3.3冪函數(shù) 講義（知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

3.3冪函數(shù)一、冪函數(shù)（powerfunction）：函數(shù)（是自變量，是常數(shù)）二、冪函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究時(shí)的圖象與性質(zhì).和共同性質(zhì)：圖像都過(guò)點(diǎn)（1,1）不同性質(zhì)：α為奇數(shù)時(shí)冪函數(shù)為奇函數(shù)；α為偶數(shù)時(shí)冪函數(shù)為偶函數(shù)。

課后練習(xí)（2021·安陽(yáng)模擬）已知冪函數(shù)f(x)=xα滿足2f(2)=f(16)，若a=f(log42)，b=f(ln2)，c=f(A.

a>c>b

B.

a>b>c

C.

b>a>c

D.

b>c>a（2019高一上·盤(pán)山期中）已知函數(shù)f(x)=(m2?A.

3

B.

2

C.

?1D.

?若冪函數(shù)y=mA.

m=?2

B.

C.

m=?2或m=（2017高一上·烏魯木齊期中）冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,?18A.

13

B.

?13C.

3

D.

?3（2020高一上·寶安期末）冪函數(shù)f(x)=xm2?5m+4(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，則m=（2020高一上·江西月考）已知冪函數(shù)y=xa，當(dāng)x=2時(shí)，y=8，那么a的值為（2018高二下·無(wú)錫月考）已知冪函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(12，22)，則f(4)＝（2020高一上·上海月考）冪函數(shù)f(x)=xa的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,12)（2020高一上·晉州月考）已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4（1）求f(x)的解析式；（2）若f(3a?（2019高一上·海林期中）已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2求（1）f(x)解析式；（2）f(3)的值.（2020高一上·清遠(yuǎn)期末）已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,25).（1）求f(x)的解析式；（2）用定義法證明函數(shù)g(x)=f(x)+4x在區(qū)間

練習(xí)答案1.【答案】C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】由2f(2)=f(16)可得2?2α=2∴α=13，即f(x)=x13而由換底公式可得log42=log22∵1<log2e<2，∴l(xiāng)og又∵15<12，∴5?12<log故答案為：C.【分析】根據(jù)題意求出冪函數(shù)f(x)的解析式，判斷f(x)是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，再比較出a、b、c的大小，即可得出結(jié)論.2.【答案】B【考點(diǎn)】偶函數(shù)，冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】由題意，函數(shù)f(x)=(m2?m?解得m=?1或當(dāng)m=?1時(shí)，函數(shù)f(x)=x?1當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f(x)=x2，此時(shí)f(?綜上，可得m=2.故答案為：B.【分析】由函數(shù)f(x)=(m2?m?3.【答案】A【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系，冪函數(shù)的性質(zhì)【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)圖像不過(guò)原點(diǎn)，故

當(dāng)時(shí)，則，顯然過(guò)原點(diǎn)，不符合題意舍去。

當(dāng)，圖像不過(guò)原點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故符合題意，選A.

【分析】解決該試題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用冪函數(shù)的定義，保證x的系數(shù)為1，得到m的值，進(jìn)而分類討論得到參數(shù)m的值。4.【答案】A【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】設(shè)冪函數(shù)y=∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(∴?∴a=∴冪函數(shù)的解析式為y=∵f(x)=27∴x∴x=故答案為：A【分析】根據(jù)冪函數(shù)上的一點(diǎn)可得出f(x)的具體公式，再代入函數(shù)值，就可解出自變量。5.【答案】m=2或3；4【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值，冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域，冪函數(shù)的圖象【解析】∵f(x)區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴m2∵m∈Z?m=2當(dāng)m=2或3時(shí)，都有m2∴f(x)=x?2，∴故答案為：m=2或3;4.【分析】根據(jù)題意由冪函數(shù)的解析式以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求出關(guān)于m的不等式求解出m的取值范圍，由此計(jì)算出m的取值，代入驗(yàn)證由此得到函數(shù)的解析式，再把數(shù)值代入計(jì)算出函數(shù)的值即可。6.【答案】3【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)y=xa，當(dāng)x=2時(shí)，y=8，所以8=2故答案為：3.

【分析】根據(jù)題意把數(shù)值代入冪函數(shù)的解析式計(jì)算出a的值即可。7.【答案】2【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xa∵圖像過(guò)點(diǎn)(1∴(1【分析】采用待定系數(shù)法，設(shè)出冪函數(shù)的表達(dá)式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出冪函數(shù)的表達(dá)式，將x=4代入即可.8.【答案】13【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】?jī)绾瘮?shù)f(x)=xa的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)代入可得1解得a=所以冪函數(shù)解析式為f(x)=則f(3)=故答案為:13

【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)，代入可求得冪函數(shù)解析式，即可求得f(3)9.【答案】（1）解：設(shè)f(x)=xa．因?yàn)閒(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,2故f(x)=x12=x

因?yàn)閒(3a?2)>f(故a的取值范圍為[6【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域，冪函數(shù)的圖象，冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【解析】（1）利用冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,2)結(jié)合代入法，從而求出函數(shù)的解析式。10.【答案】（1）解：設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xn,因?yàn)樵摵瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),所以f(2)=2n=4,解得n=4,則函數(shù)解析式為【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法，函數(shù)的值，冪函數(shù)的圖象【解析】(1)設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xn,由函數(shù)過(guò)定點(diǎn)代入可求得參數(shù)n,進(jìn)而求得函數(shù)解析式;(2)利用(1)中求的函數(shù)解析式,令x=3,即可求得11.【答案】（1）解：設(shè)f(x)=xα，則5α所以f(x)=x2

（2）證明：由（1）可得任取x1,xg(x=(x=(x因?yàn)?<x1<x2，所以x所以g(x1