2021-2022學(xué)年河北省石家莊市十五中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年河北省石家莊市十五中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】∵∴，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：A.2．若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為－20，則a=（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】D【分析】由題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】已知的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為：，令，求得：，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：，解得：.故選：D.3．已知高三5班男、女同學(xué)人數(shù)相同，有5％的男同學(xué)和0.25％的女同學(xué)患色盲，現(xiàn)隨機(jī)選一名同學(xué)，這位同學(xué)恰好患色盲的概率是（

）A．0.01245 B．0.05786 C．0.02625 D．0.02865【答案】C【分析】利用全概率公式可求解.【詳解】用事件表示“隨機(jī)選一名同學(xué)是男生”，用事件表示“隨機(jī)選一名同學(xué)是女生”，用事件B表示“這位同學(xué)恰好患色盲”，則，且，互斥，由題意知，％，％，由全概率公式得％％＝0.02625．故選:C．4．已知三棱錐，現(xiàn)有質(zhì)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿棱移動(dòng)，規(guī)定質(zhì)點(diǎn)Q從一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)為1次移動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)3次移動(dòng)后返回到A點(diǎn)的不同路徑的種數(shù)為(

)A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】第1步和最后一步位置都是A，中間兩步位置可從B、C、D三個(gè)點(diǎn)中選兩個(gè)排列即可.【詳解】可以看成先后順序?yàn)?、2、3、4的四個(gè)座位，第1和第4個(gè)座位都是A，第2和第3兩個(gè)座位從B、C、D三個(gè)字母選兩個(gè)進(jìn)行排列，共種排法.故選：B.5．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.6．近日，各地有序開(kāi)展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記?接種?留觀3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，接種工作至少需要2人參加，登記?留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．180【答案】B【分析】不同的安排方式分成兩類，再求出每一類中的安排方式即可作答.【詳解】不同的安排方式有兩類辦法，有3人參加接種工作的安排方式有種，有2人參加接種工作的安排方式有種，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的安排方式有：種.故選：B.7．用四種顏色給正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．60種【答案】A【分析】列出表格，使用分類加法，分步乘法公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】如下表頂點(diǎn)VABCD種數(shù)432C與A同色12C與A不同色11總計(jì)故選：A．8．函數(shù)，的圖象與直線分別交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)，根據(jù)和得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解即可.【詳解】設(shè)，則所以，，所以，令，得，此時(shí)單調(diào)遞減，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，則，則.故選：C二、多選題9．箱子中有6個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球．每次從箱子中隨機(jī)的摸出一個(gè)球，摸出的球不放回．設(shè)事件A表示“第1次摸球，摸到紅球”，事件B表示“第2次摸球，摸到紅球”則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用條件概率及全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，A正確；PBA由全概率公式可知：所以BC錯(cuò)誤，D正確.故選：AD10．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每天開(kāi)設(shè)一門，連續(xù)開(kāi)設(shè)6天，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從六門課程中選兩門的不同選法共有20種B．課程“數(shù)”不排在最后一天的不同排法共有600種C．課程“禮”、“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．課程“樂(lè)”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件利用排列、組合知識(shí)，逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A不正確；對(duì)于B，前5天中任取1天排“數(shù)”，再排其它五門體驗(yàn)課程共有種，B正確；對(duì)于C，“禮”、“書”排在相鄰兩天，可將“禮”、“書”視為一個(gè)元素，不同排法共有種，C正確；對(duì)于D，先排“禮”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂(lè)”、“射”、“御”，不同排法共有種，D不正確.故選：BC11．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．為的零點(diǎn) B．2為的極小值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞減 D．是的最小值【答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且2為的極小值點(diǎn)，所以選項(xiàng)B和C均正確；是的零點(diǎn)，但不一定是的零點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；是函數(shù)的極小值，但不一定是最小值，即D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查由導(dǎo)數(shù)圖象解決函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.12．已知，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．單調(diào)遞減區(qū)間為C．的極小值為 D．方程有兩個(gè)不同的解【答案】AB【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；對(duì)于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解；對(duì)于C，求導(dǎo)后求極值；對(duì)于D，函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.【詳解】解：對(duì)于A，由（），得，所以，，所以在處的切線方程為，所以A正確；對(duì)于B，由，得，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以C不正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知的最大值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以有1個(gè)解，所以D不正確，故選：AB.三、填空題13．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛(ài)的外表和豐富的寓意，深受各國(guó)人民的喜愛(ài).某商店有4個(gè)不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個(gè)不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺(tái)上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法種數(shù)為_(kāi)__________.（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】根據(jù)間隔排列知兩端均為“冰墩墩”,可以先排【詳解】先排“冰墩墩”中間有三個(gè)空，再排“雪容融”，則.故答案為：144.14．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)有極值求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，.令，則.當(dāng)時(shí)，有，，即恒成立，所以在R上單增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有，有兩個(gè)根（不妨設(shè)），令解得：；令解得：，所以在上單增，在上單減，所以在處取得極大值，在處取得極小值.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：15．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.【答案】16【分析】結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得常數(shù)項(xiàng)，【詳解】的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：16．函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.四、解答題17．假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市場(chǎng)占有率50％30％20％優(yōu)質(zhì)率95％90％70％在該市場(chǎng)中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率．【答案】【分析】用事件、、分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌，事件表示“買到的是優(yōu)質(zhì)品”，分別計(jì)算，，，則.【詳解】用事件、、分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌，事件表示“買到的是優(yōu)質(zhì)品”，則，且，，兩兩互斥，依據(jù)已知可得，，，且，，，因此，由全概率公式得．18．已知（n為正整數(shù)）.(1)若，求n的值；(2)若，，，求和的值（結(jié)果用指數(shù)冪的形式表示）.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后由列方程可求出n的值，（2）分別令，求出，，進(jìn)而可求出的值，【詳解】(1)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，，得或（舍去），(2)當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，因?yàn)?，，所以，，所以?9．已知函數(shù)在時(shí)有極值0.(1)求函數(shù)的解析式；(2)記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.(2)由（1）可知，，令，解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)有極大值，當(dāng)有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿足，解得.20．用0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】(1)648(2)379【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先確定百位上的數(shù)字，再分析十位與個(gè)位，進(jìn)而計(jì)算出正確答案.（2）根據(jù)分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，分別分析1位數(shù)，兩位數(shù)與三位數(shù)滿足條件的數(shù)字計(jì)算出正確答案.【詳解】(1)百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個(gè)數(shù)字中選取，所以共有個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．(2)滿足條件的一位自然數(shù)有10個(gè)，兩位自然數(shù)有個(gè)，三位自然數(shù)有個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有個(gè)小于500且無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．21．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所