愛提分中考復習 4一輪-圖形的性質-第03講 相似三角形一(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學教師輔導講義[教師版]學員姓名王曉與 年級初一輔導科目初中數(shù)學學科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜相似三角形（一）知識精講一．平行線分線段成比例定理1．定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；2．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例；二．相似三角形的性質對應角相等，對應邊成比例，對應邊上的中線、高線和對應角的平分線成比例，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．三．相似三角形的判定1．平行定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．2．“”：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．3．“”：如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．4．“”：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．5．“”：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．方法點撥：相似模型1．“A”型如圖，，則有．2．“8”字型如圖，，則有．3．共線三等角相似模型如下圖，圖1圖2圖3重點是共線中的“線”上的三個角要保證相等，利用同角的補角相等近一步證明．4．旋轉相似模型共頂點相似的一般三角形模型：如圖，圖中，得到，，，，則有．5．射影定理：（1）定理：直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理模型如圖（1）所示：由圖（1）得，由，可得：由，可得：由，可得：（2）射影定理推廣：若不為直角三角形，當點滿足一定條件時，類似地仍有部分結論成立．如下圖，如上圖，當時，，則有：，即：．6．角平分線類相似模型：常見題模型如下：方法點播：角平分線類相似問題基本就這樣的四種模型，輔助線的做法也如圖中虛線所示，學習這部分知識時，涉及到角平分線和證明相似問題就可以試著做這樣的輔助線，基本都可以解決．7．內接矩形類相似模型：如圖，矩形是的內接矩形，則有三點剖析一．考點：1．相似三角形的性質和判定；2．相似模型．二．重難點：相似三角形的性質和判定；相似模型．相似三角形的性質和判定例題例題1、如圖，在△ABC中，AC=10，AB=8，直線l分別與AB，AC交于M，N兩點，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，則AM+AN的長為（）A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】∵l∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，，∴，∴，∵AC=10，AB=8，∴，∴AM+AN=12，例題2、如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，過點E作EF⊥AE交DC于點F，連接AF．設=k，下列結論：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）當k=1時，△ABE∽△ADF，其中結論正確的是（）A.（1）（2）（3）B.（1）（3）C.（1）（2）D.（2）（3）【答案】C【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF；故（1）正確；（2）∵△ABE∽△ECF，∴，∵E是BC的中點，即BE=EC，∴，在Rt△ABE中，tan∠BAE=，在Rt△AEF中，tan∠EAF=，∴tan∠BAE=tan∠EAF，∴∠BAE=∠EAF，∴AE平分∠BAF；故（2）正確；（3）∵當k=1時，即=1，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∵△ABE∽△ECF，∴，∴CF=CD，∴CF=CD，∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，∴△ABE與△ADF不相似；故（3）錯誤．故選C．例題3、如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且．（1）求證：（2）若，，，求AF的長．AABECDF【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC，AB//CD，∴，，∵∴∴△ADF∽△DEC．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，，又∵，∴，在Rt△ADE中，，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，．例題4、閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在中，點D在線段BC上，，，，，求AC的長．小騰發(fā)現(xiàn)，過點C作，交AD的延長線于點E，通過構造，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：的度數(shù)為_________，AC的長為_________．參考小騰思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，，，，AC與BD交于點E，，，求BC的長．【答案】（1）；3（2）【解析】本題考查的是相似三角形的判定與性質．過點D作DF//AB交AC于點F，∴，∴∵，∴，∴∵∴，∵∴∵∴∴．隨練隨練1、如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積的比為（）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：1【答案】B【解析】∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面積：△ABC的面積=（）2=1：4，∴△ADE的面積：四邊形BCED的面積=1：3；隨練2、如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=【答案】C【解析】∵∠A是公共角，∴當∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應相等的三角形相似）；故A與B正確；當=時，△ADB∽△ABC（兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似）；故D正確；當=時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯誤．故選C．相似模型例題例題1、如圖，等邊△ABC的邊長為4，M為BC上一動點（M不與B、C重合），若EB=1，∠EMF=60°，點E在AB邊上，點F在AC邊上．設BM=x，CF=y，則當點M從點B運動到點C時，y關于x的函數(shù)圖象是____A.A選項B.B選項C.C選項D.D選項【答案】B【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BEM+∠BME=∠FMC+∠MFC=120°，∵∠EMF=60°，∴∠EMB+∠FMC=120°，∴∠BEM=∠CMF，∴△BEM∽△CMF，∴=設BM=x，CF=y，∴CM=4-x，∴=，整理得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，故選B．例題2、如圖在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上．若cm，cm，（1），求矩形PQMN的周長；（2）當PN為多少時矩形PQMN的面積最大，最大值為多少？【答案】（1）矩形PQMN的周長為14.4cm；（2）當時，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12．【解析】（1）由題意得；，∴又∵，cm，cm，∴，∴，則，∴矩形PQMN的周長為14.4cm；（2）∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，，，∴△PAN∽△ABC，∵AD是高，∴，∴四邊形PQDE是矩形，，∴，，設，矩形PQMN的面積為S，則，，∴，，∴∴當時，S的最大值為12．∴當時，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12．例題3、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點O為AB中點，一個足夠大的三角板的直角頂點與點O重合，一邊OE經過點C，另一邊OD與AC交于點M．（1）如圖1，當∠A=30°時，求證：MC2=AM2+BC2；（2）如圖2，當∠A≠30°時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你認為正確的結論，并說明理由；（3）將三角形ODE繞點O旋轉，若直線OD與直線AC相交于點M，直線OE與直線BC相交于點N，連接MN，則MN2=AM2+BN2成立嗎？答：____（填“成立”或“不成立”）．【答案】（1）見解析（2）成立（3）成立【解析】（1）證明：如圖1，過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵O為AB中點，∴OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）解：還成立，理由是：如圖2，過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（3）成立．例題4、已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）y=-t2+t+48（3）【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴=．即=，∴DF=t．∵四邊形APFD是平行四邊形，∴AP=DF．即10-t=t，解這個方程，得t=．∴當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，∵S菱形ABCD=AB?CG=AC?BD，即10?CG=×12×16，∴CG=．∴S梯形APFD=（AP+DF）?CG=（10-t+t）?=t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF?QD=×t×t=t2．∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．（3）如圖，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，若S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，則-t2+t+48=×96，即5t2-8t-48=0，解這個方程，得t1=4，t2=-（舍去）過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，當t=4時，∵△PBN∽△ABO，∴==，即==．∴PN=，BN=．∴EM=EQ-MQ=3-=．PM=BD-BN-DQ=16--4=．在Rt△PME中，PE===（cm）．例題5、在△ABC中，，在△AED中，，點D、E分別在CA、AB上．（1）如圖①，若，則CD與BE的數(shù)量關系是________；（2）若，將△AED繞點A旋轉至如圖②所示的位置，則CD與BE的數(shù)量關系是_______；（3）若，將△AED繞點A旋轉至如圖③所示的位置，探究線段CD與BE的數(shù)量關系，并加以證明(用含α的式子表示)．【答案】（1）（2）（3）【解析】該題考查的是相似三角形綜合題．（1）由已知，△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，所以有，，從而有,即；……1分（2）分別過點C、D作于點M，于點N，∵，，，∴，，，．∴．在Rt△ACM和Rt△ADN中，，∴．∴．又∵，∴△BAE∽△CAD．∴．∴；………………3分（3）．…………4分如圖，分別過點C、D作于點M，于點N，∵，，∴，，，．∴．………5分Rt△ACM和Rt△ADN中,，．∴．∴．………6分又∵，∴△BAE∽△CAD．∴∴．………7分隨練隨練1、如圖，矩形中，，，點是邊上的一個動點（點不與點，重合），現(xiàn)將沿直線折疊，使點落下點處；作的平分線交于點．設，，那么關于的函數(shù)圖象大致應為（）A.A選項B.B選項C.C選項D.D選項【答案】C【解析】由翻折的性質得，，平分，，，，又，，，即，隨練2、如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2=AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）=【解析】此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=AB?AD；（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴=，∴=．拓展拓展1、將一副三角板按如圖疊放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一個角為30°的直角三角形，則△AOB與△DCO的面積之比等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設BC=a，則AB=BC=a，CD=a∴AB：CD=1：∵AB∥CD∴△AOB∽△COD∴AB：CD=1：∴△AOB與△DCO的面積之比為1：3故選C．拓展2、如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C【解析】設AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，當△PDA∽△CPB時，，即，解得：x=1或x=6，當△PDA∽△PCB時，，即，解得：x=，則這樣的點P共有3個，拓展3、如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則△FCB′與△B′DG的面積之比為____A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D【解析】設BF=x，則CF=3-x，B'F=x，又點B′為CD的中點，∴B′C=1，在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3-x）2，解得：x=，即可得CF=3-=，∵∠DB′G+∠