2024-2025學(xué)年四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一模）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，則(1+i)2+2(1?i)的值為A.4 B.2 C.0 D.4i2.已知集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|?a≤x≤a+1}，則“a=1”是“A?B”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知雙曲線x2a2?y2A.223 B.72 4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，且BD=DA，AE=3EC，點(diǎn)F為DE中點(diǎn)，則BFA.?18BA+38BCB.5.一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量(單位：kg)，將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是(

)A.圖中a的值為0.005

B.這200天中有140天的日銷售量不低于80kg

C.這200天銷售量的中位數(shù)的估計(jì)值為85kg

D.店長(zhǎng)希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要(在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求)，則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為91kg6.函數(shù)f(x)=14cosπx?(ex?A.B.C.D.7.已知正四棱錐P?ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的體積為36π，若正四棱錐P?ABCD的高與底面正方形的邊長(zhǎng)相等，則該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為(

)A.16 B.8 C.4 D.28.已知a，b，c∈(0,4)，且滿足a+12=cos2a2A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)的最小正周期為π，則A.f(x)的最大值為2

B.f(x)在(?π3,π6)上單調(diào)遞增

C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?π6,0)10.已知橢圓E：x24+y23=1的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A.|F1F2|=1

B.|PQ|≤4

C.當(dāng)F2，P，Q不共線時(shí)，△F2PQ的周長(zhǎng)為8

11.已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?x，則下列說法正確的是A.f(x)的極小值一定小于?1

B.函數(shù)y=f(f(x))有6個(gè)互不相同的零點(diǎn)

C.若對(duì)于任意的x∈R，f(x)≥ax?1，則a的值為?1

D.過點(diǎn)(0,?2)有且僅有1條直線與曲線y=f(x)相切三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，則cos2α=______．13.已知數(shù)列{an}滿足a3=5，a2n=2an+1，2an+114.條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念，近年來，條件概率和條件期望已被廣泛的應(yīng)用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件Y=y條件下的期望為E(X|Y=y)=i=1nxi?P(X=xi|Y=y)=i=1nxi?P(X=xi,Y=y)P(T=y)，其中{x1,x2,…,xn}為X的所有可能取值集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”與事件“四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

(1)求角A；

(2)若∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC．

(1)求證；平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AC=5，BC=12，三棱錐P?ABC的體積為100，求二面角A?PB?C的余弦值．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax2+1．

(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

(2)若a<0，證明：f(x)>018.(本小題17分)

甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為23，乙每次投籃命中的概率為12，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投2個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記1分，未投進(jìn)記?1分．

(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率；

(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為X．

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若X>0，則稱該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)n(n≥8)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為Y，當(dāng)n為何值時(shí)，P(Y=8)的值最大？19.(本小題17分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C相交于點(diǎn)A，B，△AOB面積的最小值為12(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Fn(n∈N?)：F1的坐標(biāo)為(p,0)，直線AFn，BFn與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為An，Bn，直線AnBn與x軸的交點(diǎn)為Fn+1，設(shè)點(diǎn)Fn的橫坐標(biāo)為xn．參考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.?313.2n14.2

15.解：(1)因?yàn)閟in2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，

所以a2=b2+c2+bc，則b2+c2?a2=2bccosA=?bc，

所以cosA=?12，

因?yàn)?6.解：(1)證明：由題意得，PA⊥平面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以PA⊥BC，

又因?yàn)锳C⊥BC，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，

又因?yàn)锽C?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC．

(2)因?yàn)锳C=5，BC=12，AC⊥BC，所以S△ABC=12×12×5=30，

又因?yàn)槿忮FP?ABC的體積為100，即100=13×PA×30，得PA=10，

由題意可得以A為原點(diǎn)，分別以平行于BC的直線，AC，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0,0)，B(12,5,0)C(0,5,0)，P(0,0,10)，

所以AP=(0,0,10)，CB=(12,0,0)，PB=(12,5,?10)，

設(shè)平面APB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n?PB=12x+5y?10z=0n?AP=10z=0，令x=?5，得y=12，z=0，則n=(?5,12,0)，

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=(a,b,c)，

則m?PB=12a+5b?10c=0m17.解：(1)由f(x)=xlnx?ax2+1，則f′(x)=lnx+1?2ax，

因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以f′(x)=lnx+1?2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，

所以lnx+1?2ax≤0，即a≥lnx+12x，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+12x(x>0)，所以g′(x)=1x?2x?2(lnx+1)4x2=?2lnx4x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)<0，

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=1時(shí)f(x)取得極大值也是最大值，即g(x)max=g(1)=12，所以a≥12，

所以a的取值范圍為[12,+∞)．

證明：(2)由題意得f(x)=xlnx?ax2+1的定義域?yàn)?0,+∞)，

當(dāng)a<0時(shí)，要證f(x)>0，即證：xlnx?ax2+1>0，等價(jià)于證明lnx?ax+1x>0

構(gòu)造函數(shù)?(x)=lnx?ax+1x(x>0)，即證?(x)min>0；

所以?′(x)=1x?a?1x2=?ax2+x?1x2，令T(x)=?ax2+x?1(x>0)，

因?yàn)楹瘮?shù)T(x)的對(duì)稱軸為x=12a<0，所以T(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

且T(0)=?1<0，T(1)=?a>0，所以存在x0∈(0,1)，使T(x18.解：(1)甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0，即甲在一輪投籃中至多命中一次，

所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率為P=1?(23)2=59；

(2)①由題知X可能取值為?4，?2，0，2，4，

則P(X=?4)=13×13×12x?4?2024P11311數(shù)學(xué)期望E(X)=(?4)×136+(?2)×16+0×1336+2×13+4×19=23；

②由①知P(X>0)=13+19=49，

由題知Y～B(n,49)，

P(Y=k)=Cnk(49)k(1?49)n?k(0≤k≤n,k∈N)，

由P(n=k)≥P(n=k?1)19.解：(1)設(shè)直線AB：x=ty+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程組y2=2pxx=ty+p2得：y2?2pty?p2=0