高中數(shù)學(xué)-分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

§1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計

數(shù)原理

一、內(nèi)容與解析

(-)內(nèi)容：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理。

(二)解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理指的是分類加法計

數(shù)原理的定義、分步乘法計數(shù)原理的定義、兩個原理應(yīng)用，其核心是兩個計數(shù)原理，

理解它關(guān)鍵就是要體會兩個計數(shù)原理的基本思想及其應(yīng)用方法。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過加法、

乘法，本節(jié)課的內(nèi)容要與之建立相關(guān)聯(lián)系。由于它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計

算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法貫穿本章內(nèi)容的始終,所以在本章有重要的地位,

是本學(xué)科的重要內(nèi)容。教學(xué)的重點是兩個計數(shù)原理，解決重點的關(guān)鍵是結(jié)合實例闡

述兩個計數(shù)原理的基本內(nèi)容，分析原理的條件和結(jié)論，特別是要注意使用對比的方

法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識它們的異同。

二、目標(biāo)及其解析：

(一)教學(xué)目標(biāo)

(1)理解分類加法計數(shù)原理；

(2)理解分步乘法計數(shù)原理；

(3)會應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決簡單的實際問題.

(-)解析

(1)理解分類加法計數(shù)原理就是指將一個復(fù)雜問題分解為若干“類別”，然后分類

解決，各個擊破；

(2)理解分步乘法計數(shù)原理就是指將一個復(fù)雜問題分解為若干“步驟”，先對每一

個步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個完整的過程；

(3)會應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決簡單的實際問題就是指根據(jù)具體問題的特征選擇對

應(yīng)的原理。

三、問題診斷分析

在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是如何選擇對應(yīng)的原理解決具體問題，產(chǎn)生這

一問題的原因是學(xué)生無法把具體的問題特征與兩個計數(shù)的基本思想聯(lián)系起來。要解決這一問

題，在本節(jié)教學(xué)時先采取通過典型的、學(xué)生熟悉的實例，經(jīng)過抽象概括而得出兩個計數(shù)原理，

然后按照從單一至綜合的方式，安排比較多的例題，引導(dǎo)學(xué)生逐步體會兩個計數(shù)原理的基本

思想及其應(yīng)用方法.

四、教學(xué)支持條件分析

五、教學(xué)過程

一）引入課題

先看下面的問題：

①從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長，有多少種不同的選法？

②把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？

要解決這些問題，就要運用有關(guān)排列、組合知識.排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計數(shù)方法.

總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.

設(shè)計意圖:在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)

原理.這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來學(xué)習(xí)這兩個原理.

問題L分類加法計數(shù)原理

師生活動：

問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出

多少種不同的號碼？

問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2

班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

問題L3：你能說說以上兩個問題的特征嗎？

結(jié)論:分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方

法，在第2類方案中有幾種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.

問題1.4：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有犯種不同的方法，在第2

類方案中有機(jī)2種不同的方法，在第3類方案中有〃％種不同的方法，那么完成這件事共有多

少種不同的方法？

問題1.5：如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)

如何計數(shù)呢？

一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有町種不同的方法，在第2類辦法中有機(jī)2種

不同的方法……在第n類辦法中有加”種不同的方法.那么完成這件事共有

N=+m2H-------\-mn

種不同的方法.

理解分類加法計數(shù)原理：

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立,

各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事

問題2.分步乘法計數(shù)原理

師生活動：

問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以4,42,…，用，斗，…的

方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

用列舉法可以列出所有可能的號碼：

分析：

我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個

組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54個不同的號碼.

問題2.2：你能說說這個問題的特征嗎？

結(jié)論：分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同

的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=mxn

種不同的方法.

問題2.3：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有加2種

不同的方法，做第3步有〃％種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

問題2.4：如果完成一件事情需要個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如

何計數(shù)呢？

一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有〃種

不同的方法……做第n步有團(tuán)”種不同的方法.那么完成這件事共有

N-叫xm2x…x根“

種不同的方法.

理解分步乘法計數(shù)原理：

分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成

任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事.

問題2.5：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點？

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方

法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成

這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干

步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，

才算完成這件事，是合作完成.

例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)

項專業(yè)，具體情況如下：

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會計學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

分析：由于這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于

兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇

A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選

擇方法.又由于沒有一個強(qiáng)項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同

學(xué)可能的專業(yè)選擇共有

5+4=9（種）.

變式：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可

能的專業(yè)選擇共有多少種？.

例2.一螞蟻沿著長方體的棱，從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少

條？

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,

所以，

第一類，ml=1X2=2條

第二類，m2=1X2=2條

第三類，m3=1X2=2條

所以，根據(jù)加法原理，從頂點A到頂點C1最近路線共將N=2+2+2=6條

例3,設(shè)某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,

共有多少種不同的選法？

分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟.第1步選男生.第2步選女生.

解.：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有

30X24=720

種不同的選法.

例4.如圖，要給地圖A、B、C、口四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種

顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

解：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成，

第一步，ml=3種，

第二步，m2=2種，

第三步，m3=1種，

第四步，m4=1種，

所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3X2X1X1=6

變式

1,如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色

使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

2若顏色是2種，4種，5種又會什么樣的結(jié)果呢？

六、小結(jié)

1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不

同的方法，在第2類方案中有幾種不同的方法.那么完成這件事共有

N=根+〃

種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機(jī)種不同的方

法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=mxn

種不同的方法.

七、目標(biāo)檢測

1.填空：

(1)一件工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會

用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是一；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B的路

線有一條.

2.現(xiàn)有高一年級的學(xué)生3名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生4名.(1)從

中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去C村，不同(2)從3個

年級的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

【學(xué)情分析】

本節(jié)課的授課對象是高二年級學(xué)生。學(xué)生的數(shù)學(xué)有了很深的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣較濃。

經(jīng)歷了合情推理和概率的相關(guān)知識，對計數(shù)方法有了一定的了解和認(rèn)識。

在講授新課時，通過一些經(jīng)典的實例，讓學(xué)生歸納總結(jié)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)

原理就順利成章了。學(xué)習(xí)過程中，通過對題目有梯度的設(shè)計使得學(xué)生逐步加深對兩種計數(shù)原

理的理解和區(qū)分，并能利用兩種計數(shù)原理處理一些簡單的實際問題。

【效果分析】

良好的課堂教學(xué)效果是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的最終目的。本節(jié)課一-“太平天國運動”的

課堂教學(xué)效果如何呢？是否達(dá)到課前教學(xué)設(shè)計的預(yù)期目標(biāo)呢?學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)是否理

解了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理呢？

【新課引入】環(huán)節(jié)通過2018年世界杯的問題成功吸引了學(xué)生的興趣，這是本節(jié)課成功

的第一步，也是我引以為傲的地方?！拘轮骄俊客ㄟ^幾個經(jīng)典的實例，采用了學(xué)校三九模

式，自主學(xué)習(xí)，成功的總結(jié)了兩個計數(shù)原理的概念，并初步了解?！镜淅治觥客ㄟ^幾個例

題的梯度設(shè)計，讓學(xué)生加深了對概念的理解又能區(qū)分兩種計數(shù)原理的不同。

本節(jié)課環(huán)節(jié)完整，設(shè)計巧妙細(xì)致，達(dá)到了原定的效果。

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教材分析

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理”（以下簡稱“兩個計數(shù)原理”）是人教A版高中

數(shù)學(xué)課標(biāo)教材選修2-3"第一章計數(shù)原理”第1.I節(jié)的內(nèi)容，教學(xué)需要安排4個課時，木節(jié)

課為第1課時.

兩個計數(shù)原理是人類在大量的實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，是解決計數(shù)問題的

最基本、最重要的方法，它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想

方法也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本章中是奠基性的知識.由于排列、組合及二項

式定理的研究都是作為兩個計數(shù)原理的典型應(yīng)用而設(shè)置的，因此，理解和掌握兩個計數(shù)原理,

是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。

從認(rèn)知基礎(chǔ)的角度看，兩個計數(shù)原理實際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運算與乘法

運算的拓展應(yīng)用，是體現(xiàn)加法與乘法運算相互轉(zhuǎn)化的典型例證.

從思想方法的角度看，運用分類加法計數(shù)原理解決問題是將一個復(fù)雜的計數(shù)問題分解為

若干“類別”，再分類解決；運用分步乘法計數(shù)原理解決問題則是將一個復(fù)雜的計數(shù)問題分

解為若干“步驟”，先對每個步驟分類處理，再分步完成.綜合運用兩個計數(shù)原理就是將綜

合問題分解為多個單一問題，再對每個單一問題各個擊破.也就是說，兩個計數(shù)原理的靈魂

是化歸與轉(zhuǎn)化的思想、分類與整合的思想和特殊與一般的思想的具體化身.

從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度看，以退為進(jìn)，以簡馭繁，化難為易，化繁為簡，是理解和掌握兩個

計數(shù)原理的關(guān)鍵，運用兩個計數(shù)原理是知識轉(zhuǎn)化為能力的催化劑.

1.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

新知引入

思考？

問題1、用一個大寫的的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多

少種不同的號碼？

問題2.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,

汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走

法？

一、分類加法計數(shù)原理

完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有g(shù)種不同的方法，在第2類方法中有m2種不

同的方法......在第n類方法中有批種不同的方法，則完成這件事共有

典型例題

例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的

強(qiáng)項專業(yè)，具體情況如下：

A大學(xué)：生物學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、物理學(xué)、T程學(xué)、

B大學(xué)：數(shù)學(xué)、會計學(xué)、信息技術(shù)學(xué)、法學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

變式1：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名

同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有種；

變式2：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：數(shù)學(xué)、新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，

這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有種.

思考？

問題3.用前6個大寫英文字母和1?9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以Al,A2,???,Bl,B2,…的方式

給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

問題4.如圖，由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去

C村，共有多少種不同的走法？

二、分步乘法計數(shù)原理

完成一件事，需要分成n個步驟.做第1步有孫種不同的方法，做第2步有mz種不同的

方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有

典型例題

例2、設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,

共有多少種不同的選法？

例3、滕州市的部分電話號碼是063255Xxxxx,后面每個數(shù)字來自0?9這10個數(shù)，問可以產(chǎn)

生多少個不同的電話號碼？

例4、書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2

本不同的體育雜志.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

⑵從書架的第1、2、3層各取I本書，有多少種不同取法？

例5、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共

有多少種不同的掛法？

鞏固練習(xí):

1、在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？

2、8本不問的書，任選3本分給3個同學(xué)，每人1本，有多少種不同的分法？

3、將4封信投入3個不同的郵筒，有多少種不同的投法？

4、已知?！陒3,4,6},be{1,2,7,8）,r6（8,9）

則方程（%—4）2+（'—6）2=-2可表示不同的圓的個數(shù)