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與相距千米的處有一人正沿著此公路向走去，走千米到達(dá)，此時(shí)測得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？解：∴∵∴∵∴∴∴（負(fù)值舍去）∴?！緜溆谩恳阎?，，則。解：易知∵∴∴∴正實(shí)數(shù)滿足，設(shè)