9.1 直線方程與圓的方程（精練）（教師版）

9.1直線方程與圓的方程（精練）1．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】由已知得圓心為，半徑，因?yàn)閳A心在直線上，所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.故選：C2．（2023秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后所得的直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓無公共點(diǎn)【答案】A【解析】直線過原點(diǎn)，斜率為，傾斜角為，依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過原點(diǎn)，因此直線l的方程為：，而圓的圓心為，半徑為，于是得圓心在直線l上，所以直線l與圓相交，過圓心.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：聯(lián)立兩直線方程，得，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.法二：由題意，直線l過定點(diǎn)，設(shè)直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為.如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在第一象限，易知，

∴的傾斜角為，的傾斜角為.∴直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：D4．（2023秋·寧夏吳忠·高三鹽池高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線過點(diǎn)，其中，是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由和都是正實(shí)數(shù)，所以，，．所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選:B．5．（2023秋·遼寧鞍山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線，點(diǎn)，記到的距離為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直線，可得，由可解的，即直線過定點(diǎn)，則,當(dāng)與直線垂直時(shí)，，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，，又直線無論取何值，不能表示直線，所以，故選：B6．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考二模）若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】解方程組，得直線與直線的交點(diǎn)，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù).故選：A7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線是圓的對(duì)稱軸，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓方程得：圓心，直線是圓的對(duì)稱軸，圓心在直線上，即，解得：.故選：A.

8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.故選：A.9．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D

10．（2023·廣西梧州·蒼梧中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以的中點(diǎn)滿足直線方程，解得，過點(diǎn)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為，所以解得：，故選：C．10．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）圓與圓的公共弦恰為圓的直徑，則圓的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】?jī)蓤A方程相減得兩圓的公共弦所在直線方程為，因?yàn)楣蚕覟閳A的直徑，所以圓的圓心在直線上，由解得，所以圓的面積為.故選：D.11．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓與圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【解析】與兩式相減得，即公共弦所在直線方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長(zhǎng)為，則有，解得或（舍），此時(shí)故選：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)是、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】把（1）轉(zhuǎn)化為，圓心，半徑，則，，圓的方程為（2），（1）（2），得．故選：B.13．（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【【解析】圓的圓心為，半徑為2，以、為直徑,則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)圓的兩條切線切點(diǎn)分別為A，B，所以是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程為：.故選：A．14．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【解析】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因?yàn)?，所?所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．15．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，則．因?yàn)?，所以P是圓A：上的點(diǎn)．又點(diǎn)P與點(diǎn)距離的最大值為，即，所以．故的最大值為17．故選：B.

16．（2023秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為3，則（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【解析】由拋物線，可得，又由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)榕c圓上點(diǎn)的距離最小值，可得，解得.故選：A.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列說法是錯(cuò)誤的為（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．直線的斜率為tanα，則其傾斜角為αC．斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示．【答案】ABC【解析】當(dāng)直線的傾斜角為直角時(shí)，該直線不存在斜率，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)直線的斜率為，傾斜角為，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)兩條直線的斜率相等，顯然這兩條直線的傾斜角相等，故選項(xiàng)選項(xiàng)C不正確；根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可知選項(xiàng)D正確，故選：ABC18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知直線，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線過定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無關(guān)，故直線過定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AC．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）與直線平行且到l的距離為2的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】設(shè)所求直線的方程為，因?yàn)閮芍本€的距離為2，所以，解得或，故所求直線方程為，或．故選：AC.20．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)直線l：，交圓C：于A，B兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．弦AB長(zhǎng)的最小值為4C．過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)M，則線段MC長(zhǎng)的最小值為D．當(dāng)m＝1時(shí)，圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為【答案】BD【解析】對(duì)A，直線的方程可化為，過定點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，則圓心到直線的距離，且半徑，所以最小弦長(zhǎng)為，即B正確；

對(duì)C，由題可知直線l恒過定點(diǎn)，由題知，故動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上，又，

故動(dòng)點(diǎn)在圓上，又直線l：表示過斜率存在的直線，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為除點(diǎn)，又，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，直線方程為，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為，故D正確.故選：BD.21．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點(diǎn)，，若直線l與直線平行，則．【答案】/0.5【解析】∵直線l經(jīng)過點(diǎn)，，且與直線平行，∴，求得，故答案為：．22．（2023秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，令得；令得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是．【答案】或.【解析】由直線得：，令，解得，所以直線l過點(diǎn)，由題知，在x軸上的截距取值范圍是，如圖：所以端點(diǎn)處直線的斜率分別為，

所以或；故答案為：或.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線，的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量的直線方程為．【答案】【解析】聯(lián)立，解得，∴直線過點(diǎn)，∵直線的方向向量，∴直線的斜率，則直線的方程為，即．故答案為：25．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，直線，當(dāng)圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為.【答案】【解析】由題意，直線的方程化為，由得∴直線過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，要使直線被圓截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心的連線垂直于直線，，解得，代入到直線的方程并化簡(jiǎn)得.故答案為：.26．（2022秋·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓O的位置關(guān)系是．【答案】相交【解析】點(diǎn)在圓外，圓心到直線的距離:,直線與圓相交.故答案為：相交.27．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓：相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】0或2【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距，又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有或．故答案為：0或2.28．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知兩圓，若圓與圓有且僅有兩條公切線，則的取值范圍為.【答案】【解析】若圓與圓有且僅有兩條公切線，則兩圓相交，圓心，半徑，圓心，半徑，則，若兩圓相交，則滿足，即，得，又，所以，故答案為：.29．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB方程是.【答案】【解析】圓的圓心為,半徑為2，以為直徑的圓的方程為,將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程.故答案為:.30．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為.【答案】【解析】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，可得，所以切線長(zhǎng)為.故答案為：.1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過點(diǎn)P與圓相切的兩條直線的夾角為，設(shè)過點(diǎn)P與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則圓心，半徑，由，得，則圓心，半徑，設(shè)過點(diǎn)的直線與圓切于點(diǎn)，與圓切于點(diǎn)，連接，則，因?yàn)檫^點(diǎn)P與圓相切的兩條直線的夾角為，所以，則，所以，在中，，，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，故選：C2．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）（多選）函數(shù)圖象上一點(diǎn)到直線的距離可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由圖可知，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最小值，因?yàn)?，則，由，可得，則，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，函數(shù)圖象上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，因?yàn)?，，BC選項(xiàng)滿足條件.故選：BC.3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知的頂點(diǎn)在圓上，頂點(diǎn)在圓上.若，則（

）A．的面積的最大值為B．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為C．有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形D．有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得直線，都是圓的切線【答案】ACD【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)閳A的半徑為2，，所以，且，

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值為15，所以的面積的最大值為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，點(diǎn)到直線的距離小于等于，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又的最大值為7，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為7，這時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若為等邊三角形，則需，，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心的單位圓，所以，又的最小值為4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)成立，因此有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線，都是圓的切線，則，由射影定理，可得，同上，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，因此有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得直線，都是圓的切線，故D正確；故選：ACD4．（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知圓M：，直線：，則（）A．恒過定點(diǎn) B．若平分圓周M，則C．當(dāng)時(shí)，與圓M相切 D．當(dāng)時(shí)，l與圓M相交【答案】BC【解析】對(duì)A，直線：，令，則，則l恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，若l平分圓周M，則l經(jīng)過圓M的圓心，代入直線方程得，解得，選項(xiàng)B正確；對(duì)C，圓心到l的距離，當(dāng)時(shí)，，l與圓M相切，選項(xiàng)C正確；對(duì)D，若l與圓M相交，則，即，即，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.

5．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A．圓的圓心坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)且時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ABD【解析】由圓的方程可知圓的圓心坐標(biāo)為，即正確；當(dāng)時(shí)，圓，，所以有，即，解得，即B正確；因?yàn)?，且，所以，即，解得或，即C錯(cuò)誤；因?yàn)閳A的直徑為2，所以當(dāng)時(shí)，為圓的直徑，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即D正確.故選：ABD.6．（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小值為B．直線與圓必相交C．圓與圓相交，且公共弦長(zhǎng)度為D．光線由點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切于點(diǎn)，則從點(diǎn)到點(diǎn)的光線經(jīng)過的總路程為【答案】BCD【解析】由圓的方程知：圓心，半徑，對(duì)于A，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率；過原點(diǎn)作圓的切線，斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得：，，則的最小值為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線方程可整理為：，由得：，直線恒過點(diǎn)，即恒過圓心，直線與圓必相交，B正確；對(duì)于C，由圓方程知：圓心，半徑，圓心距，又，，，圓與圓相交，由得：，即公共弦所在直線方程為，圓心到公共弦的距離，公共弦長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則從點(diǎn)到點(diǎn)的光線經(jīng)過的總路程即為，

，，從點(diǎn)到點(diǎn)的光線經(jīng)過的總路程為，D正確.故選：BCD.7．（2023秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）（多選）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線與圓外切C．曲線被直線截得的弦長(zhǎng)為D．曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)，由定義，得，化簡(jiǎn)整理得，故A正確；對(duì)于B，的圓心為，半徑；的圓心為，半徑；圓心距，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，圓心到直線的距離，半徑，所以圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,故D正確.故選：ACD.8．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使得B．弦長(zhǎng)的最小值為C．點(diǎn)在以為直徑的圓上D．線段經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，，，，所以，所以，所以，故不存在點(diǎn)，使得，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)圓的對(duì)稱性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以.故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以既是直角三角形的外接圓的直徑，又是直角三角形的外接圓的直徑，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，因?yàn)槭菆A與圓的公共弦，所以直線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以直線：過定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在圓內(nèi)，所以線段經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.

故選：BCD9．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的兩點(diǎn)．則（

）A．存在，，，使得B．若，均與圓相切，則弦長(zhǎng)的最小值為C．若，均與圓相切，則直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)D．若存在，，使得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是【答案】BCD【解析】

由圖可知，當(dāng)直線，與圓相