廣東省2025屆高三久洵杯七月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2025屆普通高中畢業(yè)生久洵杯七月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知向量，，則“”是“與夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4.記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.15.記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則的最小值為（）A2 B.3 C.4 D.56.記A，B為隨機(jī)事件，已知，，，則（）A. B. C. D.7.已知（，）的部分圖象如圖所示，點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，若是直角三角形，且，則（）A. B. C. D.8.已知面積為的銳角三角形滿足，將以為軸旋轉(zhuǎn)至，且，則三棱錐體積的最大值為（）A. B.1 C. D.2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.已知滿足，，記的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法中不一定正確的是（）A.是等差數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為或C.若，則D.若，則為定值11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，記邊上的高為h，則（）A. B.函數(shù)是減函數(shù)C.點(diǎn)B可能在以為直徑圓上 D.h的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則__________．13.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)函數(shù)__________．a(chǎn)．是偶函數(shù)b．不存在對(duì)稱中心c．存在最小正周期，且最小正周期為214.已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交C的右支于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方），，過(guò)點(diǎn)作直線，交C于點(diǎn)E（點(diǎn)E在第二象限），若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，則C的離心率為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.投擲一枚硬幣n（，）次，正面向上與反面向上的概率均為0.5，記事件A為“n次拋擲中既有正面向上也有反面向上”，B為“n次拋擲中至多一次正面向上”．（1）若，求；（2）證明：事件A，B相互獨(dú)立的充要條件為．16.如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，．（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求的值．17.已知函數(shù)，．（1）求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，討論和的大小關(guān)系．18.記橢圓的左，右頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)分別為，，，，P是E上除左右頂點(diǎn)外一點(diǎn)，記P在E處的切線為l，作直線交l于點(diǎn)，作直線交l于點(diǎn)，記直線與的交點(diǎn)為Q．（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）求；（3）求四邊形面積的最大值．附：橢圓在點(diǎn)處的切線為（P在橢圓上）．19.對(duì)于一個(gè)非零整數(shù)和質(zhì)數(shù)p，我們稱n中含的p冪次為，定義為最大的非負(fù)整數(shù)k，使得存在非零整數(shù)m，有，例如，等等．且補(bǔ)充定義一個(gè)非零有理數(shù)的，如，，且規(guī)定．現(xiàn)在對(duì)于任意一個(gè)有理數(shù)，我們定義其的“p示數(shù)”為，其中，規(guī)定．記兩個(gè)有理數(shù)x，y的“p示數(shù)距離”為．（1）計(jì)算，，；（2）證明對(duì)于一個(gè)正整數(shù)，存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)，……