《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》第八章

第八章方差分析引導(dǎo)案例

哪種促銷(xiāo)方式效果最好？某連鎖超市為了研究不同促銷(xiāo)手段對(duì)商品銷(xiāo)售額的影響，選擇了某類(lèi)日常生活用品，在其下屬的5個(gè)門(mén)店分別采用某種促銷(xiāo)方式各進(jìn)行了為期4個(gè)月的試驗(yàn)。試驗(yàn)前，該類(lèi)商品在這5個(gè)門(mén)店的月銷(xiāo)售額基本處于同一水平，試驗(yàn)結(jié)果如表8-1所示。

其中，“通常銷(xiāo)售”是指不采用任何促銷(xiāo)手段，“廣告宣傳”是指沒(méi)有價(jià)格優(yōu)惠的單純廣告促銷(xiāo)，“買(mǎi)一送一”是指買(mǎi)一件商品送另一件小商品?，F(xiàn)該公司管理部門(mén)希望了解的是：不同的促銷(xiāo)方式是否對(duì)該類(lèi)商品銷(xiāo)售額的增長(zhǎng)有顯著影響？若有顯著影響，哪種促銷(xiāo)方式效果最好？是否任意兩種促銷(xiāo)方式的效果之間都存在顯著差異？要想解決上述問(wèn)題，可以借助方差分析及多重比較方法。第一節(jié)方差分析概述第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析第一節(jié)方差分析概述第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析一、方差分析中的相關(guān)術(shù)語(yǔ)表面上看，方差分析是檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等的統(tǒng)計(jì)方法，但本質(zhì)上它所研究的是分類(lèi)型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響，如變量之間有沒(méi)有關(guān)系、關(guān)系的強(qiáng)度如何等。方差分析就是通過(guò)檢驗(yàn)各總體的均值是否相等，來(lái)判斷分類(lèi)型自變量對(duì)數(shù)值型因變量是否有顯著影響。為了更好地理解方差分析，先通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明方差分析的有關(guān)概念及方差分析所要解決的問(wèn)題。在方差分析中，所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱(chēng)為因素或因子；因素的不同表現(xiàn)稱(chēng)為水平或處理；每個(gè)因子水平下得到的樣本數(shù)據(jù)稱(chēng)為觀測(cè)值。例8-1中，“顏色”是要檢驗(yàn)的對(duì)象，稱(chēng)為因素或因子；黃色、紅色、綠色、白色是“顏色”這一因素的具體表現(xiàn)，稱(chēng)為水平或處理；在每個(gè)顏色下得到的樣本數(shù)據(jù)（銷(xiāo)售量）稱(chēng)為觀測(cè)值。由于只涉及一個(gè)因素，因此稱(chēng)為單因素方差分析。單因素方差分析中，只涉及兩個(gè)變量：一個(gè)是分類(lèi)型自變量，一個(gè)是數(shù)值型因變量。例8-1中，“顏色”是分類(lèi)型自變量，黃色、紅色、綠色、白色是“顏色”這個(gè)自變量的具體取值；“銷(xiāo)售量”是數(shù)值型因變量，不同的銷(xiāo)售量就是因變量的取值。圖形描述（一）怎樣判斷顏色對(duì)運(yùn)動(dòng)衫的銷(xiāo)售量是否有顯著影響？或者說(shuō)，顏色與運(yùn)動(dòng)衫銷(xiāo)售量之間是否有顯著的關(guān)系？我們畫(huà)出它們的散點(diǎn)圖，如圖8-1所示，圖中的那條折線是由各顏色銷(xiāo)售量的均值連接而成的。二、方差分析的基本原理從圖8-1可以看出，不同顏色運(yùn)動(dòng)衫的銷(xiāo)售量是有差異的，而且即使是同一種顏色，在不同超市的銷(xiāo)售量也是有差異的。其中，紅色運(yùn)動(dòng)衫的銷(xiāo)售量最多，綠色運(yùn)動(dòng)衫的銷(xiāo)售量最少。如果顏色對(duì)銷(xiāo)售量沒(méi)有影響，那么各種顏色運(yùn)動(dòng)衫的銷(xiāo)售量的均值應(yīng)該是差不多相同的，在散點(diǎn)圖上也應(yīng)該比較接近。但通過(guò)散點(diǎn)圖，我們還是沒(méi)有足夠的證據(jù)去證實(shí)各種顏色運(yùn)動(dòng)衫的銷(xiāo)售量的差異是否達(dá)到了統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著水平，所以我們需要一種更精準(zhǔn)的方法去推斷，也就是方差分析。誤差分解（二）方差分析認(rèn)為觀測(cè)值之間存在差異，差異產(chǎn)生的來(lái)源有兩個(gè)方面：一個(gè)方面是由因素中不同水平造成的，如運(yùn)動(dòng)衫的不同顏色帶來(lái)的不同銷(xiāo)售量，我們稱(chēng)之為系統(tǒng)誤差；另一個(gè)方面是由于抽選樣本的隨機(jī)性而產(chǎn)生的差異，如相同顏色的運(yùn)動(dòng)衫在不同商場(chǎng)的銷(xiāo)售量也不同，我們稱(chēng)之為隨機(jī)誤差。在計(jì)算誤差時(shí)，我們可以用兩個(gè)方差來(lái)計(jì)量，即組間方差和組內(nèi)方差。組間方差即水平之間的方差，既包括系統(tǒng)誤差，又包括隨機(jī)誤差；組內(nèi)方差即水平內(nèi)部的方差，僅包括隨機(jī)誤差。如果不同水平對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，如運(yùn)動(dòng)衫的顏色對(duì)銷(xiāo)售量不產(chǎn)生影響，那么組間方差就只包括隨機(jī)誤差，而不包括系統(tǒng)誤差，它與組內(nèi)方差應(yīng)該近似，兩個(gè)方差的比值會(huì)接近1。反之，如果不同水平對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，組間方差中就不僅包括系統(tǒng)誤差，還包括隨機(jī)誤差。這時(shí)，組間方差就比組內(nèi)方差大，兩個(gè)方差的比值就會(huì)顯著地大于1，當(dāng)這個(gè)比值大到某個(gè)程度，就可以判斷不同水平之間存在著顯著的差異。因此，方差分析就是通過(guò)不同方差的比較，作出拒絕或不拒絕原假設(shè)的判斷。第一節(jié)方差分析概述第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行單因素方差分析時(shí)，需要得到下面的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如表8-3所示。在單因素方差分析中，用A表示因素，因素的k個(gè)水平分別用表示，每個(gè)觀測(cè)值用（，）表示，即表示第個(gè)水平的第個(gè)觀測(cè)值。其中，從不同水平中所抽取的樣本量可以相等，也可以不相等。二、分析步驟在方差分析中，盡管不知道個(gè)總體的均值是否相等，但可以用樣本數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)它們是否相等。原假設(shè)描述的是不同類(lèi)別的觀測(cè)值的均值是相等的，因此，檢驗(yàn)因素的個(gè)水平的均值是否相等，需要針對(duì)總體提出以下原假設(shè)和備擇假設(shè)： 自變量對(duì)因變量沒(méi)有顯著影響不全相等 自變量對(duì)因變量有顯著影響式中，為第個(gè)總體的均值。如果不拒絕原假設(shè)，則沒(méi)有證據(jù)表明自變量對(duì)因變量有顯著影響。如果拒絕原假設(shè)，意味著自變量對(duì)因變量有顯著影響；此時(shí)，只是表明至少有兩個(gè)總體均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等。提出假設(shè)（一）根據(jù)例8-1提出的假設(shè)如下： 顏色對(duì)銷(xiāo)售量沒(méi)有顯著影響不全相等 顏色對(duì)銷(xiāo)售量有顯著影響假定從第j個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令為第j個(gè)總體的樣本均值，則有：

（8-1）式中，為第j個(gè)總體的樣本量；為第j個(gè)總體的第i個(gè)觀測(cè)值。樣本均值可以用Excel中的AVERAGE函數(shù)計(jì)算，將表8-2中的數(shù)據(jù)輸入Excel，如圖8-2所示。B8=AVERAGE(B3:B7)，可算出。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（二）計(jì)算各樣本的均值1總均值是全部觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)。令總均值為，則有：

（8-2）式中，?？偩狄部捎肊xcel中的AVERAGE函數(shù)計(jì)算，B10=AVERAGE(B3:E7)，即。計(jì)算全部觀測(cè)值的總均值2為構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在方差分析中，需要計(jì)算三個(gè)誤差平方和，即總平方和、組間平方和與組內(nèi)平方和?？偲椒胶陀洖镾ST，它是全部觀測(cè)值與總平均值的誤差平方和，其計(jì)算公式為：

（8-3）SST可用Excel中的DEVSQ函數(shù)實(shí)現(xiàn)，B11=DEVSQ(B3:E7)，即可算出總平方和為=464.95，它反映了全部25個(gè)觀測(cè)值與總均值之間的差異。組間平方和記為SSA，它是各組平均值與總均值的誤差平方和，反映各樣本均值之間的差異程度，又稱(chēng)為回歸平方和。其計(jì)算公式為：（8-4）計(jì)算各種誤差平方和3SSA也稱(chēng)為自變量效應(yīng)或因子效應(yīng)。SSA可以用Excel計(jì)算，具體步驟如下：①B12=B9*(B8-$B10)^2；②選中B12，將鼠標(biāo)放在右下角，出現(xiàn)“+”時(shí)，向右拉至E12處；③F12=SUM(B12:E12)，可算出SSA=218.95，它反映了自變量（顏色）對(duì)因變量（銷(xiāo)售量）的影響，包括了系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。組內(nèi)平方和記為SSE，它是每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值誤差的平方和，反映了每個(gè)樣本各觀測(cè)值的離散狀況，因此又稱(chēng)為殘差平方和。SSE反映了隨機(jī)誤差的大小，其計(jì)算公式為：（8-5）在圖8-2中，先求出每個(gè)顏色的銷(xiāo)售量與其平均數(shù)的誤差平方和，然后將四種顏色的誤差平方和加總，即為組內(nèi)平方和。SSE也稱(chēng)為殘差效應(yīng)，可用DEVSQ函數(shù)實(shí)現(xiàn)，具體步驟如下：①B13=DEVSQ(B3:B7)=85.2；②選中B13，鼠標(biāo)放在右下角，出現(xiàn)“+”時(shí)，向右拉至E13處；③F13=SUM(B13:E13)，就求出=246。它反映了除了自變量對(duì)因變量的影響之外，其他因素對(duì)因變量的總影響。上述三個(gè)平方和之間的關(guān)系為：

（8-6）即總平方和（SST）=組間平方和（SSA）+組內(nèi)平方和（SSE），從上面的計(jì)算結(jié)果也可以驗(yàn)證這一點(diǎn)：?？梢?jiàn)，SST是全部數(shù)據(jù)總誤差程度的度量，它反映了自變量和殘差的共同影響，等于自變量效應(yīng)加殘差效應(yīng)。由于誤差平方和的大小與觀測(cè)值的多少有關(guān)，為了消除觀測(cè)值多少對(duì)誤差平方和大小的影響，需要將其平均，也就是用各平方和除以它們所對(duì)應(yīng)的自由度，這一結(jié)果稱(chēng)為方差，也稱(chēng)為均方。三個(gè)平方和對(duì)應(yīng)的自由度分別為：SST的自由度為，其中，n為全部觀測(cè)值的個(gè)數(shù)；SSA的自由度為，其中，k為因素水平（總體）的個(gè)數(shù)；SSE的自由度為。由于要比較的是組間方差和組內(nèi)方差之間的差異，所以通常只計(jì)算SSA和SSE的均方，分別計(jì)為MSA和MSE，其計(jì)算公式為：

（8-7）（8-8）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量4從表8-2可知，，。將上述MSA和MSE進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F。當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為、分母自由度為的F分布，即～（8-9）例如，根據(jù)圖8-2，。綜上所述，根據(jù)圖8-2中的數(shù)據(jù)構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如圖8-3所示。如果原假設(shè)成立，則表明沒(méi)有系統(tǒng)誤差，組間方差MSA和組內(nèi)方差MSE的比值差異就不會(huì)太大；如果組間方差顯著大于組內(nèi)方差，說(shuō)明各水平（總體）之間的差異不僅僅是隨機(jī)誤差造成的，還有系統(tǒng)誤差?？梢?jiàn)，判斷因素水平是否對(duì)其觀測(cè)值有顯著影響，實(shí)際上也就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小。那么，它們之間的差異大到何種程度，才表明有系統(tǒng)誤差存在呢？這就需要用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行判斷，將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平a的臨界值進(jìn)行比較，從而作出對(duì)原假設(shè)的決策。統(tǒng)計(jì)決策（三）根據(jù)給定的顯著性水平a和分子自由度為、分母自由度為，用FINV函數(shù)可以求出相應(yīng)的臨界值。若，則拒絕，表明之間的差異是顯著的。也就是說(shuō)，所檢驗(yàn)的因素（顏色）對(duì)觀測(cè)值（銷(xiāo)售量）有顯著影響。若，則不拒絕，表明之間的差異不顯著。也就是說(shuō)，所檢驗(yàn)的因素（顏色）對(duì)觀測(cè)值（銷(xiāo)售量）沒(méi)有顯著影響。根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，用FINV函數(shù)求出臨界值。由于，則拒絕，表明不同顏色的銷(xiāo)售量均值是有顯著差異的，也就是說(shuō)，顏色對(duì)銷(xiāo)售量是有顯著影響的。三、方差分析表上面介紹了方差分析的計(jì)算步驟和過(guò)程，為了使計(jì)算過(guò)程更加清晰，通常將上述過(guò)程的內(nèi)容列在一張表內(nèi)，這就是方差分析表。其一般形式如表8-4所示。四、用Excel工具進(jìn)行方差分析上述列表進(jìn)行方差分析的過(guò)程對(duì)于幫助我們理解方差分析的基本原理是很有幫助的，但實(shí)際運(yùn)用中，我們可以直接利用Excel軟件中的數(shù)據(jù)分析工具實(shí)現(xiàn)，操作步驟如下：（1）選擇“數(shù)據(jù)”→“數(shù)據(jù)分析”→“方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觥辈藛蚊睿蜷_(kāi)“單因素方差分析”對(duì)話(huà)框，如圖8-4所示。（2）選定輸入?yún)^(qū)域（圖8-2中的輸入?yún)^(qū)域?yàn)锽3:E7）；水平采用系統(tǒng)默認(rèn)值0.05（也可根據(jù)需要確定）；在“輸出選項(xiàng)”中選擇“新工作表組”單選按鈕，然后單擊“確定”按鈕，系統(tǒng)即輸出運(yùn)行結(jié)果，如圖8-5所示。五、關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量圖8-5的方差分析結(jié)果顯示，不同顏色的運(yùn)動(dòng)衫銷(xiāo)售量是有顯著差異的，這意味著顏色（自變量）與銷(xiāo)售量（因變量）之間的關(guān)系是顯著的。組間平方和度量了自變量對(duì)因變量的影響效應(yīng)，實(shí)際上，只要組間平方和不為零，就表明兩個(gè)變量之間有關(guān)系。當(dāng)組間平方和比組內(nèi)平方和大，而且大到一定程度，意味著兩個(gè)變量之間的關(guān)系顯著，大得越多，表明它們之間的關(guān)系越強(qiáng)；反之，當(dāng)組間平方和比組內(nèi)平方和小時(shí)，就意味著兩個(gè)變量之間的關(guān)系不顯著，小得越多，表明它們之間的關(guān)系越弱。所以，我們可以用組間平方和（SSA）占總平方和（SST）的比例大小來(lái)反映變量之間的關(guān)系強(qiáng)度，這一比例記為，即

（8-10）例如，根據(jù)圖8-5中的結(jié)果計(jì)算得

這表明，顏色（自變量）對(duì)銷(xiāo)售量（因變量）的影響效應(yīng)占總效應(yīng)的47.0911%，而殘差效應(yīng)則占了52.9089%。也就是說(shuō)，顏色對(duì)銷(xiāo)售量的差異解釋比例達(dá)到47.0911%，而其他因素（殘差變量）所解釋的比例為52.9089%。盡管并不高，但顏色對(duì)銷(xiāo)售量的影響已經(jīng)達(dá)到了統(tǒng)計(jì)上的顯著程度。的平方根可以用來(lái)測(cè)量自變量與因變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。例如，根據(jù)上述結(jié)果可計(jì)算出，這表明顏色與銷(xiāo)售量之間有中等以上的相關(guān)關(guān)系。六、方差分析中的多重比較通過(guò)對(duì)例8-1的分析，可得出以下結(jié)論：不同顏色的運(yùn)動(dòng)衫銷(xiāo)售量的均值不完全相同。但究竟是哪些顏色的銷(xiāo)售量均值之間不相等，還需要進(jìn)行進(jìn)一步分析，所使用的方法就是多重比較方法，它是通過(guò)對(duì)總體均值之間的配對(duì)比較來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)到底哪些均值之間存在差異。多重比較方法有許多種，這里介紹由費(fèi)希爾提出的最小顯著差異方法，縮寫(xiě)為L(zhǎng)SD。采用該方法進(jìn)行檢驗(yàn)的具體步驟如下：（1）提出假設(shè)：，。（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：。（3）計(jì)算LSD，其公式為：

（8-11）式中，可以通過(guò)TINV函數(shù)獲得，為其自由度。MSE為組內(nèi)方差；和分別是第個(gè)樣本和第個(gè)樣本的樣本量。（4）根據(jù)顯著性水平a作出決策。如果，則拒絕；如果，則不拒絕。第一節(jié)方差分析概述第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析一、雙因素方差分析的類(lèi)型在實(shí)際問(wèn)題的研究中，影響因素可能不止一個(gè)。例如，分析影響空調(diào)銷(xiāo)售量的因素時(shí)，需要考慮許多因素，包括價(jià)格、質(zhì)量、品牌、銷(xiāo)售地區(qū)等。當(dāng)方差分析中涉及兩個(gè)分類(lèi)型自變量時(shí)，稱(chēng)為雙因素方差分析。如果兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱(chēng)為無(wú)交互作用的雙因素方差分析或無(wú)重復(fù)雙因素方差分析。如果除了行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱(chēng)為有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析。二、無(wú)交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（一）在無(wú)交互作用的雙因素方差分析中，由于有兩個(gè)因素，在獲取數(shù)據(jù)時(shí)，需要將一個(gè)因素安排在“行”的位置，稱(chēng)為行因素；另一個(gè)因素安排在“列”的位置，稱(chēng)為列因素。設(shè)行因素有k個(gè)水平：行1，行2，…，行k；列因素有r個(gè)水平：列1，列2，…，列r。行因素和列因素的每一個(gè)水平都可以搭配成一個(gè)樣本，觀察它們對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，共抽取個(gè)觀察數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表8-5所示。表8-5中，是行因素的第i個(gè)水平下各觀察值的平均值，其計(jì)算公式為：

（=1，2，…，k）（8-12）是列因素的第j個(gè)水平下各觀察值的平均值，其計(jì)算公式為：

（=1，2，…，r）（8-13）是全部kr個(gè)樣本數(shù)據(jù)的總平均值，其計(jì)算公式為：

（8-14）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造（二）為了使檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造過(guò)程更加清晰，將其列成方差分析表，其一般形式如表8-6所示。SST為總平方和，是全部樣本觀察值（=1，2，…，；=1，2，…，）與總的樣本平均值的誤差平方和，即

（8-15）其中，分解后的等式右邊第一項(xiàng)是行因素所產(chǎn)生的誤差平方和，記為SSR，即

（8-16）第二項(xiàng)是列因素所產(chǎn)生的誤差平方和，記為SSC，即（8-17）第三項(xiàng)是除行因素和列因素之外的剩余因素影響產(chǎn)生的誤差平方和，稱(chēng)為隨機(jī)誤差平方和，記為SSE，即

（8-18）上述平方和的關(guān)系為：

（8-19）在誤差平方和的基礎(chǔ)上，計(jì)算方差。也就是將各平方和除以相應(yīng)的自由度，即為方差或均方。行因素的方差，記為MSR；列因素的方差，記為MSC；隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，記為MSE。其計(jì)算公式如下：

其計(jì)算公式如下：

（8-20）

（8-21）

（8-22）為檢驗(yàn)行