高中數學復習 排列組合基礎篇

排歹!）、組合、二項式定理學習指導

排列、組合與二項式定理是高中數學中相對獨立的內容，不論是思考方法還是解題技巧，

與其它章節(jié)都有很大的是同.本章內容比較抽象，解題方法比較靈活，重在抽象思維能力與

邏輯思維能力的培養(yǎng)與提升.因此在學習過程中，要重視教材的基礎作用，重視過程的學習.

二項式定理的學習要從基礎出發(fā)，對二項式的展開式、通項公式、二項式系數的性質等，要

弄懂原理，牢固掌握，并會靈活運用.要在練習中領悟原理公式與概念的實質，注意計算的

準確性和解題的規(guī)范性，從而形成解題方法和能力.

排歹U、組合、二項式定理之-----基礎篇

一、要點導讀

1、分類計數原理：;

分步計數原理：.

2、:叫做從n個不同元

素中取出m個元素的一個排列，排列數==.

3、.叫做從n個不同

元素中取出m元素的一個組合,組合數C；"==.

4、組合數的性質：（1）C?=；（2）C"+C："T=.

5、二項式定理的內容是:.

其通項為7…二；二項式系數的性質是①；

②;③.

二、思維點拔

1、兩個計數原理的區(qū)別在于一個和“分類”有關，一個和“分步”有關.在使用兩個基

本原理時，要認真審題，特別要理解題中所講的“事情”是什么？明確完成這件事情需要“分

類”還是“分步”，還是既要“分類”又要“分步”，并注意“分類”或“分步”的標準.在

分析過程中，如能借助圖形、表格幫助分析，則可使問題更加直觀、清楚，而且可防止“分

類”或“分步”中的重復和遺漏現(xiàn)象.

2、排列中最具典型的兩類問題是“排數”和“排隊”.無論是哪類問題，無外乎“元素”

與“位置”的關系，即“某個元素排在什么位置”或“某個位置上排什么元素”.如按元素

與位置的多少分類，排列組合大體上可分.為三類：元素個數多于位置個數、元素個數等于

位置個數、元素個數少于位置個數.常見的有限制條件的排列問題有“在”與“不在”、“相

鄰”與“不相鄰”、有序與無序等問題，解決方法主要有直接法與間接法兩種.解決“在”與

“相鄰”問題時常用直接法（如捆綁法），解決“不在”與“不相鄰”問題常用間接法（如

插空法），對于元素有順序的排列問題，可先不考慮順序排列后，再利用規(guī)定順序求出結果.

3、解有關組合問題時，首先應判斷此問題是不是組合問題.組合與排列的根本區(qū)別在于

取出的元素是否與順序有關.組合問題常見的類型有“含”與“不含”、“至多”與“至少”

等.“含”與“不含”問題的處理方法常用直接法，“至多”與“至少”問題常用間接法（排

除法）.對幾何中的組合問題，常抽象出一個數學模型加以解決.

4、二項式定理問題常與二項式系數、某一項系數、通項公式、性質、最大最小項等有

關，要在理解的基礎上掌握方法與技巧，靈活運用.

三、典例精析

例1、同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人拿一張別人寫的賀年卡，則四

張賀年卡的不同分配方法有多少種？

分析：此為元素個數與位置個數相等的情形，歸納起來可有下列三種解法.

法一：設四人為A、B、C、D,四張賀年卡對應是a、b、c、d,若A拿的是b,則余下

的三人取剩下三張卡，共有三種不同的取法；同理A拿c、d時，剩下的人也各有三種不同

的選法.故共有N=3+3+3=9種不同的分配方法.

法二、A先拿，可從b、c、d拿一張，有3種選法.若拿的是b,則B從剩下的3張卡中

任選一張，也有3種選法，剩下的二人都只有一種選法.故共有N=3X3X3=9種不同的選法.

法三：如圖，/i—c

/a—d—c—d—S/b—c

b—czz\c——b,d—b,

共有9種不同的選法.、4二隱-&二a-3、?！丁耙?

例2、在由數字0、1、2、—cT—a^d—a3、4、5

所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有（）個.

分析：此為元素個數多于位置個數的情形.由于0既不能在首位也不能在個位且5不能

在個位，故可從元素（或位置）優(yōu)先考慮.

法一：（元素優(yōu)先）由于。不能放在首位.又所求四位數不能被5整除，因而可以根據

是否含有0和5兩個元素將所求四位數分成四類：第一類：含0不含5的四位數，共有C；國

=48（個）；第二類：含5不含。的四位數，共有C；國=72（個）；第三類：含0也含5的四

位數，共有&=48（個）；第四類：不合0也不含5的四位數，共有A：=24（個）.所

以，符合條件的四位數共有48+72+48+24=192（個）.

法二：（位置優(yōu)先）根據所求四位數對首末兩位置的特殊要求可分步解答：第一步：排

個位一一個位上的數字從1、2、3、4這四個數字中任選一個，共有C：種選法；第二步；排

首位一一首位上的數字從1、2、3、4這四個數字被個位選掉后剩余的三個數字及數字5中

任選一個，共有C：種選法；第三步：排中間兩位，中間兩位可從個位和首位排好后剩余的

四個數字中任選兩個，共有A：種排法.所以符合條件的四位數共有=192（個）.

例3、3男3女排成一排，下列情形下各有多少種站法.⑴甲不站排頭或排尾；⑵甲不站

排頭乙不站排尾；⑶甲乙二人相鄰；（4）甲乙不相鄰；（5）甲乙順序一定；⑹男女相間；⑺甲乙

之間恰隔二人；⑻若3名男生身高不相等，則按從高到低的一種順序站.

分析：此例涉及“相鄰”、“不相鄰”、“相間”、“順序”等問題，都屬常規(guī)問題.

解：⑴有二種解法：從特殊位置入手，即將排頭和排尾先排好有種，再排余下位置

有A：種，故共有遂?A：=480種；若從特殊元素入手，先將甲排在中間4個位置有種，

其余5人的排法有4種，共有?/=480種.

⑵有兩種解法：（直接法）對甲進行分類：①甲在排尾時有4種排法；②甲不在排頭也

不在排尾時，甲有A：種排法，乙不在排尾也有A；種排法，其余4人有A：種排法，故共有

4+A：??A；=504種.

（排除法）6個人排成一排有廣種，甲在排頭有4種，乙在排尾有種，而甲在排

頭且乙在排尾的排法有A：種，故共有尺-2芯+4：=504種.

⑶將甲乙二人“捆”在一起按一個元素對待，則5個元素的排法有A；種，甲乙二人的

排法有A；種，共有A；*6=240種；

⑷因甲乙二人不相鄰，先把其余4人排成一排有A：種，此時出現(xiàn)5個空檔，甲乙二人

去“插空”，有遂種，共有A：?遂=480種.

（5）6個人排成一排有/種，甲乙順序不同的排法有種，故甲乙二人順序一定（只有

一種排法）的排法共有X+Ar360種.

（6）男女相間的站法有兩類：男女男女男女,女男女男女男,共有排法2大?A；=72種.

⑺甲乙之間恰隔二人有三類：甲XX乙XX,X甲X甲乙X,XX甲甲義乙,因甲乙可

交換位置，故共有3XA；X=144種.

（8）6人全排列中,3名男生不考慮身高的順序的站法有種,而由高到低又可從左到右,

或從右到左（這是兩種不同的站法），故共有不同站法2尺+4；=240種.

例4、6本不同的書，按以下要求各有多少種分法？⑴平均分成三組；⑵分成1本，2

本、3本三組；⑶平均分給甲、乙、丙三人；⑷分給甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿

2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

222

解：⑴此為平均分組問題，共有C6g4c為］5分法;⑵此為非.平均分組問題，共有

222

CC；C=60分法；⑶先分組，再排序，共有。60402.3!=90種分法;⑷先分組，再排序,

C!CCA；=36O分法；⑸共有dcJC=6。分法?

【注】此例中的每一個小題都提出了一種類型問題，搞清類型的歸屬對今后解題大有裨

益，其中：⑴為均勻分組問題；⑵為非均勻分組問題；（3）為均勻不定向分配問題；⑷為非均

勻不定向分配問題；⑸為非均勻定向分配問題.

例5、某校要從6個班級中選出10人組成一個籃球隊，要求每班至少選1人參加，則

這10個名額的不同分配方法有多少種？

分析：此為分配問題，通常有兩種解法一一直接法、隔板法.

法一：（直接法）除每班1個名額外，其余4個名額也需要分配，其分配方案可分為五

類：①4個名額都分給某一個班有C：種分法；②4個名額分給二個班，每班2人，有比種

分法；③4個名額分給二個班，一個班1人，一個班3人，有點種分法；④分給三個班，

一個班2個，另兩個班各1個，有&比種分法；⑤分給四個班，每班1個，有C種分法。

故共有d+C+點+dd+Cn26種分法?

法二：（隔板法）因為名額之間無區(qū)別，所以可把它們視作排成一排的10相同的球，要

把這10個球分開成6段（每段至少有一個球），這樣，第一種分隔方法都對應一種名額的分

配方法，這10個球之間（不含兩端）共有9個空位，現(xiàn)要在這9個空位中放進5塊隔板，

共有C=126種放法，故共有126種，分配方法.

例6、從正五棱柱的10個頂點中任取5個組成一個四棱錐，共可得到多少個四棱錐？

分析：對幾何中的組合問題，需建立組合模型求解，但須注意幾何問題本身的限制條件.

此例中，共面而不共線的四點可構成四棱錐的底面，再從此面外找一點就可構成四棱錐.于

是從底面入手，按頂點的取法進行分類.

解：按構成四棱錐的底成四點可分為四類：⑴四點取自棱柱的底面上有2《Cl=50個;

⑵四點取自棱柱的側面上有5c=30個；⑶四點取自棱柱的對角面上有50：=30個；⑷四

點取自以過一個底面中的一條對角線和另一個底面中與其平行的一條邊所確定的平面上有

2X50：=60個.故共可組成50+30+30+60=170個四棱錐.

例7、一個地區(qū)分為五個行政區(qū)，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.現(xiàn)

有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法有種（以數字作答）.

分析：此例為涂色問題.用4種顏色給5個區(qū)域著色，至少有兩個區(qū)域同色，由于相鄰

兩個區(qū)域不同色，故找出哪兩個區(qū)域同色是解題的關鍵.

解：依題意，同色的兩個區(qū)域只可能是2、4或3、5,可對這兩個z<3>\

區(qū)域是否同色進行分類：①若2、4同色，3、5不同色，則將2、4合并仁）5）

為一個區(qū)域，此時即用4種不同顏色為四個區(qū)域著色，有A：=24種方

法；②若2、4不同色，3、5同色，此時也有A：=24種方法；③若2、4同色，3、5也同色,

則將它們分別合并成兩個區(qū)域，此時即用4種不同顏色為三個區(qū)域著色，有A：=24種方法.

故共有3X24=72種方法.

例8、6個人參加4X100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有種.

分析：此例為元,素多于位置的情形，可按“含”或“不含”某個元素進行分類.

解：①甲、乙都不參加的安排方法有=24種；②甲參加而乙不參加時，可從余下4

人中選3人有《種選法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可從剩下的三人中選一人有0；種

選法，余下三棒有A；種安排方法，共有亡?C；?A；=72種方法（或甲不跑第一棒時,

可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有C；種方法，余下三棒有種安排方法）；③乙

參加而甲不參加，同理有72種方法；④甲乙都參加時，由題意有C；（4j+4-A；）=6。

種方法（排除法）.故共有24+72+72+60=228種安排方法.

【注】對排列組合的綜合問題，常用方法是“先選之，再排之”.在分清分類與分步的

標準與方式的基礎上，遵循兩個原則：一是按元素的性質進行分類，二是按事情發(fā)生的過程

進行分步.在具體應用中，要注意“類”與“類”間的獨立性與并列性和“步”與“步”間

的連續(xù)性.這要求我們要有周密的邏輯思維能力和準確的計數能力，以及靈活、正確運用基

礎知識的能力.

例如：三個學校分別有1名、2名、3名學生獲獎，這6名學生排成一排合影，則同校

的任何兩名學生都不能相鄰的排法有種.

解：由題意可分兩類：①先在6個位置上排第一個學校的三名學生，兩兩不相鄰（如圖）,

|.||.||.|~]|J：]3名學生每兩名隔一個空位有2種排法，剩下

的三個空位中再選2個排第二個學校的2名同學，最后一名同學自動確定位子，此時有

2A；C；A；=72種排法；②第一個學校的3名同學中有兩名中間隔兩個位子的有兩種排法，

剩下的3個位子中，挨著的兩個不能同時選，所目

以從另外兩個中選，最后一名同學自動確定位子，此時有24仁弟=48種排法.故滿足題設

條件的排法共有120種排法.

例9、對于二項式（’+V）"（〃eN）,四位同學作出了四種判斷：①存在展開式

X

中有常數項：②對任意〃eN,展開式中沒有常數項；③對任意“wN,展開式中沒有x的

一次項；④存在“eN,展開式中有x的一次項。上述判斷中正確的是（）

A.①③B.②③C.②④D.①④

解：二項式d+d）"展開式的通項為卻1=仁;（1）""（父）’"，當展開式中有常數項

XX

時，有介-〃=0,即存在n、r使方程有解；當展開式中有x的一次項時，有4r-〃=1,即

存在n、r使方程有解，即分別存在n,r,使展開式有常數項和一次項，故選D.

例10、（/+—、+1）6的展開式中常數項為___________（用數字作答）

4x

法一：熾2+士+1）6=J?+白產+（Id+白P++白廣+。＞%2+-）3+

+G。2+47）2++*）+1

常數項為Y（叫*卜或斷W+C金?*+「，

法二：在+」+1）6=（2,+?”,由于（2V+1式展開式中含產的項為

4x2產

■+1=。：2（2f）06.16=26。"2,所以，原式常數項為@=與.

216

法三：???（x2+Jy+l）6=（*+J_y,.?.所求常數項為C（_L）6=生1.

4-X\2?xJ2A-16

檢測練習：

1、六個人排成一排，限定甲要排在乙的前面（可相鄰，也可不相鄰），,求共有幾種排

法.對此問題，A、B、C、D四個同學給出了下面四個算式：

①;4；②?+$+$+$+$）?筋③筋④C筋其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

2、25個人排成5X5方陣，從中選出3人分別擔任三種不同職務，要求這三人任何兩

人都不同行也不同列，則不同的任職方法數為（）

A.7200B.1800.C.3600D.4500

n

3、設（l-3x+2y）"的展開式中含y的一次項為（如+axx+---+anx）y,則a0+%+?-?+??

等于（）

A.B.〃?（-2）"C.-n?2"~'D.

2

4、若機，ne{x|x=?2x10+a,x10+?0）,其中q.（z=0,1,2）e（1,2,3,4,5,

6）,且WJ+〃=606,則實數對（m,n）表示平面上不同點的個數為（）

A.50B.60C.65D.70

5、由0,1,2,3四個數組成的四位數中，有重復數字的四位數共有.

6、八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前面，乙、丙必須坐在同一排，共有

坐法種.

7、將正方體ABCD—ABCD的各面涂色，任何相鄰兩個面不同色，現(xiàn)有5種不同的顏色,

并且涂好了解過頂點A的三個面的顏色，那么其余3個面的涂色方案共有一種？

8、有5個不同的紅球和2個不同的黑球排成一排，在兩端都是紅球的排列中，紅球甲

和黑球乙相鄰的排法有種.

9、將6名女生和8名男生排成一排，其中A,B,C,D四名女生排在一起，而另兩名

女生不相鄰且不與前4名女生相鄰的排法共有種.

10?,右（X*-+]）（x—2）9="0+”]（x—1）+…+6Z]]（x—1）1I,則（4]+3a3+…+11“]|）2—（2<?2+

+4心+…+10臼0）2=（用數字作答）.

11、若多項式f+x'°=4+q（x+l）+…+%（x+l）9+4o（x+1）'°,則佝=.

12、已知a、b為常數，b>a>0,且a、>6成等比數列，（a+foc）6的展開式中

2

所有項的系數和為64,則a等于.

13、已知（X&-4）"的展開式中第二項與第三項的系數之和為27,則〃=_,系數最大

的項是第項.

14、設%（"=2,3,4,???）是（3-五）"的展開式中x的一次項的系數，則

o2O18

二+二+…+二的值為.

a2%。18

15、在《一靠）”的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式J1

「121

中常數項等于.（用數字作答）1331

16、如圖，在由二項式系數構成的楊輝三角形中，第行中從左至右14641

第14與第15個數的比為2：3.15101051

17、設〃為奇數，則7"+。：7"-1+。：7"-2+...+7a7被9除所得的余數為.

18、設〃為滿足C?C；+2C：+…+”仁：＜450的最大自然數，則〃等于.

+壺）的展開式按x的降累排列，若前三項系數成等差數列，則該

19、將二項式

展開式中x的事指數是整數的項共有項.

20、

參考答案：⑴D；(2)C；(3)A；(4)B；(5)174；(6)8640；(7)13；(8)768；⑼屋與右；(助0;

(11)-10；?1/2；(13)9、5；(14)17；(15)7；(16)34；(17)7；(18)7；?3；(20)

1、將1一9這九個數字填入如圖中的9個空格中，要求每行從左到右、每一列從上到

下依次遞增，當3、4固定在圖中位置時，所填寫空格的方法有種？

解：由題意知數字1、2、9的位置也是固定的（如圖），剩下的5、6,

7、8四個數字填在A、B、C、D四個位置，A、B、位置上的填法有種，C、

D位置上的填法有不種，故共有?C；=6種.

2、有二排座位，前排11個，后排12個，現(xiàn)安排兩個人就坐，規(guī)定前排中間的三個座

位不能坐，且這二人不左右相鄰，則不同排法種數為.（346）

法一：前排三個座位不能坐，則共有20個座位可坐，有種坐法，其中左右相鄰的

分為三類：在前排的左右各四個座位上，各有3A；各種；在后排12個座位上坐有114科I，

故共有=346種.

法二：分三類：①兩人坐前排“則有4X6+4X5=44種；②兩人坐后排有種刀尸”。

種；③兩人分別坐前后排，有8X12X2=192種；故共有44+110+192=346種坐法.

3、由0——9這10個啟然數組成各位數字不重復的能被3整除的四位數有一個？

解：符合條件的四位數可分為6類：①由0、3、6、9可組成個：②由3、6、

9取兩個，1、4、7和2、5、8各取一個，可組成C；C；C；A：=648個；③在3、6、9；1、4、

7；2、5、8中各取一個與0可組成C；C；C；C；A；=486個；④由3、6、9中取一個與1、4、

7或2、5、8或組成2cb：=144個；⑤由。與1、4、7或2、5、8或組成24與=36個；⑥

由1、4、7和2、5、8中各取二個或組成=216個。故共有四位數1548個.

4、設計一種在圓盤上裝有七個按鍵的“鎖”，要用其中五個鍵組成一個開鎖程序，且

某三個鍵中至少用一個且不全部用。若依照不同順序按不同鍵的方法視為不同的程序，則可

設計多少種不同的開鎖程序？（1800）

5、已知C'+Ck+A；=6,則m=，n=.

解：依題意知m、n為非負整數，且

當n=mn寸，由C；：'+C；：+i+4；=6可得，〃+%!=4,.,.rirf,即m=n=2；

當n=m+l時,由C：+C；；,,|+A：=6可得m+1+（9+1）!=5,此方程無解.

故m=n=2.

6、某單位有三個科室，為實現(xiàn)減負增效，每科室抽調2人去參加就業(yè)培訓。培訓后這

六人中有兩人返回原單位，但不回原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有多少種不同

的安排方法？