3.3 冪函數(shù)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第一冊）

高一數(shù)學(xué)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊)3．3冪函數(shù)【考點梳理】知識點一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識點二五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識點三一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．2．當α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【題型歸納】題型一：冪函數(shù)的定義1．（2020·江蘇省平潮高級中學(xué)高一月考）如果冪函數(shù)的圖象不過原點，則實數(shù)m的取值為（）A．1 B．2 C．1或2 D．無解2．（2021·云南省玉溪第一中學(xué)高一月考）已知冪函數(shù)的圖象過點，則該函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．3．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的值是（）A．-1或4 B．4 C．-1 D．1或4題型二：冪函數(shù)的值域問題4．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值域是（）A． B．C． D．5．（2020·湖南衡陽市·高一月考）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A． B． C．4 D．6．（2018·南京市第三高級中學(xué)高一期中）以下函數(shù)，，，中，值域為的函數(shù)共（）個A．1 B．2 C．3 D．4題型三：冪函數(shù)的定點和圖像問題7．（2021·高郵市臨澤中學(xué)高一月考）已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點，則的值等于（）A． B． C．2 D．8．（2020·南寧市銀海三美學(xué)校高一月考）函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．

9．（2019·寧都縣寧師中學(xué)高一月考）已知函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b題型四：冪函數(shù)的單調(diào)性問題（比較大小、解不等式、參數(shù)）10．（2021·江西宜春市·高安中學(xué)高一月考）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．（2020·江蘇省平潮高級中學(xué)高一月考）冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是（）A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或212．（2020·江西鷹潭一中）已知冪函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．題型五：冪函數(shù)的奇偶性問題13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)14．（2021·吳縣中學(xué)）有四個冪函數(shù)：①；②；③；④，某向?qū)W研究了其中的一個函數(shù)，并給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：（1）為偶函數(shù)；（2）的值域為；（3）在上是增函數(shù).如果給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A．① B．② C．③ D．④15．（2020·烏蘇市第一中學(xué)高一月考）已知，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上遞減，則（）A．， B．1，3 C． D．，2【雙基達標】一、單選題16．（2021·鎮(zhèn)遠縣文德民族中學(xué)校高一月考）已知冪函數(shù)，則實數(shù)等于（）A．2 B．1 C．0 D．任意實數(shù)17．（2020·南京市第十三中學(xué)高一月考）函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．18．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0，0)，(1，1)B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C．當冪指數(shù)α取1，3，時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．當α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在其整個定義域上是減函數(shù)19．（2021·全國高一單元測試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（4）的值是（）A．64 B． C． D．20．（2021·全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．21．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）已知冪函數(shù)(m∈N*)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．322．（2021·全國）冪函數(shù)滿足：對任意，當且僅當時，有，則（）.A． B． C． D．23．（2021·全國）下列比較大小中正確的是（）.A． B． C． D．24．（2019·云南昭通市第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．25．（2021·全國）冪函數(shù)，及直線將直角坐標系第一象限分成八個“卦限：（如圖所示），那么，而函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題26．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）A． B． C． D．或27．（2021·浙江）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A． B．C． D．，且28．（2021·全國高一課時練習(xí)）點在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．29．（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中②對應(yīng)的冪函數(shù)是（）A． B． C． D．30．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．31．（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)則“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件32．（2021·浙江高一期末）已知實數(shù)a，b滿足等式，給出下列五個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中，可能成立的關(guān)系式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．5個33．（2021·全國高一單元測試）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題34．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)，描述正確的有（）A．當時函數(shù)在其定義域上是減函數(shù) B．當時函數(shù)圖象是一條直線C．當時函數(shù)是偶函數(shù) D．當時函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)35．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)為（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．區(qū)間上的增函數(shù)D．區(qū)間上的減函數(shù)36．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)，對任意，且，都滿足，若且，則下列結(jié)論可能成立的有（）A．且 B．且C．且 D．以上都可能37．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．的定義域是C．是偶函數(shù) D．不等式的解集是38．（2020·江蘇常州市·常州高級中學(xué)高一期中）若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義城上的任意，，當時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有（）A． B． C． D．三、填空題39．（2021·湖南邵陽市·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則______.40．（2021·雄縣第二高級中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)過定點，且滿足，則的范圍為________．41．（2021·全國高一課時練習(xí)）不等式的解集為______42．（2021·上海上外浦東附中高一期末）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，與軸及軸均無交點，則由的值構(gòu)成的集合是__________．43．（2021·全國高一單元測試）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則______．四、解答題44．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，求的值．45．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）試判斷是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.46．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）求實數(shù)的值．（2）若實數(shù)滿足條件，求的取值范圍．47．（2021·江西省樂平中學(xué)高一開學(xué)考試）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍：（3）若實數(shù)滿足，求的最小值.【答案詳解】1．C【詳解】由冪函數(shù)的定義得m23m+3=1，解得m=1或m=2；當m=1時，m2m2=2，函數(shù)為y=x-2，其圖象不過原點，滿足條件；當m=2時，m2m2=0，函數(shù)為y=x0，其圖象不過原點，滿足條件.綜上所述，m=1或m=2.故選：C.2．D【詳解】設(shè)，依題意，所以.故選：D3．B【詳解】冪函數(shù)在上是增函數(shù)則，解得故選：B4．D【詳解】冪函數(shù)的圖像過點，，解得，，的值域是.故選：D.5．A【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，故選：A.6．C【詳解】函數(shù)，其定義域為，值域為；函數(shù)的定義域為，值域為；函數(shù)，，函數(shù)值域為；函數(shù)，值域為．值域為的函數(shù)共3個．故選：C.7．B【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得：，則；函數(shù)，當時，，故的圖像所經(jīng)過的定點為，所以，即，解得：,故選：B.8．C【詳解】首先由分數(shù)指數(shù)冪運算公式可知，則，，且函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故排除AD，因為，所以在第一象限的增加比較緩慢，故排除B，故選：C9．A試題：由冪函數(shù)圖像特征知，，，，所以選A．10．A【詳解】由題意，構(gòu)造函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可知兩個函數(shù)在單調(diào)遞增；由于；由于；綜上：故選：A11．B【詳解】由于冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在是減函數(shù)，故，且是奇數(shù)，且是整數(shù)，，，當時，，是奇數(shù)，；當時，，不是奇數(shù)；當時，，是奇數(shù)；故或2．故答選：B12．B【詳解】因為冪函數(shù)是增函數(shù)，且定義域為，由得，解得.所以實數(shù)a的取值范圍是故選：B13．D【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域為,是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.14．A【詳解】對于①，函數(shù)為偶函數(shù)，且，該函數(shù)的值域為，函數(shù)在上為減函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，①滿足條件；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，且，該函數(shù)的值域為，函數(shù)在上為減函數(shù)，②不滿足條件；對于③，函數(shù)的定義域為，且，該函數(shù)為奇函數(shù)，當時，；當時，，則函數(shù)的值域為，函數(shù)在上為增函數(shù)，該函數(shù)在上也為增函數(shù)，③不滿足條件；對于④，函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)的值域為，該函數(shù)在上為增函數(shù)，④不滿足條件.故選：A.15．C【詳解】若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上遞減，則且，所以.故選：C16．A【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以m-1=1，則m=2.故選：A.17．A【詳解】由冪函數(shù)可知:是定義域為R的偶函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且當x>1時,函數(shù)值增長的比較快.故選：A18．C【詳解】當冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過原點，故A錯誤；因為所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯誤；當α>0時，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當α＝－1時，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個定義域上不是減函數(shù)，故D錯誤．故選：C.19．D【詳解】冪函數(shù)的圖象過點，，解得，，（4），故選：.20．B【詳解】因為，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.21．B【詳解】因為在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以m－3<0,所以m<3.又因為m∈N*，所以或.又因為是奇函數(shù)，所以m－3是奇數(shù)，所以m＝2.故選：B.22．B【詳解】設(shè)，由已知，函數(shù)的定義域為，∴，又∵對任意，當且僅當時，有，即與一一對應(yīng)，必定不是偶函數(shù)，∴必定為奇函數(shù)，∴答案為，故選：B.23．C【詳解】A選項，在上是遞增函數(shù)，，錯，B選項，在上是遞減函數(shù)，，錯，C選項，在上是遞增函數(shù)，，，，對，D選項，在上是遞增函數(shù)，，，，錯，故選：C．24．C【詳解】的定義域為，且在單調(diào)遞增，所以可化為：，解得：.故a的取值范圍是.故選：C25．B【詳解】對于冪函數(shù)，因為，所以在第一象限單調(diào)遞減，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知：在直線的左側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越大越接近軸，因為，所以的圖象比的圖象更接近軸，所以進過第卦限，在直線的右側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越小越接近軸，因為，所以的圖象位于和之間，所以經(jīng)過卦限，所有函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是，故選：B26．A【詳解】解：冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且，解得或，當時符合題意；當時不符合題意；故選：．27．B【詳解】解：對于A選項，，為偶函數(shù)，故錯誤；對于B選項，，為奇函數(shù)，且函數(shù)均為減函數(shù)，故為減函數(shù)，故正確；對于C選項，指數(shù)函數(shù)沒有奇偶性，故錯誤；對于D選項，函數(shù)為奇函數(shù)，在定義域上沒有單調(diào)性，故錯誤.故選：B28．B【詳解】解：因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，即，，所以，故，，，因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為.故選：B.29．C【詳解】解：由圖知：①表示，②表示，③表示，④表示.故選：C.30．D【詳解】由題意得：，得或當時，圖象關(guān)于y軸對稱，不成立；當時，是奇函數(shù)，成立；所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.故選：D31．C【詳解】由，由的圖像經(jīng)過，則的值為，此時為奇函數(shù).又當為奇函數(shù)時，則的值為，此時的圖象經(jīng)過.所以“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的充要條件故選：C32．C【詳解】在同一坐標系中畫出函數(shù)和的圖像，如圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，在（1）處；在（2）處；在（3）處；在（4）處；在或也滿足，故①②⑤對故選：C.33．D【詳解】由是冪函數(shù)，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.34．CD【詳解】對于A選項，，在和上遞減，不能說在定義域上遞減，故A選項錯誤．對于B選項，，，圖像是：直線并且除掉點，故B選項錯誤．對于C選項，，定義域為，是偶函數(shù)，所以C選項正確．對于D選項，，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，所以D選項正確．故選：CD35．BC【詳解】由為冪函數(shù)，得，即m=2，則該函數(shù)為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故選：BC.36．BC【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，解得：m=2或m=-1.因為任意，且，都滿足，不妨設(shè)，則有，所以為增函數(shù)，所以m=2，此時因為，所以為奇函數(shù).因為且，所以.因為為增函數(shù)，所以，所以.故BC正確.故選：BC37．ACD【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，得，即，，故A正確；函數(shù)的定義域是，故B不正確；，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；函數(shù)在是減函數(shù)，不等式等價于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正確.故選：ACD38．BCD【詳解】對于①對于定義域內(nèi)的任意，恒有，即，所以是奇函數(shù)；對于②對于定義域內(nèi)的任意，，當時，恒有，在定義域內(nèi)是減函數(shù)；對于A：，，，故不是奇函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；對于B：是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”；對于C：