愛提分中考復(fù)習(xí) 10二輪-全等綜合-第01講 全等綜合（一）(學(xué)生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜全等綜合（一）知識(shí)精講一．全等三角形的判定方法：邊角邊定理：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．角邊角定理：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．邊邊邊定理：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．角角邊定理：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．斜邊、直角邊定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．二．全等三角形的應(yīng)用：1．運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線；2．能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系．而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．三．全等三角形輔助線的作法1．中點(diǎn)類輔助線作法見到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線或者是與中點(diǎn)有關(guān)的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見，常見添加方法如下圖（是底邊的中線)．2．角平分線類輔助線作法有下列三種作輔助線的方式：（1）由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線；（2）過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；（3），這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍．3．截長補(bǔ)短類輔助線作法截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系．有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定2．全等三角形輔助線的作法二．重難點(diǎn)：1．全等三角形的判定2．全等三角形輔助線的作法三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．在使用判定定理證明兩個(gè)三角形全等時(shí)要注意條件的順序必須和判定定理要求的一樣，對應(yīng)頂點(diǎn)要對應(yīng)．2．輔助線只是一個(gè)指導(dǎo)方法，出現(xiàn)相關(guān)條件或結(jié)論時(shí)不一定要作輔助線或者是按照模型作輔助線，關(guān)鍵是如何分析題目；3．輔助線不是隨便都可以作的，比如“作一條線段等于另外一條線段且與某條線段夾角是多少度”這種輔助線就不一定能作出來．全等與三角形綜合例題例題1、如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．（1）將圖1中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)（如圖2），判斷的形狀并說明理由；（2）將圖1中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)（A，B，M三點(diǎn)在同一條直線上），（1）中的結(jié)論是否扔成立？若成立，試證明之；若不成立，請說明理由．例題2、如圖1，在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，直線a于M，直線a于N，連接PM、PN．（1）延長MP交CN于點(diǎn)E（如圖2），=1\*GB3①求證：；=2\*GB3②求證：．（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其他條件不變，此時(shí)還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC平行的位置時(shí)，其他條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)還成立嗎？不必說明理由．例題3、把兩個(gè)全等的和（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖=1\*GB3①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖=2\*GB3②）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系，四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=X，的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使的面積恰好等于面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．例題4、如圖1所示，點(diǎn)E、F在線段AC上，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)；DE，BF分別在線段AC的兩側(cè)，且AE=CF，AB=CD，BD與AC相交于點(diǎn)G．（1）求證：EG=GF；（2）若點(diǎn)E在F的右邊，如圖2時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）若點(diǎn)E、F分別在線段CA的延長線與反向延長線上，其余條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？（要求：在備用圖中畫出圖形，直接判斷，不必說明理由）例題5、等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF，過點(diǎn)B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如圖（1），延長BH到點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)∠EAB=90°，AE=1，F(xiàn)為AB的三等分點(diǎn)，且BF＜AF時(shí)，求BE的長；（2）如圖（2），若F為AB中點(diǎn)，連接FH，求證：BH+FH=CF；（3）如圖（3），在AB上取點(diǎn)K，使AK=BF，連接HK并延長與CF的延長線交于點(diǎn)P，若G為CP的中點(diǎn)，請直接寫出AH、BH、PG所滿足的數(shù)量關(guān)系．例題6、已知：等邊中，點(diǎn)是邊，的垂直平分線的交點(diǎn)，，分別在直線，上，且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，，分別在邊，上時(shí)，請寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，，分別在邊，上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長線上時(shí)，請直接寫出線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．隨練隨練1、如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形、拼在一起（圖1），不動(dòng)，（1）若將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1的CE向上平移，不變，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系．（3）在（2）中，若的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．隨練2、如圖，在中，，，E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)D且，CG平分交BD于點(diǎn)G，（1）求證：CF=BG；（2）延長CG交AB于H，連接AG，過點(diǎn)C作交BE的延長線于點(diǎn)P，求證：；（3）在（2）問的條件下，當(dāng)時(shí)，若，BG=6，求AC的長．隨練3、如圖1，在中，，AB=AC，的平分線BE交AC于E．（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點(diǎn)E作EF//BC交AB于F，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連結(jié)，，求證：；（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在//AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角；若不存在，請說明理由．隨練4、如圖1，在中，AB=BC，P為AB邊上的一點(diǎn)，連接CP，以PA、PC為鄰邊作，AC與PD相交于點(diǎn)E，已知．（1）求證：；（2）是否為矩形？請說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接FP，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到（點(diǎn)M、N分別是的兩邊與BA、FP延長線的交點(diǎn)）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．隨練5、（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為________；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為____________．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．隨練6、(2013中考西城區(qū)一模)在Rt△ABC中，，，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部．（1）如圖1，，，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上，則_______，△PMN周長的最小值為_______；（2）如圖2，若條件不變，而，，，求△ABC的面積；（3）若，，，且，直接寫出的度數(shù)．BBB拓展拓展1、已知，，等腰直角，，BD=DE，點(diǎn)在線段AC上．（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)E在BC上時(shí)，試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2，當(dāng)，點(diǎn)E在BC外時(shí)，連接EC\、BD并延長交于點(diǎn)F，設(shè)ED與BC交于點(diǎn)N，圖中是否存在與BN相等的線段？若存在，請加以證明．若不存在，請說明理由．拓展2、如圖1，在中，是銳角，點(diǎn)D為射線BC上的一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，，=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，=1\*GB3①中的結(jié)論是否依然成立，并說明理由；（2）如果AB=AC，是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．拓展3、如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定，使繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：=1\*GB3①線段DE與AC的位置關(guān)系是；=2\*GB3②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE//ABA交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．拓展4、探究問題1，已知：如圖1，三角形中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若，則k的值為．拓展問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且，過點(diǎn)M分別作，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：．推廣問題3如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤啊保渌麠l件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展5、某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：如圖1，在等腰直角中，AB=AC，，小敏將一塊三角板中含角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分，則AE也平分．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決；小穎的想法：將沿AD所在的直線對折得到，連接EF（如圖2）小亮的想法：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接（如圖3）；請你從中任選一種方法進(jìn)行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)且時(shí)，等量關(guān)系仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當(dāng)時(shí)（如圖4）等量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．拓展6、如圖1，已知中，AB=BC=1，，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．=1\*GB3①證明；=2\*GB3②在這一過程中，直角三角板DEF與的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如