5.1 任意角和弧度制-2022-2023學年高一數(shù)學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第一冊）

5.1任意角和弧度制【考點梳理】大重點一：任意角考點一：任意角1．角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．2．角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角α的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3．角的分類：名稱定義圖示正角按逆時針方向旋轉形成的角負角按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角考點二角的加法與減法設α，β是任意兩個角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考點三象限角把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．考點四終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．大重點二：弧度制考點五：度量角的兩種單位制1．角度制：(1)定義：用度作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．考點六：弧度數(shù)的計算考點七：角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)考點八四：弧度制下的弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR. (2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【題型歸納】題型一：任意角的概念1．（2022·全國·高一）平面直角坐標系中，取角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的非負半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負角B．三角形的內角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限2．（2022·四川攀枝花·高一期末）下列說法中，正確的是（

）A．銳角是第一象限的角 B．終邊相同的角必相等C．小于的角一定為銳角 D．第二象限的角必大于第一象限的角3．（2021·上海市甘泉外國語中學高一期末）下列命題中正確的是（

）A．第一象限角是銳角 B．銳角是第一象限角C．終邊相同的角必相等 D．第二象限角必大于第一象限角題型二：終邊相同的角4．（2022·全國·高一課時練習）終邊落在直線上的角的集合為（

）A． B．C． D．5．（2022·河南安陽·高一期末）把表示成，的形式，則的值可以是（

）A． B． C． D．6．（2022·吉林松原·高一階段練習）下列與角的終邊一定相同的角是（

）A． B．C． D．題型三：象限角7．（2022·山東東營·高一期中）若是銳角，則，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角8．（2022·江西省萬載中學高一階段練習）下列說法中，正確的是（

）A．第二象限的角是鈍角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．是第二象限的角 D．是終邊相同的角9．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型四：確定n倍角所在象限10．（2021·全國·高一專題練習）若是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角11．（2020·河南·林州市林慮中學高一階段練習）下列有4個命題：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角終邊可以相同；（3）若是第二象限角，一定是第四象限角；（4）終邊在軸正半軸上的角是零角；其中正確的命題有（

）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2） D．（1）（2）（3）（4）12．（2022·陜西·榆林市第十中學高一階段練習）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型五：度量角的兩種單位制（角度制和弧度制）13．（2022·甘肅蘭州·高一期中）考生你好，本場考試需要2小時，在本場考試中，鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．14．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）現(xiàn)有兩個相互嚙合的齒輪，大輪有64齒，小輪有24齒，當小輪轉一周時，大輪轉動的弧度是（

）A． B． C． D．15．（2021·云南師范大學附屬丘北中學高一階段練習）如圖所示的時鐘顯示的時刻為10：10，將時針與分針視為兩條線段，則該時刻的時針與分針（

）A． B． C． D．題型六：角度與弧度的互化16．（2022·全國·高一課時練習）下列結論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°C．化成弧度是 D．化成度是15°17．（2022·湖南·高一）把下列各角從弧度化為度：(1)；(2)；(3)；(4)．18．（2022·湖南·高一）把下列各角從度化為弧度：(1)15°；(2)36°；(3)；(4)145°．題型七：、與扇形的弧長、面積有關的計算19．（2022·江西贛州·高一期末）已知某扇形的周長是，面積是，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或520．（2021·天津·高一期末）已知扇形的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形的周長為（

）A．32 B．24 C． D．21．（2022·江蘇宿遷·高一期中）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【雙基達標】一、單選題22．（2022·遼寧·東北育才學校高一期中）2022°是第（

）象限角．A．一 B．二 C．三 D．四23．（2022·浙江大學附屬中學高一期末）下列選項中與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．24．（2022·浙江·杭州高級中學高一期末）如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．25．（2022·安徽省舒城中學高一開學考試）給出下列四個命題:①-75°是第四象限角；②小于的角是銳角；③第二象限角比第一象限角大；④一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角等于1弧度.其中正確的命題有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個26．（2022·全國·高一課時練習）玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫．某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（

）A． B． C． D．27．（2022·全國·高一課時練習）如圖為某校數(shù)學興趣小組用數(shù)學軟件制作的“螺旋蚊香”圖案，畫法如下：在水平直線l上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D，再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長度為（

）A． B．14π C．24π D．10π28．（2022·全國·高一課時練習）設是第三象限角，且，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限29．（2022·全國·高一課時練習）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.(1)(2)30．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高一階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【高分突破】一、單選題31．（2022·全國·高一）若角的終邊與函數(shù)的圖象相交，則角的集合為（

）A． B．C． D．32．（2022·全國·高一課時練習）已知，則角的終邊落在的陰影部分是（

）A． B．C． D．33．（2022·全國·高一單元測試）一個扇形的半徑為3，圓心角為，且周長為8，則（

）A． B． C． D．34．（2022·陜西咸陽·高一期末）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖，是以O為圓心，為半徑的圓弧，C是的中點，D在上，.“會圓術”給出后的弧長的近似值s的計算公式：，記實際弧長為l.當，時，的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53二、多選題35．（2022·全國·高一課時練習）已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．436．（2022·全國·高一課時練習）下列給出的各角中，與的終邊相同的角有（

）A． B． C． D．37．（2022·全國·高一單元測試）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為38．（2022·江西上饒·高一階段練習）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角39．（2022·安徽·池州市第一中學高一階段練習）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，衛(wèi)星圖片可以看成一個圓形，如果將其一分為二成兩個扇形，設其中一個扇形的面積為，圓心角為，天壇中剩余部分扇形的面積為，圓心角為，當與的比值為時，則裁剪出來的扇形看上去較為美觀，那么（

）A． B．C． D．40．（2022·全國·高一課時練習）下列說法正確的是（

）A．化成弧度是B．化成角度是C．若角，則角為第二象限角D．若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形面積為41．（2022·遼寧·建平縣實驗中學高一階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．與735°終邊相同的角是15°B．若一扇形的圓心角為15°，半徑為3cm，則扇形面積為C．設是銳角，則角為第一或第二象限角D．設是第一象限，則為第一或第三象限角填空題42．（2022·黑龍江·哈師大附中高一）一個扇形的弧長為6π，面積為27π，則此扇形的圓心角為____________度．43．（2022·全國·高一）若α是第二象限角，則180°－α是第______象限角．44．（2022·全國·高一）若兩個角的差為1弧度，和為1°，則這兩個角的弧度數(shù)分別為______．45．（2022·全國·高一）彝族圖案作為人類社會發(fā)展的一種物質文化，有著燦爛歷史．按照圖案的載體大致分為彝族服飾圖案、彝族漆器圖案、彝族銀器圖案等，其中蘊含著豐富的數(shù)學文化，如圖1，漆器圖案中出現(xiàn)的“阿基米德螺線”，該曲線是由一動點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉動所形成的軌跡．這些螺線均勻分布，將其簡化抽象為圖2，若，則所對應的弧長為______．46．（2022·全國·高一）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：______.四、解答題47．（2022·全國·高一）已知是第二象限角．(1)指出所在的象限，并用圖形表示其變化范圍；(2)若，求α的取值范圍．48．（2022·全國·高一）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．49．（2022·上海市復興高級中學高一階段練習）集合，，，，分別求，，．【答案詳解】1．D【分析】根據(jù)象限角與角的定義逐個選項辨析即可.【詳解】－330°角是第一象限角，且是負角，故A錯誤；三角形的內角可能為90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B錯誤；α＝390°為第一象限角，β＝120°為第二象限角，此時α＞β，故C錯誤；鈍角是大于90°且小于180°的角，它的終邊在第二象限，故D正確．故選：D．2．A【分析】根據(jù)銳角的定義，可判定A正確；利用反例可分別判定B、C、D錯誤，即可求解.【詳解】對于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿足是第一象限角，所以A正確；對于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對于C中，例如：滿足，但不是銳角，所以C不正確；對于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時，所以D不正確.故選：A.3．B【分析】根據(jù)角的有關概念逐項判斷對錯即可.【詳解】A．第一象限角不一定是銳角，如，故錯誤；B．銳角的范圍是，一定是第一象限角，故正確；C．終邊相同的角不一定相等，如，故錯誤；D．取第二象限角，取第一象限角，結論明顯不成立，故錯誤；故選：B.4．B【分析】先確定的傾斜角為，再分當終邊在第一和三象限時角度的表達式再求解即可.【詳解】易得的傾斜角為，當終邊在第一象限時，，；當終邊在第三象限時，，．所以角的集合為．故選：B5．B【分析】由結合弧度制求解即可.【詳解】∵，∴故選：B6．C【分析】根據(jù)表示終邊相同角，即可判斷．【詳解】對于選項C：與角的終邊相同的角為，C滿足.對于選項B：當時，成立；當時，不成立.對于選項D：不成立.故選:C7．C【分析】根據(jù)取奇數(shù)和偶數(shù)分類討論即可求解.【詳解】是銳角，，，當k為奇數(shù)時，為第三象限角；當k為偶數(shù)時，為第一象限角.所以為第一象限角或第三象限角.故選:C.8．D【分析】根據(jù)已知條件，結合象限角的定義與終邊相同的角的定義即可求解【詳解】對于A：當角為是，該角為第二象限角，但不是鈍角，故A錯誤；對于B：分別取第一象限的角為，第二象限角，此時第一象限的角大于第二象限的角，故B錯誤；對于C：是第三象限的角，故C錯誤；對于D：因為，所以是終邊相同的角，故D正確；故選：D9．A【分析】由象限角的知識結合充分和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當是第四象限角時，，則，即是第二或第四象限角.當為第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要條件．故選：A10．D【分析】根據(jù)題意求出的范圍即可判斷.【詳解】由題意知，，，則，所以，．當k為偶數(shù)時，為第四象限角；當k為奇數(shù)時，為第二象限角．所以是第二或第四象限角.故選：D.11．C【解析】直接利用象限角的定義對每一個命題進行逐一判斷命題的真假即可．【詳解】（1）第一象限角,而是第二象限角，命題錯誤；（2）與終邊相等，但它們不相等，命題正確；（3）若是第二象限角，則，∴，其中是第三象限角，命題錯誤；（4）角的終邊在軸正半軸上，但不是零角，命題錯誤.故選：C【點睛】本題考查了角的概念的推廣，屬于基礎題．12．D【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對應的終邊位置即可.【詳解】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，當時，此時的終邊落在第二象限，當時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.13．B【分析】因為時針經(jīng)過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉過的弧度數(shù)為.故選：B.14．C【分析】根據(jù)大輪與小輪轉過的弧長相等即可求解.【詳解】當小輪轉一周時，大輪轉動周，所以大輪轉動的弧度是．故選：C.15．B【分析】根據(jù)鐘表求出“10”至“2”所夾的鈍角，再求出時針偏離“10”的度數(shù)，進而即可得出結果.【詳解】因為“10”至“2”所夾的鈍角為，時針偏離“10”的角度為，所以時針與分針的夾角應為，故選：B．16．A【分析】利用弧度和度的互化公式對選項進行逐一驗證即可得出答案.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確．故選：A17．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】將各角的弧度乘以，即可得對應角的度數(shù).(1).(2).(3).(4).18．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】將各角度乘以，即可得對應弧度.(1).(2).(3).(4)19．C【分析】設扇形的弧長為，半徑為，解方程組求得弧長與半徑，從而可得答案.【詳解】解：設扇形的弧長為，半徑為，所以，解得或，所以圓心角的弧度數(shù)是或.故選：C20．D【分析】根據(jù)扇形面積和弧長公式即可求解.【詳解】圓心角，扇形面積，即，得半徑，所以弧長，故扇形的周長.故選：D21．D【分析】由題意可得，求出內側圓弧所在圓的半徑，利用扇形的弧長公式和面積公式求出弓形的面積，再求出以為直徑的半圓的面積，相減即可【詳解】設的外接圓的半徑為，則，得，因為月牙內弧所對的圓心角為，所以內弧的弧長，所以弓形的面積為，以為直徑的半圓的面積為，所以該月牙泉的面積為，故選：D22．C【分析】將表示為（）的形式，由此確定正確答案.【詳解】，所以是第三象限角.故選：C23．D【分析】寫出與角終邊相同的角的集合，取值得答案.【詳解】解：與角終邊相同的角的集合為，取時，.故選：D24．A【分析】先確定圓的半徑，再利用弧長公式，即可得到結論.【詳解】解：設半徑為，所以．所以，所以弧長．故選：A．25．A【分析】利用反例可判斷②③的正誤，根據(jù)1弧度的定義可判斷④的正誤，根據(jù)范圍可判斷①的正誤.【詳解】對于①，因為，故為第四象限角，對于②③，，故為第二象限角，但且為第一象限角，故②③錯誤，對于④，因為1弧度的圓心角所對的弧長為半徑，此時對應的弦長小于半徑，故④錯誤，故選：A.26．D【分析】根據(jù)弧長公式由條件求出扇形的圓心角和半徑，再由面積公式求出扇面面積.【詳解】如圖，設，，由題圖及弧長公式可得解得設扇形COD、扇形AOB的面積分別為，，則該玉雕壁畫的扇面面積．故選：D.27．B【分析】根據(jù)弧長公式可求得，同理可求得其他弧的長度.【詳解】扇形ABD的半徑為1，圓心角為，所以的長，同理可得之后的各段弧長分別為，，，，，所以“螺旋蚊香”圖案的總長度.故選：B．28．D【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案.【詳解】因為是第三象限角，所以，，所以，，則是第二或第四象限角，又，即，所以是第四象限角.故選：D．29．(1)(2)【分析】根據(jù)實線表示的邊界可取，虛線表示的邊界不可取，且按逆時針方向旋轉時角度變大分析即可.（1）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.（2）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.30．(1)(2)取得最大值25，此時【分析】（1）根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式，再結合扇形的周長公式即可求解；（2）根據(jù)扇形的周長公式及扇形的面積公式，再結合二次函數(shù)的性質即可求解.（1）由題意得，解得(舍去)，．所以扇形圓心角．（2）由已知得，．所以，所以當時，取得最大值25，,解得.當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.31．C【分析】只有當角的終邊與在直線上時，與函數(shù)的圖象無交點，其余情況一直有交點，結合選項可得答案．【詳解】當角的終邊與直線重合時，角的終邊與函數(shù)的圖象無交點.又因為角的終邊為射線，所以，.故選：C32．B【分析】令即可判斷出正確選項.【詳解】令，得，則B選項中的陰影部分區(qū)域符合題意.故選：B．33．B【分析】根據(jù)扇形的中心角公式計算．【詳解】設扇形的弧長為l，則，則故選：B．34．B【分析】根據(jù)題意求出與的值，代入弧長公式和求出和即可.【詳解】因為，所以，因為是的中點，在上，，所以延長可得在上，，所以，，所以.故選：B35．AD【分析】設出扇形所在圓的半徑及其弧長，再由條件列出方程求解即可作答.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則解得或，又圓心角，所以或，故選：AD.36．AB【分析】根據(jù)終邊相同的角的數(shù)量關系判斷即可.【詳解】終邊相同的兩個角的差是的整數(shù)倍．對于A，因為，所以與的終邊相同；A正確；對于B，因為，所以與的終邊相同；B正確；對于C，因為，所以與的終邊不相同；C錯誤；對于D，因為，所以與的終邊不相同．D錯誤；故選：AB．37．AC【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯誤.【詳解】對于A，與所在扇形的圓心角分別為，，，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.38．AB【分析】由與關于軸對稱，即可判斷AD；由已知可得，，再根據(jù)不等式的性質可判斷B；由是第一象限角判斷C．【詳解】解：因為與關于軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A正確，D錯誤；因為是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B正確；因為是第二象限角，所以是第一象限角，故C錯誤．故選：AB．39．ACD【分析】理解題意，根據(jù)扇形的面積公式化簡，對選項依次判斷【詳解】設天壇的圓形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故A正確，B錯誤．故選