四川省各地市2023-中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（較難題）知識(shí)點(diǎn)分類③

四川省各地市2023-中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（較難題）知識(shí)點(diǎn)分類③一．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）1．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝kx+2與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)C，已知OA＝1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．（1）求k，m的值；（2）平行于y軸的動(dòng)直線與l和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．2．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y＝﹣x+5與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為B（a，4），過點(diǎn)B作AB的垂線l．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．二．二次函數(shù)綜合題（共6小題）3．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+2x+c與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A，B，C（0，6）三點(diǎn)，其對(duì)稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)F是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF分別與y軸，直線BC交于點(diǎn)D，E．①當(dāng)CD＝CE時(shí)，求CD的長(zhǎng)；②若△CAD，△CDE，△CEF的面積分別為S1，S2，S3，且滿足S1+S3＝2S2，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．4．（2023?廣元）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M，連接BP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，OM+ON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．5．（2023?樂山）已知（x1，y1），（x2，y2）是拋物線C1：y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝0時(shí)，總有y1＝y(tǒng)2．（1）求b的值；（2）將拋物線C1平移后得到拋物線C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．當(dāng)0≤x≤2時(shí)，探究下列問題：①若拋物線C1與拋物線C2有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線C2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)F．如果對(duì)拋物線C1上的任意一點(diǎn)P，在拋物線C2上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求EF長(zhǎng)的取值范圍．6．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)C（﹣2，6）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線AN、BN分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，求△APQ′的面積；（3）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AMC最大時(shí)，求M的坐標(biāo)．7．（2023?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于B（4，0），C（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（2023?廣安）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形ABCN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．三．三角形綜合題（共1小題）9．（2023?成都）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)，且＝（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE的垂線交直線BC于點(diǎn)F．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF＝AB，請(qǐng)寫出證明過程．【深入探究】（2）①如圖2，當(dāng)n＝2，且點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為M，若AB＝2，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．四．切線的性質(zhì)（共1小題）10．（2023?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝6．過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BC．（1）求證：BC平分∠DCF；（2）G為上一點(diǎn)，連接CG交AB于點(diǎn)H，若CH＝3GH，求BH的長(zhǎng)．五．圓的綜合題（共1小題）11．（2023?樂山）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【問題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個(gè)三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．【問題解決】（1）上述問題情境中“（_____）”處應(yīng)填理由：；（2）如圖2，小王將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A′B′C′的位置．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB′＝6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問題．?六．相似形綜合題（共1小題）12．（2023?達(dá)州）（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上A'處，若AB＝6，BC＝10，求的值；（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長(zhǎng)線上B'處，若BC?CE＝24，AB＝6，求BE的值；（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD＝10，AE＝6，過點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，且滿足∠DFE＝2∠DAC，直接寫出BD+EF的值．?

四川省各地市2023-中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（較難題）知識(shí)點(diǎn)分類③參考答案與試題解析一．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）1．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝kx+2與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)C，已知OA＝1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．（1）求k，m的值；（2）平行于y軸的動(dòng)直線與l和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）k＝2，m＝12；（2）（，2+2）或（﹣1，2）．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），則﹣k+2＝0，解得：k＝2，∴直線l的解析式為y＝2x+2，∵點(diǎn)C在直線l上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2×2+2＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，6），∴m＝2×6＝12；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，2n+2），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，），∴DE＝|2n+2﹣|，∵OB∥DE，∴當(dāng)OB＝DE時(shí)，以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∵直線y＝2x+2與y軸交于點(diǎn)B，∴OB＝2，∴|2n+2﹣|＝2，當(dāng)2n+2﹣＝2時(shí)，n1＝，n2＝﹣（舍去），此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2+2），當(dāng)2n+2﹣＝﹣2時(shí)，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，2），綜上所述：以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2+2）或（﹣1，2）．2．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y＝﹣x+5與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為B（a，4），過點(diǎn)B作AB的垂線l．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），反比例函數(shù)的表達(dá)式為（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為的值為3．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣x+5＝5，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4），將B（1，4）代入y＝得，4＝，解得k＝4，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；（2）設(shè)直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，∴N（5，0），∴OA＝ON＝5，∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，∵A（0，5），B（1，4），∴＝，∵直線l是AB的垂線，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，∴，∴M（0，3），設(shè)直線l的解析式為y＝k1x+b1，將M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，解得，∴直線l的解析式為y＝x+3，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，t+3），∵?|xB﹣xC|＝，解得t＝﹣4或t＝6，當(dāng)t＝﹣4時(shí)，t+3＝﹣1，當(dāng)t＝6時(shí)，t+3＝9，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）∵位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線l上，不妨設(shè)為E點(diǎn)，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組，解得，或，∴E（﹣4，﹣1），畫出圖形如圖所示，∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE，∴AB∥DE，∴直線AB與直線DE的一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，∴直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，∵點(diǎn)D在直線DE與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，∴解方程組得，或，∴D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，解方程組得，，∴P（﹣，），∴，，∴m＝．二．二次函數(shù)綜合題（共6小題）3．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+2x+c與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A，B，C（0，6）三點(diǎn)，其對(duì)稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)F是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF分別與y軸，直線BC交于點(diǎn)D，E．①當(dāng)CD＝CE時(shí)，求CD的長(zhǎng)；②若△CAD，△CDE，△CEF的面積分別為S1，S2，S3，且滿足S1+S3＝2S2，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6；（2）①8﹣2；②點(diǎn)F（4，6）．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，即拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+6；（2）令y＝﹣x2+2x+6＝0，則x＝6或﹣2，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（6，0）；①設(shè)點(diǎn)F（m，﹣m2+2m+6），由點(diǎn)A、F得，直線AF的表達(dá)式為：y＝﹣（m﹣6）（x+2）①，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即點(diǎn)D（0，6﹣m），則CD＝6﹣6+m＝m，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+6②，聯(lián)立①②得：﹣（m﹣6）（x+2）＝﹣x+6，解得：x＝，則點(diǎn)E（，6﹣），由點(diǎn)C、E的坐標(biāo)得，CE＝，∵CD＝CE，即m＝，解得：m＝0（舍去）或8﹣2，則CD＝m＝8﹣2；②過點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，∵△CAD，△CDE，△CEF同高，則其面積比為邊的比，即＝＝2，∵OD∥EM∥FN，則，，則＝＝＝2，即＝2，整理得：3xE﹣xF＝2，由①知，xE＝，xF＝m，則3×﹣m＝2，解得：m＝±4（舍去負(fù)值），經(jīng)檢驗(yàn)，m＝4是方程的根，則點(diǎn)F（4，6）．4．（2023?廣元）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M，連接BP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，OM+ON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；（3）OM+ON為定值6．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線l：，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作ED⊥l于點(diǎn)D，當(dāng)F在x軸上方時(shí)，如圖：∵以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴EF＝BF，∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，∴△DFE≌△GBF（AAS），∴GF＝DE，GB＝FD，設(shè)F（1，m），則DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m，∴E（1+m，3+m），∵E點(diǎn)在拋物線y＝﹣x2+x+4上，∴，解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，∴F（1，1）；當(dāng)F在x軸下方時(shí)，如圖：同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，設(shè)F（1，n），則E（1﹣n，n﹣3），把E（1﹣n，n﹣3）代入y＝﹣x2+x+4得：n﹣3＝﹣（1﹣n）2+（1﹣n）+4，解得n＝3（舍去）或n＝﹣5，∴F（1，﹣5）；當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴，此時(shí)F（1，﹣3），由對(duì)稱性可得，點(diǎn)F'（1，3）也滿足條件，綜上所述，F(xiàn)（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；（3）OM+ON為定值6，理由如下：設(shè)P（s，t），直線AP的解析式為y＝dx+f，BP的解析式為y＝gx+h，∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t），∴，，解得：，，∴直線AP的解析式為，BP的解析式為y＝x+，在中，令x＝0得，∴，在中，令x＝0得，∴N（0，），∵P（s，t）在拋物線上，∴t＝﹣s2+s+4＝﹣（s﹣4）（s+2），∴OM+ON＝+×＝＝＝6，∴OM+ON為定值6．5．（2023?樂山）已知（x1，y1），（x2，y2）是拋物線C1：y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝0時(shí)，總有y1＝y(tǒng)2．（1）求b的值；（2）將拋物線C1平移后得到拋物線C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．當(dāng)0≤x≤2時(shí)，探究下列問題：①若拋物線C1與拋物線C2有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線C2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)F．如果對(duì)拋物線C1上的任意一點(diǎn)P，在拋物線C2上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求EF長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）b＝0；（2）①2≤m≤2+2；②．【解答】解：（1）由題可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，∵當(dāng)x1+x2＝0時(shí)，總有y1＝y(tǒng)2，∴﹣+bx1＝﹣+bx2，整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴x1+x2﹣4b＝0，∴b＝0；（2）①注意到拋物線C2最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移．下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)（0，0）時(shí)，如圖1所示，此時(shí)，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．（i）當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)（2，﹣1）時(shí)，如圖2所示，此時(shí)，x＝2，解得或（舍）．綜上所述，2≤m≤2+2；②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)（0，﹣1）時(shí)，如圖3所示，此時(shí)，x＝0，，解得或（舍）．（ii）當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)（2，0）時(shí)，如圖4所示，此時(shí)，x＝2，，解得m＝4或0（舍）．綜上所述，．如圖5，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段AB的垂直平分線上，，解得xA＝m﹣2，xB＝m+2，∴HB＝m+2﹣m＝2，∵FB＝FC．∴FH2+HB2＝FG2+GC2，設(shè)FH＝t，∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，∵m≥2，∴﹣1≠0，∴，即，∵∴，即＜FH≤，∵EF＝FH+1，∴．6．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)C（﹣2，6）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線AN、BN分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，求△APQ′的面積；（3）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AMC最大時(shí)，求M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣x+6；（2）△APQ′的面積為；（3）M（0，12﹣4）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0），C（﹣2，6）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣x+6；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于K，如圖：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，∴K（﹣1，0），∴AK＝3，設(shè)N（t，﹣t2﹣t+6），設(shè)AN的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+n，把A（﹣4，0），N（t，﹣t2﹣t+6）代入得：，解得，∴AN的函數(shù)表達(dá)式為y＝（﹣t+）x﹣3t+6，在y＝（﹣t+）x﹣3t+6中，令x＝﹣1得y＝﹣t+，∴P（﹣1，﹣t+），同理可得Q（﹣1，t+9），∴Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q'坐標(biāo)為（﹣1，﹣t﹣9），∴PQ'＝﹣t+﹣（﹣t﹣9）＝，∴S△APQ'＝××3＝；∴△APQ′的面積為；（3）當(dāng)△ACM的外接圓與y軸相切時(shí)，切點(diǎn)即為使∠AMC最大的點(diǎn)M，如圖：∴TM⊥y軸，設(shè)T（p，q），則TM＝﹣p，∵AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），∴（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，∴q＝﹣p+2，∴T（p，﹣p+2），∵TM＝AT，∴p2＝（p+4）2+（﹣p+2）2，解得p＝﹣30+12或p＝﹣30﹣12（不符合題意，舍去），∴﹣p+2＝﹣（﹣30+12）+2＝12﹣4，∴M（0，12﹣4）．7．（2023?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于B（4，0），C（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）最大值為，此時(shí)P（，﹣）；（3）存在，M的坐標(biāo)為（1，6）或（1，﹣4）．【解答】解：（1）由題意，，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，設(shè)P（0＜m＜4），則，∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，PK+PD有最大值，最大值為，此時(shí)P（，﹣）；（3）存在．過A作AM2⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于M2，過B作BM1⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M1，連接AM1，BM2，設(shè)M1（1，n），則＝n2+4n+5，＝n2+9，由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，∴n＝6，∴M1（1，6），∴直線BM1解析式為y＝﹣2x+8，∵AM2∥BM1，且經(jīng)過A（0，﹣2），∴直線AM2解析式為y＝﹣2x﹣2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，∴M2（1，﹣4），綜上所述：存在，M的坐標(biāo)為（1，6）或（1，﹣4）．8．（2023?廣安）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形ABCN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）四邊形ABCN面積的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）；（3）在y軸上存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，Q的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴二次函數(shù)解析式為y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；（2）連接ON，如圖：設(shè)P（m，0），則N（m，m2+2m﹣3），在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∴S四邊形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S四邊形ABCN取最大值，此時(shí)P（﹣，0）；∴四邊形ABCN面積的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）；（3）在y軸上存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC解析式為y＝﹣x﹣3，設(shè)Q（0，t），P（n，0），則M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），∵M(jìn)N∥CQ，∴當(dāng)M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，MN，CQ是一組對(duì)邊；①當(dāng)MC，NQ為對(duì)角線時(shí)，MC，NQ的中點(diǎn)重合，且CN＝CQ，∴，解得（此時(shí)M，N與C重合，舍去）或；∴Q（0，﹣1）；②當(dāng)MQ，CN為對(duì)角線時(shí)，MQ，CN的中點(diǎn)重合，且CQ＝CM，∴，解得（舍去）或或，∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．三．三角形綜合題（共1小題）9．（2023?成都）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)，且＝（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE的垂線交直線BC于點(diǎn)F．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF＝AB，請(qǐng)寫出證明過程．【深入探究】（2）①如圖2，當(dāng)n＝2，且點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為M，若AB＝2，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析過程；（2）①＝，見解析過程；②當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，；（3）點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【解答】（1）證明：連接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；（2）①AE+BF＝AB，理由如下：過點(diǎn)D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，∴AD＝x，BD＝2x，∴AB＝3x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝2NE，∴AE+BF＝x+NE+（2x﹣FH）＝2x＝AB；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，過點(diǎn)D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE+BF＝x﹣NE+（nx+FH）＝2x＝AB；當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE﹣BF＝x+NE﹣（FH﹣nx）＝2x＝AB；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，；（3）如圖，連接CD，CM，DM，∵EF的中點(diǎn)為M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM＝EF，∴點(diǎn)M在線段CD的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)點(diǎn)E'與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F'在BC的延長(zhǎng)線上，當(dāng)點(diǎn)E''與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)F″在CB的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)M'作M'R⊥F'C于R，∴M'R∥AC，∴＝，∴M'R＝1，F(xiàn)'R＝CR，由圖2，設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x＝2，∴x＝，∵F'D＝BD＝nx，∴F'B＝2nx，∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1＝﹣1＝，由（2）可得：CD＝＝x?，DF″＝nDE″＝nx?，∴CF″＝（1+n2）x，∴CM″＝＝＝，∴RM″＝n，∴M″M'＝，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．四．切線的性質(zhì)（共1小題）10．（2023?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝6．過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BC．（1）求證：BC平分∠DCF；（2）G為上一點(diǎn)，連接CG交AB于點(diǎn)H，若CH＝3GH，求BH的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）2．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵CF是⊙O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠BCF＝90°，∵CD⊥AB，AB是直徑，∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，∴∠BCE+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE＝∠BCF，即BC平分∠DCF；（2）解：連接OC，OG，過G作GM⊥AB于M，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，∴OE＝＝1，∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM，∴△GMH∽△CEH，∴，∵CH＝3GH，∴，∴GM＝1，設(shè)MH＝x，則HE＝3x，∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，∴（4x﹣1）2+12＝（）2，解得x＝1（負(fù)值舍去），∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+＝2．五．圓的綜合題（共1小題）11．（2023?樂山）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【問題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個(gè)三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．【問題解決】（1）上述問題情境中“（_____）”處應(yīng)填理由：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）如圖2，小王將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A′B′C′的位置．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB′＝6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為cm；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問題．?【答案】【問題解決】（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①作圖見解答過程；②cm；【問題拓展】?jī)蓚€(gè)紙板重疊部分的面積是cm2．【解答】解：【問題解決】（1）根據(jù)題意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，故答案為：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①如圖：作線段BB'，AA'的垂直平分線，兩垂直平分線交于O，點(diǎn)O為所求；②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴△BOB'是等腰直角三角形，∵BB'＝6，∴OB＝＝3，∵＝（cm），∴點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為cm，故答案為：cm；【問題拓展】連接PA'，交AC于M，連接PA，PD，AA'，PB'，PC，如圖：∵點(diǎn)P為中點(diǎn)，∴∠PAB＝，由旋轉(zhuǎn)得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，在Rt△PAM中，PM＝PA?sin∠PAM＝4×sin30°＝2，∴A'M＝PA'﹣P