人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三第7章 隨機變量及其分布 章末重難點歸納總結(jié)（原卷版）

第7章隨機變量及其分布章末重難點歸納總結(jié)考點一條件概率【例1-1】（2023江西）某一地區(qū)的患有癌癥的人占0.004，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.02.現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率約為（

）A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84【例1-2】．（2023·山東濱州）甲、乙為完全相同的兩個不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球．甲袋中裝有5個白球，7個紅球，乙袋中裝有4個白球，2個紅球．從兩個袋中隨機抽取一袋，然后從所抽取的袋中隨機摸出1球，則摸出的球是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·遼寧）北京2022年冬奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融非?？蓯郏辰處熡眉槲锏男旒鳛楠勂饭膭顚W(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)計獎勵方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023湖南）已知為兩個隨機事件，，則“相互獨立”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023湖南長沙）為參加學(xué)校組織的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”的演講比賽，某班從班級初選的甲乙2名男生和6名女生共8名同學(xué)中隨機選取5名組成班級代表隊參加比賽，則代表隊中既有男生又有女生的條件下，男生甲被選中的概率為（

）A． B． C． D．4（2022秋·天津南開）設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，已知取得的是合格品的條件下，則它是一等品的概率為_______．考點二超幾何分布【例2】（2023山西）某校舉辦傳統(tǒng)文化知識競賽，從該校參賽學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，競賽成績的頻率分布表如下：競賽成績頻率(1)估計該校學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)已知樣本中競賽成績在的男生有人，從樣本中競賽成績在的學(xué)生中隨機抽取人進(jìn)行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為，求的分布列及期望.【一隅三反】1．（2023·全國·模擬預(yù)測）新高考模式下，數(shù)學(xué)試卷不分文理卷，學(xué)生想得高分比較困難．為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，張老師對自己的教學(xué)方法進(jìn)行改革，經(jīng)過一學(xué)期的教學(xué)實驗，張老師所教的名學(xué)生，參加一次測試，數(shù)學(xué)學(xué)科成績都在內(nèi)，按區(qū)間分組為，，，，，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于分（百分制）為優(yōu)秀．(1)求這名學(xué)生的平均成績（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表）；(2)按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用分層抽樣方法隨機抽取名學(xué)生座談，再在這名學(xué)生中，選名學(xué)生發(fā)言，記優(yōu)秀學(xué)生發(fā)言的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望．2．（2022春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期末）設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球．(1)記隨機變量表示從甲盒取出的紅球個數(shù)，求期望的值；(2)求從乙盒取出2個紅球的概率．3．（2022寧夏吳忠）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀(jì)念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校高一年級組織2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識競賽并進(jìn)行紀(jì)錄（滿分：100分）根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），..，[80，90]，繪制出如下的頻率分布直方圖(1)用頻率估計概率，從該校隨機抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)從得分在的學(xué)生中利用分層抽樣選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識演講活動，求選出的3人競賽得分不低于70分的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.考點三二項分布【例3-1】（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）青少年近視問題備受社會各界廣泛關(guān)注，某研究機構(gòu)為了解學(xué)生對預(yù)防近視知識的掌握程度，對某校學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并隨機抽取200份問卷，發(fā)現(xiàn)其得分（滿分：100分）都在區(qū)間中，并將數(shù)據(jù)分組，制成如下頻率分布表：分?jǐn)?shù)頻率0.150.250.300.10(1)試估計這200份問卷得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)用樣本估計總體，用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機抽取4人深入調(diào)查，設(shè)X為抽取的4人中得分在的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【一隅三反】1．（2023·陜西）中國職業(yè)男籃CBA總決賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽就此結(jié)束.現(xiàn)甲、乙兩支球隊進(jìn)行總決賽，因兩隊實力相當(dāng)，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為.據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入400萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加100萬元.(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率；(2)設(shè)總決賽中獲得門票總收入為，求的數(shù)學(xué)期望.2．（2022·吉林·東北師大附中校考模擬預(yù)測）新冠肺炎是近百年來人類遭遇的影響范圍最廣的全球性大流行病毒．對前所未知、突如其來、來勢洶洶的疫情，習(xí)近平總書記親自指揮、親自部署，強調(diào)把人民生命安全和身體健康放在第一位．明確堅決打贏疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)．當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢依然復(fù)雜嚴(yán)峻．為普及傳染病防治知識，增強學(xué)生的疾病防范意識，提高自身保護(hù)能力，市團(tuán)委在全市學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽（滿分分），競賽獎勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其它學(xué)生不得獎．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取了名學(xué)生的競賽成績，獲得了如下頻數(shù)分布表．競賽成績?nèi)藬?shù)(1)從該樣本中隨機抽取名學(xué)生，求這名學(xué)生均獲一等獎的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績近似地服從正態(tài)分布，若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)特別多）隨機抽取名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成績在分以上的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．考點四正態(tài)分布【例4】（2023江蘇無錫）天和核心艙是我國目前研制的最大航天器，同時也是我國空間站的重要組成部分．為了能順利的完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴(yán)格．經(jīng)過統(tǒng)計，在挑選航天員的過程中有一項必檢的身體指標(biāo)服從正態(tài)分布，航天員在此項指標(biāo)中的要求為．某學(xué)校共有2000名學(xué)生．為了宣傳這一航天盛事，特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動．學(xué)生首先要進(jìn)行上述指標(biāo)的篩查，對于符合要求的學(xué)生再進(jìn)行4個環(huán)節(jié)選拔，且僅在通過一個環(huán)節(jié)后，才能進(jìn)行到下一個環(huán)節(jié)的選拔．假設(shè)學(xué)生通過每個環(huán)節(jié)的概率均為，且相互獨立．(1)設(shè)學(xué)生甲通過篩查后在后續(xù)的4個環(huán)節(jié)中參與的環(huán)節(jié)數(shù)量為X，請計算X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)請估計符合該項指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）．以該人數(shù)為參加航天員選拔活動的名額，請計算最終通過學(xué)校選拔的人數(shù)Y的期望值．參考數(shù)值：，，．【一隅三反】1．（2023河北邢臺）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)2515020025022510050(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；(2)在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元2040概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，若，則，，.2．（2023·安徽淮南）年月日時分，搭載空間站夢天實驗艙成功發(fā)射，并進(jìn)入預(yù)定軌道，夢天艙的重要結(jié)構(gòu)件導(dǎo)軌支架采用了打印的薄壁蒙皮點陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不斷成熟，打印在精密儀器制作應(yīng)用越來越多.某企業(yè)向