3.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（1）零點(diǎn)問(wèn)題 -2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

3.4導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)問(wèn)題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.鞏固利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.掌握零點(diǎn)問(wèn)題的基本處理策略.典例分析例1．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，令，則有，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，且當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有，所以的取值范圍是.變式：1．已知函數(shù)．若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】設(shè)，由條件知在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在遞減，在遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．例2．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.變式：1．設(shè)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).例3．已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（2）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：；【答案】（1）在上遞增，，所以由零點(diǎn)存在定理得在上有唯一零點(diǎn)．（2），，令一方面，在遞增，，，另一方面：，所以當(dāng)時(shí)，成立，因此只需證明當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在遞減，，，綜上，.三、課外作業(yè)1．已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】設(shè)，則導(dǎo)數(shù)知，在遞減，在遞增.又，取b滿足b＜0且，則，所以有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ）設(shè)a=0，則，所以只有一個(gè)零點(diǎn).（iii）設(shè)a＜0，若，則由導(dǎo)數(shù)知，在遞增.又當(dāng)時(shí)，＜0，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若，則由導(dǎo)數(shù)知，在遞減，在遞增.又當(dāng)時(shí)＜0，故不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為.2．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)，若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；【答案】原條件有2個(gè)不同解有2個(gè)不同解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，，則在遞減，遞增，，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．已知函數(shù)，．用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】當(dāng)時(shí)，，從而，∴在（1，+∞）無(wú)零點(diǎn).當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（?。┤艋?，則在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn).（ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無(wú)零點(diǎn).②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)；③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).4．已知且，函數(shù)．若曲線與直