四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)2024-2025學(xué)年新高一數(shù)學(xué)入學(xué)測試測試時間：120分鐘滿分：150分一，單項選擇題.（每題5分，共40分）1.在平面直角坐標系中，兩條直線（）時候垂直？A.斜率之積為-1時B.兩條直線有1個公共點的時候C.兩條直線分別與坐標軸垂直的時候D.以上答案均不正確【答案】A【解析】【分析】由兩直線垂直的定義逐個判斷即可.【詳解】對于A：斜率之積為-1時，兩直線垂直，正確對于B：兩條直線有1個公共點的時候，可能相交但不垂直，錯誤對于C：兩條直線分別與坐標軸垂直的時候，如果是同一坐標軸，那么平行，錯誤對于D：錯誤故選：A2.關(guān)于數(shù)的分類，以下說法正確的是（）A.無理數(shù)相加不可能是有理數(shù)B.是無限不循環(huán)小數(shù)C.0不屬于自然數(shù)集D.若拋物線的系數(shù)均不是整數(shù)，那它的對稱軸，也不是整數(shù)【答案】B【解析】【分析】由，可判斷A；是無限不循環(huán)小數(shù)可判斷B；0屬于自然數(shù)集可判斷C；由，求得對稱軸判斷D.【詳解】對于A：由，故兩個無理數(shù)的和可能是有理數(shù)，故A錯誤；對于B：是無限不循環(huán)小數(shù)，故B正確；對于C：0屬于自然數(shù)集，故C錯誤；對于D：拋物線的對稱軸為，當時，對稱軸為，故D錯誤.故選：B.3.下面說法正確的是（）A.兩個不同的點確定一條直線，三個不同的點確定一條曲線B.如果只知道拋物線的一個點，那么在某些情況也是可以確定它的解析式的C.函數(shù)的對稱軸只有一條D.反比例函數(shù)上的三個不同的點可能在某些情況是共線的【答案】B【解析】【分析】舉例說明三個不同的點不能確定一條曲線，判斷A，舉例說明在特殊條件下，已知拋物線上的一個點，可以求其解析式，判斷B，取，函數(shù)沒有對稱軸，判斷C；設(shè)反比例函數(shù)上存在三個點共線，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式與直線方程，化簡推出矛盾，判斷D.【詳解】因為點都在拋物線上，點也都在反比例函數(shù)的圖象上，所以三個不同的點不能確定一條曲線，A錯誤；若拋物線的解析式為，且拋物線過點，則，此時拋物線的解析式為，故如果只知道拋物線的一個點，那么在某些情況也是可以確定它的解析式的，B正確；當，函數(shù)的解析式可化為，該函數(shù)的圖象沒有對稱軸，C錯誤；設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)函數(shù)的圖象上存在三個不同的點共線，則該直線方程不可能為，設(shè)其解析式為，聯(lián)立，化簡可得，因為方程至多只有個解，所以方程組至多只有組解，矛盾，D錯誤故選：B.4.下面說法正確的是（）A.借助兩點間距離公式，可以知道甲地到乙地的路程B.兩點間距離公式是通過勾股定理推導(dǎo)出來的C.滿足這樣軌跡方程的一定是圓，因為圓的有一個定義是，點到定點距離為定值的軌跡，再根據(jù)兩點間距離公式，將這個轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言，就是D.以上選項均不正確【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點間的距離公式、圓等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，兩點間的距離是兩點間的直線距離，甲乙兩地的道路不一定是直線，所以A選項錯誤.B選項，兩點間距離公式可以通過勾股定理來推導(dǎo)，也可以通過向量法、解析幾何法、坐標變換法、微積分等方法來進行推導(dǎo)，所以B選項錯誤.C選項，當時，滿足的點，即點，所以C選項錯誤.故選：D5.老師們常常給我們說，“努力學(xué)習(xí)不一定有好結(jié)果，但是不努力學(xué)習(xí)一定沒有好結(jié)果”，對于這句話，正確的理解是（）A任何時候不管努力學(xué)習(xí)，或者不努力學(xué)習(xí)，都不一定有好結(jié)果B.不努力學(xué)習(xí)也可能有好結(jié)果C.努力學(xué)習(xí)一定有好結(jié)果D.如果沒有取得好結(jié)果，那么一定沒有努力【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的語句的正確性，逐一分析各個選項即可.【詳解】對于A，由給定的語句知，努力學(xué)習(xí)，或者不努力學(xué)習(xí)，都不一定有好結(jié)果，A正確.對于B，由給定的語句知，不努力學(xué)習(xí)一定沒有好結(jié)果，B錯誤；對于C，由給定的語句知，努力學(xué)習(xí)不一定有好結(jié)果，C錯誤；對于D，命題“如果沒有取得好結(jié)果，那么一定沒有努力”，等價于：如果努力，就能取得好結(jié)果，D錯誤.故選：A6.拋物線與圓相交形成交點（）A.橫坐標相加之和為0B.可能有3個C.將交點連接后，其形狀可能是等腰梯形或一條直線D.以上說法均不正確【答案】B【解析】【分析】由拋物線與圓有三個交點可判斷每個選項的正確性.【詳解】若拋物線方程為，圓的方程為，聯(lián)立方程組解得或，當時，，當時，或，故此時拋物線與圓有三個交點，故B正確；故橫坐標之和不為0，故A錯誤；連接交點可得一個三角形，故C錯誤.故選：B.7.請結(jié)合計算和畫圖，判斷（）A.1 B.2 C.3 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義計算判斷即可.【詳解】在中，令銳角的對邊為，鄰邊為，斜邊為，則，，所以.故選：A8.已知，則直線恒過定點（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，可得定點坐標.【詳解】因為，所以，由，可得，所以，當時，所以對為任意實數(shù)均成立,故直線過定點.故選：A.二.不定項選擇題.（每題6分，共18分）9.當二次函數(shù)自變量有范圍限制的時候，會出現(xiàn)（）情況A.若限制范圍包含頂點，那么最小值或最大值是不變的B.若限制范圍不包含頂點，那么一定存在最小值或者最大值C.若限制范圍不包含頂點，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范圍為確定的值，而不是一個區(qū)間，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)逐項判斷即得.【詳解】對于A，限制范圍包含頂點，若二次函數(shù)圖象開口向上，則頂點的縱坐標值為二次函數(shù)最小值；若二次函數(shù)圖象開口向下，則頂點的縱坐標值為二次函數(shù)最大值，因此最小值或最大值不變，A正確；對于BC，限制范圍不包含頂點，當限制范圍的端點值不能被取到時，該函數(shù)可能沒有最小值和最大值，BC錯誤；對于D，限制范圍為確定的值，而不是一個區(qū)間，該函數(shù)只有一個函數(shù)值，其最小值和最大值相等，D正確.故選：AD10.下面圖形是矩形的是（）A.長方形 B.正方形C菱形 D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定義可得結(jié)論.【詳解】由矩形的定義可得是矩形的有長方形，正方形.故選：AB.11.一個直角三角形，直角邊分別是，那么下面說法正確的是（）A.斜邊長度為B.斜邊長度最小值是2C.將其繞其直角頂點旋轉(zhuǎn)一周，那么其斜邊上任何一個點（包含端點）的運動軌跡都是圓D.這個直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，由直角三角形勾股定理得斜邊長度為，A正確；對于B，，當且僅當，即取等號，B錯誤；對于C，直角三角形斜邊上一點與直角頂點為端點的線段，繞直角頂點旋轉(zhuǎn)一周，另一端點的軌跡是圓，C正確；對于D，當時，該直角三角形是等腰直角三角形，D正確.故選：ACD三.填空題：（每題5分，共15分）12.若集合A有3個元素，集合B有4個元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________個元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合公共元素個數(shù)即可得解.【詳解】集合A有3個元素，集合B有4個元素，則集合的公共元素個數(shù)最多為3個，所以集合A和集合B的交集可能有0或1或2或3.故答案為：0或1或2或313.已知一元二次方程的兩根分別為，那么_________.【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因為一元二次方程的兩根分別為，所以.故答案為：.14.函數(shù)（為確定的實數(shù)）的因變量取值范圍是__________.【答案】當時，因變量的取值范圍是；當時，因變量的取值范圍是；當時，因變量的取值范圍是.【解析】【分析】對進行分類討論，根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】當時，，則；當時，二次函數(shù)，則頂點的縱坐標為，所以，當時，因變量的取值范圍是；當時，因變量的取值范圍是.故答案為：當時，因變量的取值范圍是R；當時，因變量的取值范圍是；當時，因變量的取值范圍是.四．解答題：（15題13分，16題～17題每題15分，18～19題每題17分，共77分）15.已知，請作出，，的圖象，并說說你是怎么作出的.【答案】作圖見解析.【解析】【分析】利用函數(shù)利用變換法作出圖象，并敘述作圖過程.【詳解】當時，，此時的圖象為函數(shù)圖象在軸及右側(cè)圖象，當時，，此時的圖象為函數(shù)在軸右側(cè)圖象關(guān)于軸對稱而得，函數(shù)的圖象，如圖，當時，，此時的圖象為函數(shù)圖象在軸及上方圖象，當時，，此時的圖象為函數(shù)在軸下方圖象關(guān)于對稱而得，函數(shù)的圖象，如圖：函數(shù)的圖象是將函數(shù)圖象向右平移1個單位而得，如圖.16.請利用種方法證明勾股定理.并說出一例勾股定理在生活中的運用.【答案】證明見解析，舉例見解析.【解析】【分析】方法一：過作，垂足為，證明，由此可得，同理可得，由此證明結(jié)論；方法二：以為邊作正方形，過點作垂足為，過點作，垂足為，延長，交于點，證明，再證明四邊形為正方形，結(jié)合面積關(guān)系證明結(jié)論；方法三：以點為圓心，為半徑作圓，分別交和的延長線于點，證明為圓的切線，結(jié)合切割線定理證明結(jié)論.再舉例說明勾股定理在生活中的應(yīng)用.【詳解】如圖，在直角三角形中，，求證：.方法一：過作，垂足為，則，，故，又，所以，所以，即，同理：，所以，所以.方法二：如圖，以為邊作正方形，過點作垂足為，過點作，垂足為，延長，交于點，由已知，，所以，故，因為，,所以，又，，所以,同理可證，，所以，，所以，又，所以四邊形為正方形，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，的面積為，則，所以，所以.方法三：以點為圓心，為半徑作圓，分別交和的延長線于點，則，因為，點在圓上，所以為圓的切線，所以，所以.家裝時，工人為了判斷一個墻角是否標準直角，可以分別在墻角向兩個墻面量出，并標記在一個點，然后量這兩點間距離是否是，如果超出一定誤差，則說明墻角不是直角.17.請討論方程解的個數(shù).【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)的不同取值分類討論，結(jié)合一元二次方程性質(zhì)判斷解的個數(shù)，即可得到答案.【詳解】當，即或時，方程為一元一次方程，有一個解；當，即且時，方程為一元二次方程，，令，即，解得，所以當時，，方程有一個解，當時，，方程無解，當且或且時，，方程有兩個解，綜上，當或或時，方程有1個解，當時，方程無解，當當且或且時，方程有兩個解.18.已知拋物線C的頂點在原點，開口向上，且經(jīng)過點.（1）求它向左平移3個單位，向上平移1個單位后的解析式；（2）當m，n是方程的兩根的時候，求拋物線C的解析式；（3）求經(jīng)過的切線方程，并說明這樣的切線有幾條.【答案】（1）；（2）或；（3），1條.【解析】【分析】（1）求出拋物線的解析式，利用平移變換求出解析式.（2）求出，再分類求出解析式.（3）求出過點的切線方程，再與拋物線方程聯(lián)立即可求解即得.【小問1詳解】依題意，設(shè)拋物線的解析式為，則，解得，因此拋物線的解析式為，將拋物線向左平移3個單位，向上平移1個單位后的解析式為.【小問2詳解】解方程，得，當時，拋物線對應(yīng)的解析式為，當時，拋物線對應(yīng)的解析式為，所以拋物線的解析式為或.小問3詳解】設(shè)過點的切線方程為，則，解得，即切線方程為，由消去得，，解得，所以經(jīng)過的拋物線切線方程為，這樣的切線方程只有一條.19.在初中的時候，我們知道三角形是有穩(wěn)定性的，那為什么它有穩(wěn)定性，而平行四邊形沒有穩(wěn)定性呢？GGbond數(shù)學(xué)研究小組對這個問題進行了探究，上網(wǎng)查閱了資料，了解了一個公式，已知三角形三邊長度為a，b，c，三個角為A，B，C，那么，請你結(jié)合這個公式，來思考這個問題，并回答：（1）請利用這個公式說明邊長為3，3，7的三角形是不存在的；（2）證明這個公式；（3）若一個平行四邊形四邊長為1，1，2，2，請說明這樣的平行四邊形有幾個，請直接寫出你的答案；（4）請利用這個公式，闡述為什么三角形有穩(wěn)定性，而平行四邊形沒有穩(wěn)定性.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）無數(shù)個；（4）見解析.【解析】【分析】（1）由題意求出，即可判斷；（2）以為坐標原點，邊所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，由兩點間的距離公式即可證明.（3）如圖，設(shè)，由題意可得，當長度變化時，也會變化，所以說明這樣的平行四邊形有無數(shù)個.（4）三角形的三邊長是固定的，由題意可知三個角的余弦值也是固定的，所以三角形有穩(wěn)