4.2 指數函數（精講）（原卷版）-人教版高中數學精講精練必修一

4.2指數函數（精講）一．指數函數的概念1.定義：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.2.具有三個特征：(1)底數a為大于0且不等于1的常數；(2)指數位置是自變量x；(3)ax的系數是1.二．指數函數的圖象和性質a＞10＜a＜1圖象性質定義域R值域(0，＋∞)過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數值的變化當x＞0時，y＞1當x＞0時，0＜y＜1當x＜0時，0＜y＜1當x＜0時，y＞1單調性在R上是增函數在R上是減函數對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關于y軸對稱三．底數與指數函數圖象的關系1.由指數函數y＝ax的圖象與直線x＝1相交于點(1，a)可知在y軸右側，圖象從下到上相應的底數由小變大．2.由指數函數y＝ax的圖象與直線x＝－1相交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))可知，在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小．如圖所示，指數函數底數的大小關系為0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．單調性的應用3.解指數型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解.4.與指數函數復合的函數單調性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數的性質有：(1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有相同的定義域.(2)當a>1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調性；當0<a<1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相反的單調性.一．函數圖象1.抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0，1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點.2.巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移).3.利用函數的性質：奇偶性與單調性.4.在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，即“底數大圖象高”；在y軸左側，圖象從上到下相應的底數由小變大，即“底數大圖象低”.二.y＝af(x)型函數的定義域、值域的求法(1)形如y＝af(x)的函數的定義域就是f(x)的定義域.(2)形如y＝af(x)的函數的值域，先求出u＝f(x)的值域，再結合y＝au的單調性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范圍不確定，則需對a進行分類討論.2.y＝f(ax)型函數的定義域、值域的求法三．比較指數冪大小的常用方法1.底數相同，指數不同：利用指數函數的單調性來判斷2.底數不同，指數相同：利用底數不同的指數函數的圖象的變化規(guī)律來判斷或者按冪函數性質判斷3.底數不同，指數不同：通過中間量來比較考點一指數函數的概念【例1-1】（2023秋·高一課時練習）下列函數：①；②；③；④．其中為指數函數的個數是（

）A． B．C． D．【例1-2】（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谀┤艉瘮凳侵笖岛瘮?，則等于（

）A．或 B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高一課堂例題）下列函數為指數函數的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一課時練習）（多選）下列函數是指數函數的是（

）A．B．C．D．（且）3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）下列函數中，是指數函數的是（

）A． B．C． D．考點二指數函數的解析式與函數值【例2】（2023春·新疆）指數函數且圖像經過點，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【一隅三反】1．（2023·全國·高一專題練習）函數，且的圖象經過點，則（

）A． B． C． D．92．（2023秋·高一課時練習）若指數函數的圖象經過點，則．3．（2023春·貴州黔東南·高一?？计谀┮阎笖岛瘮档膱D像經過點，則．考點三定義域與值域【例3-1】（2023秋·高一課前預習）求下列函數的定義域：（1）；（2）.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函數的值域；(1)；(2)；(3).【例3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）函數的定義域是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高一課時練習）函數的定義域為.3．（2023秋·高一課時練習）函數的值域是．4．（2023秋·高一單元測試）函數的值域為．5．（2023·上海）已知，則的值域是；6．（2023黑龍江）已知函數的值域為R，則a的取值范圍是考點四指數函數的圖像【例4-1】（2022春·北京）已知對不同的值，函數的圖象恒過定點，則點的坐標是.【例4-2】（2023秋·高一單元測試）函數的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）函數（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023·西藏林芝）的圖像大致是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）（多選）對于函數且），，在同一直角坐標系下的圖象可能為（）A．

B．

C．

D．

4．（2023秋·寧夏石嘴山）函數，無論取何值，函數圖像恒過一個定點，則定點坐標為.5．（2023·全國·高一課堂例題）利用函數的圖象，作出下列各函數的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．考點五指數函數型的單調性及應用【例5-1】（2023秋·高一課時練習）函數的單調遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【例5-2】（2023春·山東菏澤）設函數在區(qū)間單調遞增，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例5-3】（1）（2023·全國·高一專題練習）已知，，，則（

）.A． B． C． D．（2）（2022秋·浙江寧波·高一校聯考期中）下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【例5-4】（2023·廣東）已知函數，則不等式的解集為．【一隅三反】1．（2023秋·廣東湛江）已知函數，則的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2023春·寧夏石嘴山）設函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·青海海東·高一?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．5（2023·河北）已知函數，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．考點六指數函數性質的綜合運用【例6-1】（2023春·河北石家莊·高一校考期末）已知函數為奇函數．(1)求實數的值；(2)求不等式的解集．【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學?？计谀┮阎瘮灯婧瘮担?1)求a的值；(2)判斷在上的單調性并用定義證明；(3)設，求在上的最小值．【一隅三反】1．（