七年級角-含課后作業(yè)與答案

角

【學習目標】

1.掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進行角度的互換；

2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；

3.掌握角的和、差、倍、分關系，并會進行有關計算；

4.掌握互為余角和互為補角的概念及性質，會用余角、補角及性質進行有關計算；

5.了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題.

【要點梳理】

【要點梳理】

【高清課堂：角397364角的概念：】

知識點一、角的概念

1.角的定義：

(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩

條射線是角的兩條邊.如圖1所示，

(2)定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角

的內部.如圖2所示，射線0A繞它的端點0旋轉到0B的位置時，形成的圖形叫做角，起始

位置0A是角的始邊，終止位置0B是角的終邊.

要點詮釋：

(1)兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關.

(2)平角與周角：如圖1所示射線0A繞點0旋轉，當終止位置0B和起始位置0A成一條直

線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉，0B和0A重合時，所形成的角叫做周角.

BoAA{B}

平角周角

圖1圖2

2.角的表示法：角的幾何符號用“N”表示，角的表示法通常有以下四種:

用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或

小寫希臘字母.

3.角的畫法

(1)用三角板可以畫出30°、45°、60。、90°等特殊角；

(2)用量角器可以畫出任意給定度數的角；

(3)利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角.

知識點二、角的比較與運算

1.角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°

的」-為1分，記作”，1'的」-為1秒，記作“1"這種以度、分、秒為單位的角

6060

的度量制，叫做角度制.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',P=60".

要點詮釋：

在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除

的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得

數大于等于60時要向高一位進位.

2,角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1：度量比較法.先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較NA0B和NA'O'B'的大?。喝缦聢D，由圖(1)可得NAOBVNA'O'B'；由

圖⑵可得NA0B=NA'O'B'；由圖⑶可得NA0B>NA'O'B'.

(1)⑵(3)

3.角的和、差關系

如圖所示，NAOB是N1與N2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；NI是NAOB與N2的差,

要點詮釋：

（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中（角的頂點與量角器的中心對齊）；②重合（一邊

與刻度尺上的零度線重合）；③讀數（讀出另一邊所在線的度數）.

（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫

出15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的角.

4.角平分線

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖

所示，0C是NA0B的角平分線，ZA0B=2ZA0C=2ZB0C,

ZA0C=ZB0C=-ZAOB.

要點詮釋：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣.

知識點三、余角和補角

1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個

角是另一個角的余角.

類似地，如果兩個角的和等于180。（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是

另一個角的補角.

2.性質：（1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的補角相等.

要點詮釋：

（1）互余互補指的是兩個角的數量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們

的位置無關.

（2）一般地，銳角a的余角可以表示為（90°-a）,一個角a的補角可以表示為（180°-

a）.顯然一個銳角的補角比它的余角大90。.

知識點四、方位角

在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏

東60。；射線0B的方向是南偏匹30°.這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方

向的角，就叫做方位角.

要點詮釋：

（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；

（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60?！币话悴徽f成“東偏北30。”；

（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，

確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；

（4）圖中的點0是觀測點，所有方向線（射線）都必須以0為端點.

知識點五、鐘表上有關夾角問題

鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6。，

時針每小時轉30°,時針1分鐘轉0.5°,利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計

算問題.

【典型例題】

類型一、角的比較與運算

C1.利用一副三角板上的角，能畫出多少個小于180°的角，試一一畫出來.

【思路點撥】首先發(fā)現一副三角板上有30。，45。，60。,90。這樣4個不相等的角，利

用這些角進行一次和差，可得小于180°的所有角.

【答案與解析】

解：除了可以畫30°,45°,60°,90°外，還可畫15°,75°,105°,120°,135°,

150°,165°的七個度數的角，畫法如圖所示.

⑸⑹

【總結升華】利用一副三角板共可以畫出11個度數的角，分別是：30。，45°,60°,90°,

15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°.

^^2.計算下列各題:

(1)152°49'12"+20.18°；(2)82°-36°42'15”；

(3)35°36'47〃X9；(4)41°37'4-3.

【答案與解析】

解：(1)解法一：V20.18°=20°10'48"

152°49'1Z，

.+20°10'笆

**172°59'60〃

即：152°49,12〃+20.18°=173°.

解法二：V152。49T2"=152.82°,

:.152.820+20.18°=173°.

即：152°49'12”+20.18°=173°.

(2)將82°化為81。59,60〃，則

81°59,60〃

,一36°42勺5〃

??45°17'45〃

???82°-36°42'15〃=45°17'45".

35°36,4//

O,X9

423"=7'3〃，324'+7'=5°31',

:.35°36,47〃X9=320°31'3〃.

⑷,13°52z2(yz

3)41037,

J_

11

/__二?(將余數2°化為120')

157'

150

7

_____叱(將余數V化為6十)

6(f

____6_

0-

:.41°37'4-3=13°52'20〃.

【總結升華】在角度的和、差運算中應先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進行計算;

在進行乘法運算時，往往先把度、分、秒分別乘以倍數，將結果滿60〃進「，滿60'進1。；

對于除法運算則是從度開始除，招余數化為分和以前的分數相加再除，將余數再化成秒和以

前的秒數相加再除，若除不盡往往四舍五入.

舉一反三：

【變式】計算：

(1)23°45'36”+66°14'24"；(2)180°-98°24'30〃；

(3)15°50,42〃X3；(4)88°14'48”4-4.

【答案】(1)23°45'36〃+66°14'24"=90°；

(2)180°-98°24'30"=81°35'30〃；

(3)15°50'42"X3=47°32'6"；

(4)88°14'48"4-4=2203'42".

C3.(2016春?龍口市期中)如圖，NA0B=90°,ZA0C=30°,且0M平分NBOC,ON平

分NAOC,

(1)求NM0N的度數；

(2)若NA0B=a其他條件不變，求NM0N的度數；

（3）若NAOC=B（B為銳角）其他條件不變，求NMON的度數;

（4）從上面結果中看出有什么規(guī)律？

【思路點撥】（1）要求NMON,即求/COM-NCON,再根據角平分線的概念分別進行計算即

可求得；（2）和（3）均根據（1）的計算方法進行推導即可.（4）根據（2）和（3）中的結

論進行總結.

【答案與解析】

解：⑴VZA0B=90°,ZA0C=30",

.\ZB0C=120°

??,0M平分NBOC,ON平分NAK

???NC0M=60°，ZC0N=15°

zTMON=ZCOM-ZC0N=45°.

（2）VZA0B=a,ZA0C=30°,

JZB0C=a+30°

??,0M平分NBOC,ON平分NADC

AZC0M=A+15O,ZC0N=15°

2

???ZM0N=ZC0M-ZC0N=A.

2

（3）VZA0B=90°,NAOC=B,

AZB0C=90°+B

??,0M平分NBOC,ON平分NADC

/.ZC0M=45°+巨，ZC0N=A.

22

:.ZM0N=ZC0M-ZC0N=45°.

<4）從上面的結果中，發(fā)現；

NMON的大小只和NA0B得大小有關，與NA0C的大小無關.

【總結升華】能夠結合圖形表示隹之間的和差關系，根據角平分線的概念運用幾何式子表示

角之間的倍分關系.

舉一反三：

【變式】如圖，/AOB的平分線OM,ON為NM0A內的一條射線，0G為NAOB外的一條射線。

某同學經過認真分析，得到一個關系式是NMON=L（ZB0N-ZA0N）,你認為這個同學得到

2

的關系式正確嗎？若正確，請把得到這個結論的過程寫出來。

【答案】

解：正確，理由如下：

VZAOB的平分線0M,

:.ZAOM=ZMOB

又???ZMON=ZAOM-ZAON=ZMOB-ZAON=(ZBON-ZMON)一ZAON

即有NMON=NBON-NMON-ZAON

J2ZM0N=ZB0N-ZA0N

/.ZMON=-(ZBON-ZAON)

2

類型二、余角與補角

Ch.已知點0是直線AB上的一點，ZC0E=90°,OF是/AOE的平分線.

(1)當點C、E、F在直線AB的同側(如圖①所示)時.試說明NB0E=2NC0F；

(2)當點C與點E、F在直線AB的兩旁(如圖②所示)時(1)中的結論是否仍然成立?請給

出你的結論并說明理由；

(3)將如圖②中的射線OF繞點0順時針旋轉m°(0<m<180)，得到射線0D,設NAOC

【思路點撥】由于本題中涉及角的數量關系，故可以選擇代數的方法來說明理由.

【答案與解析】

解：(1)如圖①，設NC0F=a,則NE0F=90°-a

因為OF是NAOE的平分線

所以NA0F=90°-a

所以NA0C=(90°-a)-a=90°-2a

ZB0E=180°-ZCOE-ZAOC

=180°-90°-(90°-2a)=2a

即NB0E=2NC0F

(2)成立.如圖2

90°

設NAOC=B,則/40產二

2

所以/。0”=/40。+/4。產=450+2=2(90°+/)

ZB0E=180°-ZA0E=180°-(90°-6)=90°十B

所以NB0E=2NC0F

(3)因為ND0E=1800-ZA0E-ZB0D

2

=180o-(90-?)°-(60-1n)°

=(30+|n)°.

故Z.DOE的度數是(30+*n)°.

3

【總結升華】根據角平分線，互余及互補的定義，進行有關角的計算.有一定的綜合性和代

表性，主要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.

【高清課堂：角397364角的有關計算例4】

舉一反三：

【變式1］如圖，已知0是直線AC上一點，OD平分ZAOB,OE在ZB0C內,且NB0E=-NE0C,

2

ZD0E=70°,求NE0C的度數.

A0C

【答案】

解：設NEOC=x°,則NBOE=L/EOC=1X°,根據題意可得:

22

----￡----+-x=70.

2-2

解得：x=80.

,ZE0C=2ZB0E=80°.

【變式2】(2015?百色)一個角的余角是這個角的補角的工，則這個角的度數是()

3

A.30°B.45°C.60°C.70°

【答案】B.

解：設這個角的度數為x,則它的余角為90°-x,補角為180。-x,

依題意得：90°-x=l(180°-x),

3

解得x=45°.

類型三、方位角

▼5.（2015?浦東新區(qū)三模）已知小島A位于基地0的東南方向，貨船B位于基地。的

北偏東50c方向，那么/AOB的度數等于.

【答案】85°.

【解析】

解：如圖：VZ2=50°,

AZ3=40°,

VZ1=45°,

AZA0B=Zl+Z3=45°+40°=85°,

故答案為:85°.

【總結升華】本題主要考查了方位角的概念，根據方位角的概念，畫圖正確表示出A,B的

方位，注意東南方向是45度是解答此題的關鍵.

類型四、鐘表上有關夾角問題

e6.在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線？

【答案與解析】

解：設7時x分鐘，時針與分針成一條直線，由題意得：

6x--x=30,x=5—.

211

答：7時5巳分鐘時針與分針成一條直線.

11

【總結升華】時鐘上的分針與時針繞著中心順時針均勻轉動，在不同時刻，兩針之間形成一

定的角度.如果把單位時間分針和時針轉過的度數當作它們的速度則：

①分針的速度為理=6。/分；②時針的速度為4=0.5。/分.

6060分

故分針速度是時針速度的12倍.

舉一反三：

【變式】某人下午6點多外出購物，表上的時針和分針的夾角恰為110°,下午近7點回家

時，發(fā)現表上的時針和分針的夾角又是110°,試算出此人外出用了多長時間？

【答案】

解法一：設此人外出用了x分鐘，則分針轉了6x度，時針轉了0.5x度.根據題意得：

6x-0.5x=110X2,解之得x=40.

答：此人外出購物用了40分鐘的時間.

解法二：設時針從某人外出到回家走了x°,則分針走了（110+1104X）°,則：

110+x+110=12x,

解得x=20.

又???時針每分鐘轉0.5°,

，此人外出用的時間為：204-0.5=40（分鐘）.

答：此人外出購物用了40分鐘的時間.

【鞏固練習】

一、選擇題

1.關于平角、周角的說法正確的是（）.

A.平角是一條直線.B.周角是一條射線

C.反向延長射線OA,就成一個平角.D.兩個銳角的和不一定小于平角

2.在時刻2：15時，時鐘上的時針與分針間的夾角是（）

A.22.5°B.85°C.75°D.60°

3.如圖所示，將一幅三角板疊在一起，使直角的頂點重合于點0,則NA0B+ND0C的值（）

A.小于180°B.等于130°C.大于180°D.不能確定

4.（2016?朝陽區(qū)校級模擬）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°50zB.37°12’36"=37.48°

C.24°24'24"=24.44°D.41.25°=41°15'

5.（2015?東莞模擬）一個角的余角比這個角的補角的一半小40°,則這個角為（）度.

A.80°B.70°C,85°D.75°

6.如圖，OB、0C是NA0D的任意兩條射線，0M平分NAOB,0N平分NC0D,若NM0N;a,

NBOC=B,則表示NA0D的式子是（）

A.2a—BB.a—BC.a+BD.以上都不正確

7.書店、學校、食堂在同一個平面上，分別用點A、B、C來表示，書店在學校的北偏西30°,

食堂在學校的南偏東15°,則平面圖上的NABC應該是（）.

A.65°B.35°C.165°D.135°

8.如圖將長方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點F在BC上，不與B、C重合），使得點C

落在長方形內部點E處，若FH平分/BFE,則關于NGFH的度數a說法正確的是（）

A.900<a<180°

B.0°<a<90°

C.u=90c

D.a隨折痕GF位置的變化而變化

二、填空題

9.把一個平角16等分，則每份（用度、分、秒表示）為.

10.如圖所示，NA0C與NB0D都是直角，且NAOB:NA0D=2:11,則NA0B=

11.（2015春?高密市期末）從A沿北偏東60°的方向行駛到B,再從B沿南偏西20°的方

向行駛到C,則/ABC=度.

12.如圖，已知直線AB和CD相交于點0,NCOE是直角，OF平分NAOE.

（1）寫出NA0C與NB0I）的大小關系：,判斷的依據是

于__________

14.如圖，在NAOE的內部從。引出3條射線，那么圖中共有________個角；如果引出

5條射線，有個角；如果引出〃條射線，有個角.

三、解答題

15.（2016春?曹縣校級月考）計算:

（1）18°13'X5.

(2)27°26'+53°48'.

(3)90°-79°18'6".

16.如圖所示，已知NA0C=2NB0C,NA0C的余角比NBOC小30°.

(1)求NA0B的度數.

⑵過點0作射線OD,使得NA0C=4NA0D,

請你求出NC0D的度數

17.如圖，已知NA0B是直角,ZB0C=60°,0E平分NAOC,0F平分NB0C.

(1)求NE0F的度數;

(2)若NA0C=x。，ZE0F=y°.則請用x的代數式來表示y；

(3)如果NA0C+NE0F=156°,則NE0F是多少度？

18.(2014秋?羅平縣校級期末)鐘面上的角的問題.

(1)3點45分，時針與分針的夾角是多少？

(2)在9點與10點之間，什么時候時針與分針成100°的角？

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C

【解析】角與直線、射線、線段是不同的幾何圖形，不能混淆。

2.【答案】A

【解析】6°x15-(i)°x15-30°x2=22.5°

2

3.【答案】B

【解析】ZAOB+ZD0C=(ZA0C+ZB0C)+(90°-ZB0C)=90°+90°=180°

4.【答案】D

【解析】解：A、83.5°=83。50',錯誤；

B、37°12'=37.48°,錯誤；

C、24°24'24”=24.44°,錯誤；

D、41.25°=41°15,，正確.

故選D.

5.【答案】A

【解析】設這個角為x,則它的余角為（90°-x）,補角為（180°-x）,

由題意得，-1（180°-x）-（900-x）=40°,解得x=B0°.

2

6.【答案】A

7.【答案】C

【解析】如圖所示.

8.【答案】C

【解析】ZCOG=ZEFG,ZEFH=ZHFB,2（ZEFG+ZEFH）=180°，所以NEFG+NEFH=90°,

即ZGFH=90°

二、填空題

9.【答案】11。15，

【解析】度、分、秒的換算為“六十進制”，上一級的余數乘以60,變換到下一級再運算.

10.【答案】200

【解析】設NA0B=2x,則NA0D=llx,ZDOC=2x,所以NBOC=7x,所以2x+7x=90°,

x=10°,ZA0B=2x=20°.

11.【答案】40.

解：如圖，A沿北偏東60°的方向行駛到B,則NBAC=900-60°=30°,

B沿南偏西20°的方向行駛到C,則NBC0-90。-200-70。，

XVZABC=ZBC0-ZBAC,

AZABC=700-30°=40°.

12.【答案】相等，同角（或等角）的補角相等；20°

【解析】（2）;NC0E是直角，ZC0F=35°

:.ZE0F=55°

又OF平分/AOE，.,.ZA0E=110o

:.ZA0C=20°

??.NB0D=NA0C=20°.

13.【答案】600

【解析】連接BC,可得：AABC為等邊三角形

14.【答案】10,21,S+D5+2)

2

【解析】在NAOE的內部從。引出3條射線，則圖中共有角的個數：4+3+2+1=10：

如果引出5條射線，則圖中共有角的個數：6+5+4+3+2+1=21；

如果引出〃條射線，則圖中共有角的個數：(〃+1)+,+("1)+...+[=5+1)5+2)。

2

三、解答題

15.【解析】

解：(1)18°13'X5

=90°65'

=91°5-

(2)27°26'+53°48'

=80°74'

=81°14'；

(3)90°-79°18'6"

=89°59'60"-79°18'6〃

=10°41'54〃.

16.【解析】

解：(1)設NB0C=x°則/A0C=2x°.

依題意列方程：90-2x=x-30,

解得：3x=120

x=40.

:.ZA0B=ZA0C-ZB0C=2x°-x°=40°.

(2)由(1)有:ZA0C=2x0=83°,

①當射線0