7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（解析版） （人教A版2019必修第二冊(cè)）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算考法一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算【例1-1】（2023·貴州黔東南）已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，其?shí)部與虛部分別為，.故選：A【例1-2】（2024·內(nèi)蒙古）復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）A． B． C．6 D．7【答案】A【解析】由題意，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)，所以，得，所以.故選：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則（

）A．5 B． C．25 D．【答案】A【解析】由，有，則，所以，故選：A．3．（2024·內(nèi)蒙古）復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）A．6 B． C． D．7【答案】C【解析】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，所以.故選：C4．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)z1=2+b，z2=a+，當(dāng)z1+z2=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+b為（

）A．1+ B．2+C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)閦1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，所以于是故.故選：D.考法二復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義【例2-1】（2023上海）若向量分別表示復(fù)數(shù)，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋窒蛄糠謩e表示復(fù)數(shù)，所以表示復(fù)數(shù)，所以.故選：B【例2-2】（2023·江蘇常州）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在復(fù)平面中，設(shè)分別與向量對(duì)應(yīng)，由題意可得，，因?yàn)?，即，解得，?故選：B.【一隅三反】1．（2023·河南鄭州）復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，因?yàn)?，所以表示向量的?fù)數(shù)為.故選：D.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，若點(diǎn)A，C分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)，，則A，C兩點(diǎn)間的距離為．【答案】5【解析】依題意得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以A，C兩點(diǎn)間的距離為．故答案為：5．考法三復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算【例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)1(4)(5)(6)【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【一隅三反】1.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（2）（3）（4）2．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（2）（3）（4）；3.（2023湖北）計(jì)算：（1）；（2）．（3）；（4）．【答案】（1）513；（2）．（3）；（4）.【解析】（1）由于故（2）由于，，，故（3），，所以，，因此，原式；（4）因?yàn)椋栽剑挤ㄋ脑趶?fù)數(shù)的范圍內(nèi)解方程【例4】（2024云南）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）∵，∴由求根公式得.（2）∵，∴由求根公式得.（3）∵，∴由求根公式得.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)或．(4)或．【解析】（1）即為，故.（2）即為，故，所以.（3），則，則.（4）配方，得．或，所以或．2（2024上海）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p、q的值及方程的另一個(gè)根．【答案】，，另一個(gè)根．【解析】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，所以，即，所以，解得，所以方程為，因?yàn)?，所以方程的另一個(gè)根是.3（2024江蘇）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位.（1）求和；（2）若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.【解析】（1）復(fù)數(shù)，，．（2）復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，，，，，解得，．考法五復(fù)數(shù)模的最值【例5】（2023·浙江）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為．【答案】【解析】表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和之間的距離，的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，所以最大距離為，最小距離為，所以的取值范圍為.故答案為：.

【一隅三反】1．（2024·上海）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是．【答案】8【解析】因?yàn)榍?，所以，根?jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，表示以為圓心，3為半徑的圓，所以，表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為，，故答案為：2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，.故選：C3．（2024北京）（多選）已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上B．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模D．非零復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量為，非零復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的向量為，若，則【答案】CD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)，則，由可得，，所以滿足的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，由可得，，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得，解得，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的模的定義知C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由的幾何意義知，以為鄰邊的平行四邊形為矩形，從而兩鄰邊垂直，故D正確.故選：CD.考法六復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用【例6】（2024·浙江寧波）（多選）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設(shè)，，其中.對(duì)于選項(xiàng)A:，所以與不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?所有因?yàn)?，所?故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?，所以，而與不一定相等,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多選）已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則的最小值為1【答案】CD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則所以，則，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：CD2（2023湖北）（多選）設(shè)，是復(fù)數(shù)，則（）A． B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】設(shè)，，a，b，x，，，A成立；，則，所以，，從而，所以，C成立；對(duì)于B，取，，滿足，但結(jié)論不成立；對(duì)于D，取，，滿足，但結(jié)論不成立.故選：AC3．（2024甘肅（多選））設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因，則，即，則為真，A正確；對(duì)于B，因，則和互為共軛復(fù)數(shù)，則為真，B正確；對(duì)于C，設(shè)，因，則，即，于是得，則為真，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，有，而，即為假，D不正確.故選：ABC單選題1．（2024·湖南邵陽(yáng)）下列各式的運(yùn)算結(jié)果不是純虛數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2024·云南昆明）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第一象限.故選：A.3．（2024上·山東棗莊）若是方程的一個(gè)虛數(shù)根，則（

）A．0 B．-1 C． D．-1或【答案】A【解析】方程化為：，依題意，或，顯然，又，即，所以.故選：A4．（2023·安徽）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，即的虛部為故選：D．5．（2024·湖北武漢）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．13【答案】B【解析】由題設(shè)，令，且，則所以，故，故.故選：B6．（2023·廣東中山）復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：A7．（2024·河北保定）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由，得，所以，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，，，所以，?dāng)時(shí)，，故的最小值為.故選：C.多選題9（2023福建）若實(shí)數(shù)，滿足，則（）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的值可能為 D．【答案】BCD【解析】因?yàn)?所以，，即，，則.解得或，故A錯(cuò)誤，B，C，D均正確.故選：BCD.10．（2024河北邢臺(tái)）若復(fù)數(shù)z滿足（其中是虛數(shù)單位），則（）A．z的實(shí)部是2 B．z的虛部是C． D．【答案】CD【解析】依題意，兩邊乘以得，所以的實(shí)部為，虛部為，所以AB錯(cuò)誤.，所以C正確.，所以D正確.故選：CD11．（2024·河南南陽(yáng)）設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．（2023·湖南衡陽(yáng)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C．復(fù)數(shù)是方程的解D．復(fù)數(shù)滿足【答案】AC【解析】由得，則對(duì)于A,，故A正確，對(duì)于B,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故該點(diǎn)位于第四象限，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,,故是的復(fù)數(shù)根，故C正確，對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為到,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為,由得的距離為1，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的在以為圓心，半徑為1的圓上，故的最大值為，故D錯(cuò)誤，故選：AC填空題13．（2023·上海黃浦）復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則；【答案】【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則，則故答案為：14．（2023·上海寶山）已知復(fù)數(shù)，滿足，，，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為．【答案】【解析】，是以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，，，，即，復(fù)數(shù)以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)為圓心，半徑為1和的兩圓構(gòu)成的圓弧，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為：故答案為：.15．（2024·課時(shí)練習(xí)）若有兩個(gè)數(shù)，它們的和是4，積為5，則這兩個(gè)數(shù)是.【答案】【解析】設(shè)，依題意有，即，所以.將代入，得；將代入，解得；將代入，得，結(jié)合解得或.所以對(duì)應(yīng)的數(shù)為、.故答案為：16．（2023上海）已知為虛數(shù)單位，則集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為．故答案為：．解答題17．（2023·浙江·）已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位）(1)求z的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由，得.（2）由（1）知，，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18．（2023·浙江）已知復(fù)數(shù)，其中是正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位．(1)如果為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)如果，是關(guān)于的方程的一個(gè)復(fù)根，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）解：因?yàn)椋蔀榧兲摂?shù)，可得，解得；（2）解：因?yàn)?，所以，，將代入方程，得，即有，所以?19．（2023·廣東東莞）已知和均為實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，由題意，，可得，則（2），由題意，，解得或.實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．（2023·遼寧沈陽(yáng)）在①?gòu)?fù)數(shù)z滿足和均為實(shí)數(shù)；②為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，且；③復(fù)數(shù)是關(guān)于x方程的一個(gè)根，這三個(gè)條件中任選一個(gè)（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分），并解答問(wèn)題：(1)求復(fù)數(shù)z；(2)在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）若選①：設(shè)，則，，若和均為實(shí)數(shù)，則，解得，所以；若選②：設(shè)，則，因?yàn)?，則，整理得，則，解得，所以；若選③：因?yàn)?，則，解得，且，所以.（2）由（1）可得，則，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.21．（2023上·廣東深圳）已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，且滿足，且為純虛數(shù).(1)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求復(fù)數(shù)z；(2)求；(3)若在（1）中條件下的復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)，【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，又為純虛數(shù)，所以，又，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，所以，故.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（3）法一