2023年北京市重點(diǎn)校初三（上）期末數(shù)學(xué)試題匯編：點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京重點(diǎn)校初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離是4，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上情況都有可能2．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，已知正方形，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，點(diǎn)與的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在外 B．點(diǎn)在內(nèi) C．點(diǎn)在上 D．無(wú)法確定3．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過(guò)上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．4．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，的半徑為2，，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．連接，，，，若，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C．6 D．35．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，中，，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，則的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C． D．6．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．87．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，是的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若，則的長(zhǎng)是（）．A．3 B．4 C．5 D．68．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果⊙O是以原點(diǎn)O（0，0）為圓心，以5為半徑的圓，那么點(diǎn)A（﹣3，﹣4）與⊙O的位置關(guān)系是（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能確定二、填空題9．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B、C三點(diǎn)都在上，，過(guò)點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是_________．10．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，上有兩點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，若的半徑為，則弦的弦心距離__________，__________．11．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠B=50°，則∠OCD的度數(shù)等于___________．三、解答題12．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形，其中、、、定義如下：若點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在矩形的邊上，則稱點(diǎn)P為矩形關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)中是矩形關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是___；(2)的圓心半徑為，若上至少存在一個(gè)點(diǎn)是矩形關(guān)于直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求t的取值范圍；(3)的圓心半徑為r，若存在t值使上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形關(guān)于直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，寫出r的取值范圍，并寫出當(dāng)r取最小值時(shí)t的取值范圍(用含m的式子表示)．13．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小美設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：點(diǎn)A在上．求作：的切線．作法：①作射線；②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C和點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)B；④作直線．則直線即為所求作的的切線.根據(jù)小美設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解決下面的問(wèn)題：(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明.證明：連接，．由作圖可知，，．∴．∵點(diǎn)A在上，∴直線是的切線()(填寫推理依據(jù))．14．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：將圖形M繞直線上某一點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再關(guān)于直線對(duì)稱，得到圖形N，我們稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形．已知點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo)________；(2)若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）；(3)已知的半徑為1，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)A重合．若線段，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的取值范圍．15．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：直線是的切線；(2)若°，，求DF的長(zhǎng)．16．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是直角三角形的外接圓，直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，且與相交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)當(dāng)時(shí)，在的圓上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)到直線的距離．17．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知銳角，以為直徑畫，交邊于點(diǎn)M，平分與交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點(diǎn)F，若，，求長(zhǎng)．18．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）已知：點(diǎn)，，在上，且．求作：直線，使其過(guò)點(diǎn)，并與相切．作法：①連接；②分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于外一點(diǎn)；③作直線．直線就是所求作直線．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接，，∵，∴四邊形是菱形，∵點(diǎn)，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．∴四邊形是正方形，∴，即，∵為半徑，∴直線為的切線（_________________）（填推理的依據(jù)）．19．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）已知：如圖，是的切線，為切點(diǎn)．求作：的另一條切線，為切點(diǎn)．作法：以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；作直線．直線即為所求．(1)根據(jù)上面的作法，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面證明過(guò)程．證明：連接，，．∵是的切線，為切點(diǎn)，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點(diǎn)．∵是的半徑，∴是的切線（____________________）（填推理的依據(jù)）．20．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，若線段或的垂直平分線與線段有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)為線段的融合點(diǎn)．(1)已知，，①在點(diǎn)，，中，線段的融合點(diǎn)是______；②若直線上存在線段的融合點(diǎn)，求的取值范圍；(2)已知的半徑為4，，，直線過(guò)點(diǎn)，記線段關(guān)于的對(duì)稱線段為．若對(duì)于實(shí)數(shù)，存在直線，使得上有的融合點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．21．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：和外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P的的切線，PB．22．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)，在上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：直線是的切線；(2)若的半徑為4，求的長(zhǎng)．23．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）下面是小樂(lè)設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：及外一點(diǎn)．求作：直線和直線，使切于點(diǎn)，切于點(diǎn)．作法：如圖，①連接，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)，；②連接，交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)和點(diǎn)；③作直線和直線．所以直線和就是所求作的直線．根據(jù)小樂(lè)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：∵是的直徑，∴________（________）（填推理的依據(jù)）．∴，．∵，是的半徑，∴，是的切線．24．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）下面是“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，和外一點(diǎn)．求作：過(guò)點(diǎn)的的切線．作法：如圖2，①連結(jié)，作線段的中點(diǎn)；②以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)；③作直線和，直線即為所求作的切線．請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并完成下面的證明．證明：連接，如圖2，由作法可知，為的直徑，∴（_____________）（填推理的依據(jù)），∴，∵點(diǎn)在上，∴直線是圓的切線（_____________）（填推理的依據(jù)），同理，直線也是圓的切線．25．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形G和點(diǎn)P給出如下定義；Q為圖形G上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點(diǎn)P為圖形G的“k分點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．(1)①在點(diǎn)A，B，C中，線段的“分點(diǎn)”是______；②點(diǎn)，若點(diǎn)C為線段的“二分點(diǎn)”，求a的值；(2)以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圖，若線段上存在的“二分點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．26．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點(diǎn)，是的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．27．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）按要求作圖：(1)如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過(guò)了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)A，B，利用無(wú)刻度直尺畫出這個(gè)圓的一條直徑；(2)如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點(diǎn)，BAC50，利用無(wú)刻度直尺在圖中畫一個(gè)含有50角的直角三角形；(3)如圖3，利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò)A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；(4)如圖4，AB與圓相切，且切點(diǎn)為點(diǎn)B，利用無(wú)刻度直尺在網(wǎng)格中找出點(diǎn)B的位置．28．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）探究：如圖①，點(diǎn)P在⊙O上，利用直尺（沒(méi)有刻度）和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，小明所在的數(shù)學(xué)小組經(jīng)過(guò)合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．作法一：①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)B；②分別以點(diǎn)B、P為圓心，OP為半徑作弧，交于點(diǎn)C；③作直線PC．作法二：①作直徑PA的四等分點(diǎn)B、C；②以點(diǎn)A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E；④作直線PE．以上作法是否正確？選一個(gè)你認(rèn)為正確的作法予以證明．29．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)B，與AO相交于點(diǎn)D，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接EB交OC于點(diǎn)F．求∠C和∠E的度數(shù)．30．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，AB為的直徑，點(diǎn)E在弦AC的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E作，ED與相切于點(diǎn)D．(1)求證：AD平分．(2)若，，求CE和DE的長(zhǎng)．

參考答案1．A【分析】欲求直線l與圓O的位置關(guān)系，關(guān)鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系．若，則直線與圓相交；若，則直線與圓相切；若，則直線與圓相離．據(jù)此判斷即可．【詳解】∵圓半徑，圓心到直線的距離．∴，∴直線l與的位置關(guān)系是相離．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是可通過(guò)比較圓心到直線距離與圓半徑大小關(guān)系完成判定．2．A【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，用勾股定理求得點(diǎn)到的圓心之間的距離，為的半徑，通過(guò)比較二者的大小，即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，點(diǎn)在外，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定圓的半徑和點(diǎn)到圓心之間的距離的大小關(guān)系．3．B【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出，，，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)等于4，可求得，從而利用勾股定理可求解．【詳解】解：∵，是的切線，切點(diǎn)分別是，，∴，∵、是的切線，切點(diǎn)是D，交，于點(diǎn)，，∴，，∵的周長(zhǎng)為4，即，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，勾股定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】由切線的性質(zhì)可得出，由切線長(zhǎng)定理可得出，從而可判斷為等邊三角形，又易證，即可求出，從而可求出，進(jìn)而可求出，最后由三角形周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，∴，．∵，∴為等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，畫出的內(nèi)切圓，如圖，過(guò)點(diǎn)D作，，，垂足為E，F(xiàn)，H，連接AD，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知垂足E，F(xiàn)，H也是三邊與的切點(diǎn)，，，，，利用勾股定理可得，設(shè)，則，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可求得，設(shè)，根據(jù)，可得，即，問(wèn)題隨之得解．【詳解】根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，畫出的內(nèi)切圓，如圖，過(guò)點(diǎn)D作，，，垂足為E，F(xiàn)，H，連接AD，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知垂足E，F(xiàn)，H也是三邊與的切點(diǎn)，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，，，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理，三角形的外接圓與外心，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)，連接，得四邊形是正方形，由切線長(zhǎng)定理可知，根據(jù)是的切線，可得，，根據(jù)勾股定理可得，再求出內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)、、，連接、、，∴四邊形是正方形，由切線長(zhǎng)定理可知，∵是的切線，∴，∵，，，∴∵是的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切圓的半徑，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．7．B【分析】根據(jù)是的切線，則，再求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵為的切線，∴．∵為的切線，∴．∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AO的長(zhǎng)，然后與⊙O的半徑比較，即可確定點(diǎn)A的位置．【詳解】∵點(diǎn)A（﹣3，﹣4），∴AO==5，∵⊙O是以原點(diǎn)O（0，0）為圓心，以5為半徑的圓，∴點(diǎn)A在⊙O上，故選B．考點(diǎn):點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．9．/20度【分析】連接，則，由圓周角定理得：，進(jìn)而求出的度數(shù)．【詳解】連接∵∴∵過(guò)點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和圓周角定理，解題的關(guān)鍵是連接，運(yùn)用相關(guān)定理求解．10．【分析】過(guò)點(diǎn)O作，垂足為D，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出弦的弦心距離；延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)E，通過(guò)證明求出的長(zhǎng)度，再結(jié)合垂徑定理和勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作，垂足為D，在中，由勾股定理可得：，∵，∴，∵半徑為，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)E．∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理可得：，∴在中，由勾股定理可得：，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意作出輔助線求解．11．20°/20度【分析】連接OA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB=90°，則利用互余可計(jì)算出∠AOB=40°，再利用圓周角定理得到∠ADC=20°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCD的度數(shù)．【詳解】解：連接OA，如圖，∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°，∴∠ADC=∠AOB=20°，∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°．故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．12．(1)，(2)(3)r的取值范圍為或；t的取值范圍為或【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，一次判斷各個(gè)點(diǎn)即可；（2）根據(jù)圖形，先找出只有一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的情況，即可進(jìn)行解答；（3）根據(jù)題意，畫出圖形，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，與點(diǎn)D重合，∴點(diǎn)是矩形關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；∵點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，不在矩形上，∴點(diǎn)不是矩形關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；∵點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，在邊上，∴點(diǎn)是矩形關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；∵點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，不在矩形上，∴點(diǎn)不是矩形關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；故答案為：，；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)O作x軸的平行線交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，∵的圓心半徑為，∴①當(dāng)上只有點(diǎn)N是矩形關(guān)于直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，∴；②當(dāng)上只有點(diǎn)M是矩形關(guān)于直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，∴；綜上：t的取值范圍為；（3）如圖，當(dāng)關(guān)于的對(duì)稱圖形與和相切時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的對(duì)稱圖形與和相切時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的對(duì)稱圖形與相切時(shí)，如下圖:則解得，∴，當(dāng)關(guān)于的對(duì)稱圖形為矩形的外接圓時(shí)，連接，∵，，∴，∴，綜上：r的取值范圍為或；∴r的最小值為1，令當(dāng)與相切時(shí)，，此時(shí)，∴，∵，∴，整理得：當(dāng)與相切時(shí)，，此時(shí)，∴，∵，∴，整理得：，綜上，t的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，會(huì)根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出對(duì)稱軸，以及根據(jù)對(duì)稱軸求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．13．(1)見(jiàn)解析；(2)；；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【分析】（1）依據(jù)題意，按步驟正確尺規(guī)作圖即可；（2）結(jié)合作圖，完成證明過(guò)程即可．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，（2）證明：連接，．由作圖可知，，．∴，∵點(diǎn)A在上，∴直線是的切線(經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故答案為：；；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖能力和切線的證明；能夠按要求規(guī)范作圖是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)(3)，，【分析】（1）根據(jù)二次關(guān)聯(lián)圖形的定義分別找到和，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，可證得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意得：點(diǎn)P位于x軸的下方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作軸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，坐標(biāo)為m，表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)，由A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)A重合可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由線段，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，找到臨界點(diǎn)，可得出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）如圖1，根據(jù)二次關(guān)聯(lián)圖形的定義分別找到和，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，∴由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，∴點(diǎn)，即點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo)為；故答案為：（2）解：根據(jù)題意得：點(diǎn)P位于x軸的下方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作軸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由（1）得：，∴，∴，根據(jù)題意得：點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，（3）解：設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n，由（2）得：，∴，∵在上，∴，解得：（舍去）或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，此時(shí)點(diǎn)是一個(gè)臨界點(diǎn)，連接，如圖，∵，∴是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，則，∴，∴，∴，∴，由對(duì)稱性得：另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義類問(wèn)題，主要考查軸對(duì)稱最值問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓的定義等相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是理解給出新定義，畫出對(duì)應(yīng)的圖形．15．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，證明可得結(jié)論；（2）再中，，，得到，，再在中，由，繼而求得；【詳解】（1）證明：連接．∵是的直徑，平分，∴.又∵，∴．即．∴直線為的切線．（2）解：∵是的直徑，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，設(shè)則，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的判定，特殊角的直角三角形性質(zhì)，等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問(wèn)題．16．(1)見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得出，進(jìn)而得出，證明，得出，即可得證；（2）分點(diǎn)在以及半圓上，分別作出圖形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，是的直徑，，，，又，，，是切線，，，是切線；（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，，，，，直徑，，，當(dāng)點(diǎn)在半圓上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn),，垂足為點(diǎn)，四邊形是矩形，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)可得，根據(jù)角平分線的定義，則，最后根據(jù)，，即可證明；（2）連接，可得，即可求出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，通過(guò)證明，即可根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）如圖：連接，∵為直徑，，∴，∵，平分，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并靈活運(yùn)用．18．(1)見(jiàn)解析；(2)90°；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）按照題中作法步驟作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理和切線的判定定理填空．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示；（2）90°；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判斷和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．(1)見(jiàn)解析(2)，經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）按照作法作出圖形即可；（2）連接，，，證明即可證明是的切線．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）連接，，．∵是的切線，A為切點(diǎn)，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點(diǎn)．∵是的半徑，∴是的切線（經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．故答案為：，經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了尺柜作圖，切線的性質(zhì)和判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．(1)①，；②當(dāng)時(shí)，直線上存在線段的融合點(diǎn)(2)或【分析】（1）①畫出對(duì)應(yīng)線段的垂直平分線，再根據(jù)融合點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；②先確定線段融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)，為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域，則當(dāng)直線與兩圓相切時(shí)是臨界點(diǎn)，據(jù)此求解即可；（2）先推理出的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓和以T為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個(gè)圓上），再求出兩個(gè)圓分別與內(nèi)切，外切時(shí)a的值即可得到答案．【詳解】（1）解：①如圖所示，根據(jù)題意可知，是線段的融合點(diǎn)，故答案為；，；②如圖1所示，設(shè)的垂直平分線與線段的交點(diǎn)為Q，∵點(diǎn)Q在線段的垂直平分線上，∴，∴當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，則點(diǎn)P在以Q為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)Q在上移動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡即線段的融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)，為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域．當(dāng)直線與兩圓相切時(shí)，記為，，如圖2所示．∵，，∴,∴或．∴當(dāng)時(shí)，直線上存在線段的融合點(diǎn)．（2）解：如圖3-1所示，假設(shè)線段位置確定，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，∴點(diǎn)在以T為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以T為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓和以T為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個(gè)圓上）；當(dāng)時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)以T為圓心，為半徑的圓與外切時(shí)，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）；如圖3-3所示，當(dāng)以為圓心，為半徑的圓與內(nèi)切時(shí)，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）；∴時(shí)，存在直線，使得上有的融合點(diǎn)；同理當(dāng)時(shí)，當(dāng)以T為圓心，為半徑的圓與外切時(shí)，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；當(dāng)以為圓心，為半徑的圓與內(nèi)切時(shí)，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；∴時(shí)，存在直線，使得上有的融合點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)或時(shí)存在直線，使得上有的融合點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，圓與圓的位置關(guān)系等等，正確推理出對(duì)應(yīng)線段的融合點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．21．見(jiàn)解析【分析】根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；【詳解】作圖如圖，直線、即為所作的的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．22．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)，可得，即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得出四邊形是矩形，進(jìn)而得出，根據(jù)（1）可得，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵∴是等邊三角形，∴∴∴，∵∴，∴是的切線；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，矩形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．(1)見(jiàn)解析(2)，直徑所對(duì)的圓周角為直角【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形即可；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出，再根據(jù)垂線的定義，得出，，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖：（2）證明：∵是的直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角為直角）．∴，．∵，是的半徑，∴，是的切線．故答案為：，直徑所對(duì)的圓周角為直角【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理，解本題的關(guān)鍵在理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．24．見(jiàn)詳解，直徑所對(duì)的圓周角為直角，經(jīng)過(guò)圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】根據(jù)題干步驟補(bǔ)全作圖即可；根據(jù)圓周角定理的推論和切線的判定定理即可填空．【詳解】解：補(bǔ)畫圖形如下，證明：連接，如圖2，由作法可知，為的直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角為直角），∴，∵點(diǎn)在上，∴直線是圓的切線（經(jīng)過(guò)圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），同理，直線也是圓的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖—過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線、圓周角定理的推論和切線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握基本作圖方法和熟記直徑所對(duì)的圓周角為直角是解題關(guān)鍵．25．(1)①點(diǎn)B，②(2)或【分析】（1）①分別找出點(diǎn)A、B、C到線段的最小值和最大值，是否滿足“分點(diǎn)”定義即可，②對(duì)a的取值分情況討論：，，和，根據(jù)“二分點(diǎn)”的定義可求解，（2）設(shè)線段上存在的“二分點(diǎn)”為．對(duì)r的取值分情況討論，且，且，，根據(jù)二分點(diǎn)的定義可求解．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)A在上，故最小值為0，不符合題意，點(diǎn)B到的最小值為，最大值為，∴點(diǎn)B是線段的“分點(diǎn)”，點(diǎn)C到的最小值為1，最大值為∴點(diǎn)C不是線段的“分點(diǎn)”，故答案為：點(diǎn)B；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到的最小值為，點(diǎn)C到的最大值為，∵點(diǎn)C為線段的“二分點(diǎn)”，∴，即，∵，故無(wú)解，舍去；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到的最小值為1，點(diǎn)C到的最大值為，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到的最小值為1，點(diǎn)C到的最大值為，∵點(diǎn)C為線段的“二分點(diǎn)”，∴，（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到的最小值為，點(diǎn)C到的最大值為，∵點(diǎn)C為線段的“二分點(diǎn)”，同時(shí)，無(wú)解，舍去；綜上．（2）如圖所示，設(shè)線段上存在的“二分點(diǎn)”為，當(dāng)時(shí)，最小值為：，最大值為：，∴，即，∵，∴，當(dāng)且時(shí)，最小值為：，最大值為，∴，即，∵，∴，∵，∴r不存在，當(dāng)且時(shí)，最小值為：，最大值為：，∴，即，∵，∵，∴r不存在．當(dāng)時(shí)，最小值為：，最大值為：，∴，即，∴．∵，∴，綜上所述，r的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)上的兩點(diǎn)距離，勾股定理，點(diǎn)到圓的距離．根據(jù)題目所給條件，掌握“二分點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．26．證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等弧或同弧所對(duì)的圓周角相等可得，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角和切線性質(zhì)得到，，繼而得到即可解答．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，∴，又∵，∴，∵是的直徑，∴，即，∵是的切線，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理和平行線的判定，熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線性質(zhì)，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)換得到內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．27．(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析；(4)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可知，AB的垂直平分線過(guò)圓心，連接AB，利用網(wǎng)格找出線段AB的垂直平分線即可；（2）延長(zhǎng)AC交⊙O與點(diǎn)E，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，在連接EF，則即為所求；（3）作線段AD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓即可；（4）過(guò)點(diǎn)A作圓的兩條割線：ACD和AEF；連接CF，DE交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EC和FD交于點(diǎn)H，連接HG交圓于點(diǎn)B，連接AB即可．【詳解】（1）解