專題11 常見函數(shù)模型中的應用（解析版）

專題11常見函數(shù)模型的應用一、考情分析有一些常見的函數(shù)，如等，在導數(shù)解答題常常出現(xiàn)其身影，在導數(shù)解答題中或利用其性質(zhì)進行求解，或以其為模型進行改編命題，無論以哪一種方式命題，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)，并有目的的使用這些函數(shù)性質(zhì)解題，能迅速找到解題思想，并使問題得以解決.二、解題秘籍(一)常見對數(shù)型函數(shù)模型1.函數(shù)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在處取得最大值0，2.的圖象與直線在相切，以直線為切線的函數(shù)有：，，，，.3.與對數(shù)型函數(shù)有關的常見不等式有：，，.4.利用可得到，再借助疊加法可得到一些復雜的數(shù)列不等式.【例1】（2024屆四川省江油中學高三上學期9月月考）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為函數(shù)的極值點，求證：【解析】（1）定義域為，則，當時，，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；若，即時，在上單調(diào)遞減，故；若，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；若，即時，則在上單調(diào)遞增，故.所以，；（2）（），則，因為是函數(shù)的極值點，所以，即，要證，只需證，即證：，令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，即：，所以，所以，①當時，因為，，所以.②當時，因為，所以，所以，要證，只需證，即證對任意的恒成立，令（），則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，即當時，成立.綜上：原不等式成立.(二)常見指數(shù)型函數(shù)模型1.函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在處取得最小值0，2.與對數(shù)型函數(shù)有關的常見不等式有：，，.【例2】（2024屆黑龍江省哈爾濱市高三上學期9月月考）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）設直線與函數(shù)的圖象相切于點，因為,所以，由②③可得④，易知.由①得，代入④可得，即，即，解得.故.（2）令，可得，由題意可得只有一個根.易知不是方程的根，所以，所以由，可得.設，則與的圖象只有一個交點.，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.設，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以.又，時，，時，，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可知，若與的圖象只有一個交點，則.所以實數(shù)的取值范圍是.(三)常見三角函數(shù)模型1.函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，2.與三角函數(shù)有關的常見不等式有：，，.【例3】（2023屆四川省成都市高三上學期摸底）已知函數(shù)．(1)記函數(shù)的導函數(shù)是．證明：當時，；(2)設函數(shù)，，其中．若0為函數(shù)存在非負的極小值，求a的取值范圍．【解析】(1)．令，則．∵，∴恒成立，即在R上為增函數(shù)．∵，∴．∴．(2)．由（1）知在R上為增函數(shù)．∴當時，有，即；當時，有，即．當時，由，解得，，且在R上單調(diào)遞減．①當時，．∵當時，有；當時，有；當時，有，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴滿足0為函數(shù)的極小值點；②當時，．∴時，有恒成立，故在R上為減函數(shù)．∴函數(shù)不存在極小值點，不符合題意；③當時，．∵當時，有；當時，有；當時，有，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴0為函數(shù)的極大值點，不符合題意．綜上所述，若0為函數(shù)的極小值點，則a的取值范圍為．(四)或.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，時取得最大值，利用性質(zhì)解題易錯點是該在上是減函數(shù)，但該函數(shù)在上沒有零點，因為時.【例4】（2024屆海南省定安縣高三上學期開學考試）已知函數(shù).(1)若是的極值點，求的值；(2)若a=1，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若恒成立，求a的取值范圍；【解析】（1）由，得，因為是的極值點，所以，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意.（2）若a=1，.當，即時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，；在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3）的定義域為，若恒成立，則恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，時，，則單調(diào)遞增；時，，則單調(diào)遞減；所以，解得：；(五)或討論的性質(zhì)要注意，該在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增【例5】設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.(1)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)解：因為在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，當時，，當時，，所以，故，即.(2)當時,，當時，，當時，令，分離參數(shù)得，由（1）得，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可得圖像為：所以，即,即.三、典例展示【例1】（2024屆河南省部分名校高三上學期核心模擬）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,當時,證明:.【解析】（1）的定義域為,當時,,所以,當時,;當時,,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由,得,所以,則,要證,只需證,即證,需證.令,設,則,設,則,所以在上單調(diào)遞增,則,所以,所以在上單調(diào)遞增,由,得,則,所以,所以需證,即證.令，則,即證,設,則,所以在上單調(diào)遞減,則,所以,即成立,故.【例2】（2023屆河南省信陽高級中學高三下學期3月測試）已知函數(shù).(1)是的導函數(shù)，求的最小值；(2)證明：對任意正整數(shù)，都有（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時取得最小值為.（2）要證明：對任意正整數(shù)，都有，即證明，即證明，由（1）得，即令，所以，所以，所以對任意正整數(shù)，都有.（3）若不等式恒成立，此時，則恒成立，令，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當時等號成立，所以，當時等號成立，所以.【例3】（2024屆廣西百色市貴百聯(lián)考高三上學期9月月考）已知函數(shù)．(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍．【解析】（1），當時，；當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設，；設，則，令，則，當，，當，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以；令，可得，故在單調(diào)遞增時，；當時，，故在上單調(diào)遞增.當時，，且當趨向正無窮時，趨向正無窮，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，符合條件；若，則存在，使得，即，當時，，則在上單調(diào)遞減，此時，不符合條件．綜上，實數(shù)的取值范圍是【例4】已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個極小值點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當時，函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，可得，所以，①當時，，此時當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值；②當時，，又由在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一的零點，且，因為當時，令，可得，又因為，所以，即，所以，所以，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一的零點，且，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有兩個極小值點，故實數(shù)的取值范圍為.【例5】已知函數(shù)．(1)當時，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設為的兩個不同零點，證明：．【解析】(1)當時，，因為在上恒成立，所以在上恒成立，令，即在上恒成立，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，所以實數(shù)的取值范圍是．(2)證明：要證明，即證，只需證和．由（1）知，當，時，，即，所以．要證，即證．因為為的兩個不同零點，不妨設，所以，，則，兩邊同時乘以，可得，即．令，則．即證，即證，即證．令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以．所以．故．四、跟蹤檢測1．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三上學期11月期中）已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；(3)若實數(shù)滿足且，證明：.【解析】（1）當時，，，由，得，由，得，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2），令，則，令，則，由，得，由，得，故在遞增，在遞減，，，所以，在上單調(diào)遞增，，，的取值范圍；（3），又，在上遞增，所以，下面證明：，即證，令，則，即，令，則，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，在遞減，，所以.2．（2023屆四川省綿陽市涪城區(qū)南山中學高三仿真）已知函數(shù)，且．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)已知，證明：．【解析】（1）函數(shù)定義域為R，，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最小值是，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．（2）在（1）中，令時，，令，得，即，令，則，所以，，令，則．且不恒為零．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則．所以，，所以，.3．（2024屆海南省瓊中縣高三上學期9月高考全真模擬）已知函數(shù)，且在處取得極值．(1)求a；(2)求證：．【解析】（1）由題意可得的定義域為，且．因為在處取得極值，所以，解得，當時，則，，，令，得；令，得；故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知在處取得極值，符合題意，所以．（2）由（1）可得的最大值為，所以，即，可得，當且僅當時等號成立．令，則，故．所以，，，…，，，以上式子相加，得，則，即，所以，即，命題得證．4．（2024屆河南省周口市項城市高三5校青桐鳴大聯(lián)考9月）已知函數(shù)，.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：時，.【解析】（1）因為，則，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.故有最小值，故.（2）由（1）可知，，當時，要證，即證，即證，令，則上式等價于，構(gòu)造函數(shù)則故當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)；由得，故，故.當時，，故又是的增區(qū)間，而故故即，當時，，即在上，為減函數(shù)，故即，故原命題得證.5．（2024屆湖北省黃岡市高三上學期9月調(diào)研）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，.令，方程的判別式為，①：當即時，，單調(diào)遞增，無極值點；②：當即時，函數(shù)有兩個零點，，（i）當時.，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，有一個極小值點；（ii）當時，，當與時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，有兩個極值點.綜上：當時無極值點；當時有兩個極值點；當時有一個極小值點.（2）不等式恒成立，即.令，，.令，，當時，，單調(diào)遞增，又，時，不合題意，.當時，單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增，.而，.令，，當時單調(diào)遞增，當時單調(diào)遞減，，即...6．（2024屆湖南省長沙市長郡中學高三上學期月考）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【解析】（1）因為，定義域為，所以．當時，由于，所以恒成立，此時在上單調(diào)遞減；當時，，令，得，則當時，，有在上單調(diào)遞增；當時，，有在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）我們先證明引理：，恒有且．引理的證明：設，．故只需證明，恒有，．由于，知當時，；當時，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，恒有．由于，知當，均有，所以恒有，故在上單調(diào)遞增，則．所以，恒有．綜上，引理得證．回到原題：由（1）得，故只需證明：對，恒有，即．由引理得．命題得證．7．（2024屆福建省漳州市高三上學期第一次教學質(zhì)量檢測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）依題意，得.當時，，所以在單調(diào)遞增.當時，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）因為當時，，所以，即，即，即.令，則有對恒成立.因為，所以在單調(diào)遞增，

故只需，即對恒成立.令，則，令，得.當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以.因此，所以.8．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學期考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由得，令，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）由可得對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，設，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，所以，故，當且僅當時等號成立，，當且僅當時取等號，令，注意到，，所以存在使，所以等號取得到，故9.已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)設，當時，（是函數(shù)的導數(shù)），求a的取值范圍．【解析】(1)，令，得或，當或時，，當時，，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為．(2)，，即，即，設，，設，，當時，，當時，，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得在上恒成立，即在上恒成立．設，，當時，，當時，，所以函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故．10．設函數(shù)，．(1)若對任意，都有，求a的取值范圍；(2)設，．當時，判斷，，是否能構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由．【解析】(1)的定義域是，．①若，則當時，，在單調(diào)遞增，等價于，即，由得．設，．，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以的解集為．②若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，等價于，即，即，矛盾，故a的取值范圍是．(2)．．同理可得，．所以．下面證明．，且由（1）知，所以只需證明時，．令，即證．設，，，所以．設，，故在（0，1）單調(diào)遞減，．所以，故，，不能構(gòu)成等差數(shù)列．11．已知函數(shù)(1)若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設是兩個不相等的實數(shù)，且．求證：【解析】(1)當時，，因為，所以，即，不符合題意；

當時，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因為，所以的取值范圍為．(2)因為，所以，即．令，由題意可知，存在不相等的兩個實數(shù)，，使得．

由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．不妨設，則．設，

則，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即在區(qū)間上恒成立．因為，所以．

因為，所以．

又因為，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即．12．已知函數(shù).(1)若在單調(diào)，求的取值范圍.(2)若的圖像恒在軸上方，求的取值范圍.【解析】(1)由題意得，.在上單調(diào)，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，則，當時，.當時，，∴在上單調(diào)遞減，∴由題意得，或，解得或，∴的取值范圍是.(2)的圖象恒在軸上方，也即當時，恒成立.也即在上恒成立.令，，令，則，由得，當時，當時，，即時，有極大值，也是最大值，所以，所以（當時取等號），再由可得：，列表如下：100由上表知為極大值，所以.∴的取值范圍是.13．已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)，證明：.【解析】(1)因為，所以，的定義域為，.當時，在上單調(diào)遞增.當時，若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.綜上所述：當時，f(x)在上單調(diào)遞增;當時,f(x)在(0,1-a)上單調(diào)遞減，在(1-a,+)上單調(diào)遞增；(2)證明：.設，則.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以，因此，當且僅當時，等號成立.設，則.當時，單調(diào)遞減：當時，單調(diào)遞增.因此，從而，則，因為，所以中的等號不成立，故.14．已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【解析】（1）當時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減