6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（解析版）（人教A版2019必修第二冊(cè)）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考法一平面向量基底的辨析【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于C：設(shè)，即，則，所以無解，所以此兩個(gè)向量不共線，可以作為一組基底；對(duì)于D：設(shè)，，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；故選：C.【一隅三反】1．（2023·黑龍江）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對(duì)于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對(duì)于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2023·湖南）設(shè)為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】平面向量的基底由兩個(gè)不共線的非零向量組成，C選項(xiàng)中，，即和為共線向量，所以它們不能作為基底.其它選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.故選：C3．（2023北京）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】是平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以不共線；所以和不共線，和不共線，和不共線；所以選項(xiàng)A,C,D都可以作為基底；B中，，所以和共線，不能作為基底．故選：B考法二平面向量的基本定理【例2-1】（2024·云南大理）已知在中，點(diǎn)在邊上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，又點(diǎn)在邊上，且，則，故選：A.

【例2-2】（2023·河南?。┤鐖D，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故，則，又是上一點(diǎn)，所以，解得.故選：A.【例2-3】（2023安徽）已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，設(shè)，則（）

A． B．C． D．【答案】B【解析】∵AD為邊BC上的中線，∴，又BE為邊AC上的中線，∴，又，∴，∴，故選：B.【例2-4】（2023·江西宜春）如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合），設(shè)，則的值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)，則，又因?yàn)镚是的重心，故，所以有.故選：A【一隅三反】1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在平行四邊形中，，，，，則（

）A． B．C． D．【解析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?，，，，四邊形為平行四邊形，則，故選：D.2．（2023湖北）如圖所示，在中，，，若，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B3．（2023·陜西西安）在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，又，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所?故選：C4．（2024·陜西商洛）如圖，在中，滿足條件，若，則（

）A．8 B．4 C．2 D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?所以，即，又，所以，故.故選：A.考法三線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例3-1】（2023·四川綿陽）已知向量，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A． B．0 C．1 D．【答案】D【解析】由題意：；故選：D.【例3-2】（2023·浙江金華）己知向量，且與共線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，又與共線，，化簡(jiǎn)得.故選：C.【例3-3】（2023·湖南永州）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】，由于，所以.故選：C【一隅三反】1．（2023·山東鄒城）已知向量，，則（）A． B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】根據(jù)題意，向量，，則，故.故選：B．2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若非零實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，．因?yàn)?，所以，整理得，即．故選:A．3．（2023·云南?。┮阎c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以可設(shè)，因?yàn)?，，所以，解得，所?故選：B.4．（2023·廣東·）（多選）已知，，下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)?，，所以，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：AB.5．（2023·湖南）（多選）已知向量，，則（）A．若與垂直，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與的夾角為【答案】BC【解析】A：與垂直，則，可得，故錯(cuò)誤；B：，則，可得，故正確；C：有，則，可得，故正確；D：時(shí)，有，所以，即與的夾角不為，故錯(cuò)誤.故選：BC考法四平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【例4-1】（2023·浙江）（多選）已知平面向量，，下列敘述正確的是（

）A．與的夾角為 B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，，則，且，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，則，故C正確；在上的投影向量為，故D正確；故選：ACD【例4-2】（2023·海南）（多選）已知向量，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，則，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在方向上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，，所以在方向上投影向量的模為：，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得在方向上投影向量的模為1，故C正確；對(duì)于D，向量，所以，則，故D正確.故選：BCD.【一隅三反】1．（2024·湖南邵陽）已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意：，，，所以.故選：D2．（2024·甘肅蘭州）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得：，解得或；當(dāng)時(shí)，與共線同向，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，.故選：C.3．（2024上·河北）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，所以在向量上的投影向量為.故選：A.4．（2023上·河北滄州）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當(dāng)時(shí)，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B．考法五巧建坐標(biāo)解平面向量【例5-1】（2023·安徽）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【答案】（1）14；（2）.【解析】如圖，分別以邊，所在的直線為軸，軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，.（1）∵，，∴.（2）∵，，，由，得，∴解得∴.【例5-2】（2024陜西）如圖，邊長為1的等邊△ABC中，AD為邊BC上的高，P為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：故可得，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，故可得.故，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故.故選：A.【一隅三反】1.（2023福建）如圖，在中，已知，，，D為線段BC中點(diǎn)，E為線段AD中點(diǎn).（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）依題意可知為直角三角形，，如圖建立坐標(biāo)系：則，，，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，故，∴，，∴.（2）由E為線段AD中點(diǎn)可知，∴，，∴.2．（2023山東濟(jì)南市·）在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-2【答案】C【解析】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C．3．（2023·河北）如圖所示，梯形中，，且，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值為.故選：B.考法六奔馳定理【例6-1】（2023·安徽）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長交于，延長交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心.故選：B【例6-2】（2023湖南）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，又，所以,即,即，則點(diǎn)在線段上，且,又，,又，即，所以點(diǎn)在線段上，且,，故選：C.【一隅三反】1．（2023河北）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且有，則和的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，則，又因?yàn)椋?，，所以故選：2．（2023江西）內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，在內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，由奔馳定理可得，所以，故選A．3．（2023河南）已知點(diǎn)在正所確定的平面上，且滿足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在邊上，且，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到距離的，故的面積與的面積之比為.選C.4．（2023·遼寧·）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)D，連接，由，則，所以，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；

對(duì)于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；

對(duì)于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，如圖，延長交于點(diǎn)D，延長交于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)E，

由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，則，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ABD．單選題1．（2023·寧夏石嘴山）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量與平行，得，而向量不平行，于是，所以.故選：A2．（2024上·北京石景山）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.3．（2024·廣東佛山）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由，向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：D.4．（2023下·寧夏石嘴山）已知平面向量，，若是直角三角形，則的取值是（

）A．2 B． C．2或7 D．2或5【答案】C【解析】，，則，當(dāng)是直角頂點(diǎn)時(shí)：，；當(dāng)是直角頂點(diǎn)時(shí)：，無解；當(dāng)是直角頂點(diǎn)時(shí)：，；綜上所述：或.故選：C.5．（2023上·重慶渝北）如圖，在邊長為2的等邊三角形中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中點(diǎn)，所以，，.所以，所以，.故選：B.6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】平行四邊形中,，則∽，因?yàn)辄c(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，所以，所以，

故．故選：B．7．（2023上·天津南開）是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，且，則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，所以，即，又，故.故選：A8．（2023·北京）如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)镸，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以，，故，因?yàn)椤?，所以，設(shè)，則，，故，故，同理可得，，因?yàn)椤?，所以，設(shè)，則，，，故，，則因?yàn)椋苫静坏仁降?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：C多選題9．（2024·貴州）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．與的夾角為D．在方向上的投影向量是【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，則，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，故C正確；在方向上的投影向量是，故D錯(cuò)誤.故選:AC.10．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎瑒t（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】已知，若，則，解得，A選項(xiàng)正確；若，則，解得，B選項(xiàng)正確；，，當(dāng)時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，向量與向量的夾角為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11．（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直角梯形中，，，，是線段的中點(diǎn)，線段與線段交于，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)，由已知條件可知，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，則存在，使得,，，所以，消去得，解得，所以，則正確；故選：.12．（2023·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底B．若，是單位向量)，則C．向量與共線存在不全為零的實(shí)數(shù)使D．已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若則【答案】CD【【解析】對(duì)于A，由平面基底的概念可知，只要不共線的任何兩個(gè)向量都可以作為平面的一組基底向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨設(shè)，，此時(shí)有，但不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量共線定理的充要條件可知C正確；對(duì)于D，由向量共線定理可知，其中，若則，故D正確.故選：CD.填空題13．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且與不平行，所以且，解得且．故答案為：13．（2023上·上海浦東新）若向量，則在方向上的投影的坐標(biāo)為.【答案】【解析】由，則，則在方向上的投影的坐標(biāo)為，故答案為：15．（2023上·天津河北）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.【答案】2【解析】由，，可得，由于，，三點(diǎn)共線，故共線，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：2；16（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖．在直角梯形中．，點(diǎn)P是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】4【解析】由在直角梯形中．，則，則以A為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為4，故答案為：4解答題17．（2023上·遼寧沈陽）給定三個(gè)平面向量．(1)求的大?。?2)若向量與向量共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），則，所以，因?yàn)椋?；?），，因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以，解得．18．（2023·廣東惠州）已知平面直角坐標(biāo)系中，向量.(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】（1）設(shè)，由題意知，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以?（2）由題意，則，當(dāng)與共線時(shí)，，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，且，所以