2022年北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二章函數(shù) 教學(xué)設(shè)計(jì)

第二章函數(shù)

2.1生活中的變量關(guān)系............................................................1

2.2函數(shù).........................................................................5

2.2.1函數(shù)概念...............................................................5

2.2.2函數(shù)的表示法..........................................................11

2.3函數(shù)的單調(diào)性和最值..........................................................16

2.4函數(shù)的奇偶性與簡單的鬲函數(shù).................................................26

2.4.1函數(shù)的奇偶性..........................................................26

2.4.2簡單累函數(shù)的圖象和性質(zhì)................................................31

2.1生活中的變量關(guān)系

【教材分析】

現(xiàn)實(shí)世界充滿著變量，一些變量之間存在著依賴關(guān)系，函數(shù)是揭示變量間依賴關(guān)

系的重要的數(shù)學(xué)概念，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作

用.本節(jié)內(nèi)容主要學(xué)生更好的認(rèn)識到生活處處有數(shù)學(xué)，只要做個有心人，我們可以隨

時隨地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.通過生活中的實(shí)際例子，引起學(xué)生積極的思考和交流，從而認(rèn)識到生活中處

處可以遇到變量間的依賴關(guān)系.能夠利用初中對函數(shù)的認(rèn)識，了解依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)

系的聯(lián)系與區(qū)別。

2.培養(yǎng)學(xué)生類比分析問題的能力，并通過對現(xiàn)實(shí)生活中依賴關(guān)系的觀察、分析

歸納和比較來提高學(xué)生的實(shí)踐能力.

二、核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：初中對函數(shù)概念的理解

2.邏輯推理：借助初中所學(xué)的變量之間的關(guān)系，分析生活中變量的關(guān)系，將函

數(shù)運(yùn)用于實(shí)際生活中，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識無處不在

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)變量之間的關(guān)系，列出相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式，從而解決實(shí)際問題

4.直觀想象：通過有些函數(shù)圖像的畫法，了解什么是分段函數(shù)。

5.數(shù)學(xué)建模:利用函數(shù)變量的關(guān)系，對于生活中，牽扯到有關(guān)變量的實(shí)際問題,

我們都可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，更好的解決一些問題。

【教學(xué)重點(diǎn)】

在于讓學(xué)生領(lǐng)悟生活中處處有變量，變量之間充滿了關(guān)系

【教學(xué)難點(diǎn)】

依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的差別

【教學(xué)準(zhǔn)備】

PPT

【教學(xué)過程】

1.知識探究：

例1：圖2-1是某高速公路加油站的圖片，加油站在地下常用圓柱體儲油罐儲存

汽油等燃料.儲油罐的長度d、截面半徑r是常量，油面高度h,油面寬度w、儲汕

量V是變量.

思考：V,h,w之間是否具有關(guān)系

結(jié)論：

儲油量V與油面高度h存在著依賴關(guān)系，也與油面寬度w存在著依賴關(guān)

對于油面高度h的每一個取值，都有唯一的儲油量V和它對應(yīng).但是，取一個油

面寬度w的值，卻對應(yīng)著兩個儲汕量V

例2自2008年京津城際列車開通運(yùn)營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發(fā)展.截

至2017年年底，中國高鐵運(yùn)營里程突破25000km.圖2-2表示的是中國高鐵年運(yùn)

營里程的變化.

里慳/km

25000

25000

22)00

2000019000

I64S6

15000

1102s

100009356*

6601

5133

5000

2699

672

01~—

2008200920102011201220132014201520162017年傷

圖2?2

思考：高鐵運(yùn)營里程與年份的關(guān)系

結(jié)論：

觀察圖2-2,不難看出：

(1)隨著時間的變化，高鐵運(yùn)營里程在變化，它與年份存在著依賴關(guān)系；

(2)從2008年到2017年，高鐵年運(yùn)營里程是不斷增加的，與前一年相比，2014

年增長得最多

同學(xué)回顧初中如何定義函數(shù)概念：

有兩個變量x和y,對于變量x的每一個值,變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，

那么y就是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

函數(shù)概念中需注意：

凡是要確定兩個變量具有函數(shù)關(guān)系，就要判斷“對于變量x的每一個值，變量y

都有唯一確定的值和它對應(yīng)”.

同學(xué)思考：

例1中，V與h是否具有函數(shù)關(guān)系；V與w是否具有函數(shù)關(guān)系

例3彈簧的伸長量x與彈力y滿足函數(shù)關(guān)系y=其中k為勁度系數(shù).對于變

量“伸長量”的每一個值，變量"彈力”都有唯一確定的值和它對應(yīng)，彈力y是伸長

量x的函數(shù).

例4表2-1記錄了幾個不同氣壓下水的沸點(diǎn)：

氣壓/(laPa.0.5d1.OQ2.0-5.0-10。

沸點(diǎn)/°a82d100。121P152/180^

表2-1

對于變量“氣壓”的每一個值，變量“沸點(diǎn)”都有唯一確定的值和它對應(yīng)，沸點(diǎn)

是氣壓的函數(shù).

例5綠化可以改變小環(huán)境氣侯.某市有甲、乙兩個氣溫觀測點(diǎn)，觀測點(diǎn)甲的綠化

優(yōu)于觀測點(diǎn)乙，圖2-3是這兩個觀測點(diǎn)某一天的氣溫曲線圖.為了方便比較，將兩條

曲線畫在了同一直角坐標(biāo)系中.每一條曲線都表示了一個函數(shù)關(guān)系，反映的都是對于

“時間”的每一個值,都有唯一確定的“氣溫”值和它對應(yīng).

例6國內(nèi)某快遞公司郵寄普通貨物限重30kg,從A城市到B城市的快遞資費(fèi)標(biāo)

準(zhǔn)是:質(zhì)量1kg及以下收費(fèi)12元，以后質(zhì)量每增加1kg收費(fèi)增加8元，質(zhì)量不足1

kg按1kg計(jì)算請寫出郵件的質(zhì)量6kg與郵資M元的函數(shù)解析式并畫出局部圖象.

解依題意知郵件的質(zhì)量6kg與郵資M元的函數(shù)解析式為

M一|28.2<m<3.

l244.29Ow<30.

該函數(shù)的局部圖象如圖2I.

v/jfcj

44

36

2S.

20-------

形如上述的函數(shù)，一般叫作分段函數(shù).

生活中存在著許許多多的函數(shù)關(guān)系,正是函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞“每一個”“唯

一”“對應(yīng)”恰當(dāng)?shù)胤从沉耸挛锾卣?

【課堂探討】

1.舉出生活中具有函數(shù)關(guān)系的一些實(shí)例

2.找出一個生活實(shí)例，說明兩個變量之間存在依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系

【教學(xué)反思】

1,判斷量與量之間的關(guān)系：是函數(shù)關(guān)系還是依賴關(guān)系

2.函數(shù)關(guān)系理解：每一個自變量有惟一確定因變量的值

2.2函數(shù)

2.2.1函數(shù)概念

【教材分析】

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.高中階段不僅把函數(shù)看成變量之

間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，高中階段更注重函數(shù)模型化的

思想.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，

在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的

作用：

2.會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

3.能夠正確表示某些函數(shù)的定義域；

【核心素養(yǎng)】

1.數(shù)學(xué)抽象：借助集合語言，抽象的概述函數(shù)的概念

2.邏輯推理：根據(jù)初中的函數(shù)概念，掌握函數(shù)變量之間的基本特性，從而引導(dǎo)

學(xué)生用高中集合的語言對函數(shù)的概念重新定義。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)的定義域；會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)：求函數(shù)值

4.直觀想象：對于函數(shù)的定義域，可以直觀理解為是滿足函數(shù)有意義的所有自

變量組成的集合。

5.數(shù)學(xué)建模:通過對函數(shù)的重新定義，讓學(xué)生了解到如何借助集合的語言可以抽

象的概述出函數(shù)的定義，這樣不僅讓學(xué)生學(xué)會建立數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)，也可以將這種

數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于實(shí)踐中。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)

【教學(xué)難點(diǎn)】

符號=的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示

【課前準(zhǔn)備】

PPT

【教學(xué)過程】

1.知識引入

初中學(xué)習(xí)了三個重要的函數(shù)類型：一次函數(shù)》=去+〃、一元二次函數(shù)

y=ax2+bx+c,和

反比例函數(shù)y=其中k,a,b,c為常數(shù)，攵工0,。工0.對于每一個x的取值，

x

都有唯一確

定的y值和它對應(yīng)，這是函數(shù)的基本特征.

2.函數(shù)概念抽象概述：

給定實(shí)數(shù)集R中的兩個非空數(shù)A和B,如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f使對于A中的每

一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫作定

義在A上的一個函數(shù)，記作尸f(x)其中集合A叫作函數(shù)的定義域,x叫作自變量，與

x值對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，集合"(x)|xeA｝叫作函數(shù)的值域.

【重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)】

1.函數(shù)是建立在數(shù)與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系

2.對應(yīng)關(guān)系指對應(yīng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)過程

3.=是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”

4.函數(shù)符號=中的“X)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值

【知識擴(kuò)充】

函數(shù)的三要數(shù)：定義域，解析式，值域

3.如何判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù)

方法：1.判斷兩個函數(shù)定義域是否相同;2.判斷兩個函數(shù)解析式是否一樣

同時滿足以上兩個條件，即為同意函數(shù)

例1下列各組中的兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)？

(1)/(X)=V?,g(X)=(五月

(2)(2)/(x)=x2,g(x)=(x+l)2

x2-\

(3)f(x)=----,g(x)=x-l

x+1

⑷/(x)=x+-,g(t)=t+-

Xt

解(1)因?yàn)榈亩x域是R,g(x)的定義域是[0,+8),兩個函數(shù)的定義域不同,

所以不是同一個函數(shù)；

(2)因?yàn)閮蓚€函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個函數(shù)；

(3)因?yàn)?(X)的定義域是-1},g(x)的定義域是R,兩個函數(shù)的定義域不

同，所不是同一個函數(shù)；

(4)/(口和g(z)雖然表示自變量的字母不同，但它們的定義域及對應(yīng)關(guān)系都相

同，所以是同一個函數(shù).

例2求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=2x+3+---

x-1

(2)y=ylx-l+—

X

(3)y=y[x+3+y/-x~3

解⑴為使函數(shù)有意義，只需解析式中分式的分母不為零，所以函數(shù)

y=2x+3+」一的定義域{x|xwl}

X-]

(3)為使函數(shù)有意義，只需解析式中的被開方數(shù)非負(fù)，且分式的分母不為0,

即

Jx+3>0___?

,所以y=4^1十一的定義域是{x|xN-3且XHO}

x

(x+3>0

(4)為使函數(shù)有意義，只需解析式中的被開方數(shù)非負(fù)，即(-43之0,所以函

數(shù)y=Jx+3+J-x-3的定義域{k|x=-3}={3}

【題型歸類】

題型一：函數(shù)概念考核：

1.下列從集合M到集合N的對應(yīng)關(guān)系中，其中y是x的函數(shù)的是()

A.A/={x|xeZ},N={y\JGZ},對應(yīng)關(guān)系其中y=

B.M={x\xX)txGR),N={y|yeR},對應(yīng)關(guān)系其中y=±2x

C.M={X\XGR},N={y|jGR),對應(yīng)關(guān)系其中y=/

D.M={x\xeR}?N={y|jeR),對應(yīng)關(guān)系/:x—>y,其中y二-

【解析】解:A.M中的一些元素，在N中沒有元素對應(yīng)，比如，x=3時，y=N,

???)不是x的函數(shù)；

B.”中的任意元素x,在N中有兩個元素i2x與之對應(yīng)，不滿足對應(yīng)的唯一性，

???y不是x的函數(shù)；

C.滿足在M中的任意元素x,在集合M中都有唯一元素X?與之對應(yīng)，?,?》是x的

函數(shù)；

D.M中的元素0,通過y=2在N中沒有元素對應(yīng)，???丁不是x的函數(shù).

X

故選：C.

題型二：判斷函數(shù)是否為同一函數(shù)

2.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①/(x)=l=g(x)=——1

X

②/⑶二/⑴二必與

③/(x)=x°=g(x)=l

@f(x)=x2-2x-i^g(t)=t2-2t-\

A.①

B.②

C.③

D.④

【解析】解：①中函數(shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù),

②函數(shù)的值域不相同，不是同一函數(shù)，

③函數(shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)

④是同一函數(shù)，

故選：D.

題型三：求函數(shù)定義域

3.函數(shù)的定義域?yàn)?)

x

A.(-00,1]

B.(-oo,0)

C.(-oo,0)u(0,1]

D.(0,1]

【解析】解：要使函數(shù)有意義，貝

得11即E且…，

即函數(shù)的定義域?yàn)?-oo,0)u(0,l]，

故選：C.

4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,1),則函數(shù)/(l-3x)的定義域是()

C.(-1,1)

D.(0,j

【解析】解：???/(2彳-1)的定義域?yàn)?0,1),

???0<r<l,

A-K2x-l<l,

???/(x)的定義域?yàn)?-U),

?，?/(I-3x)需滿足—1VI—3rQ,解得,

???/(I-3x)的定義域?yàn)?0,|).

故選：D.

題型四：關(guān)于函數(shù)值的問題

5.己知函數(shù)/(21-4)=/+1,則八2)的值為()

A.5

B.8

C.10

D.16

【解析】解：???函數(shù)八2%-4)=爐+1,

???/⑵=/(2X3-4)=32+1=10.

故選：C.

6.已知函數(shù)/(幻=上4,記/(2)+/(3)+/(4)+..+/(10)=〃?

x-1

G)+同+/(;)+…+/向=“,則…=()

A,-9

B.9

C.10

D.-10

【解析】解：???函數(shù)〃%)=巖,

x-1

-+2

:'/?+/3+X

X-1

--1

X

???/⑵+/（3）+/⑷+…+/（10）=%/（；）+/（：）+/（；）+...+｛《）=〃，

.*./?+/?=9x（—1）=—9.

故選：A.

【教學(xué)反思】

從具體實(shí)例引入了函數(shù)的的概念，用集合與對應(yīng)的語言描述了函數(shù)的定義及其相

關(guān)概念，介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的典型題目，引入了區(qū)間的概念來表示

集合。

2.2.2函數(shù)的表示法

【教材分析】

根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)有三種最常用的表示法：解析法、列表法、圖象法，這三

種表示法在體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)方面各有優(yōu)勢，根據(jù)不同情況采用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示形式，有

助于深入理解相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，養(yǎng)成運(yùn)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的習(xí)慣。掌握函數(shù)三

種形式的相互轉(zhuǎn)換，為進(jìn)今后學(xué)習(xí)新的函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的性質(zhì)做好知

識和方法準(zhǔn)備。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

1.知識目標(biāo)：掌握函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法；靈活運(yùn)用函

數(shù)的三種表示法研究函數(shù)的性質(zhì)；熟練作出部分常見函數(shù)（分段函數(shù)、取整函數(shù)、絕

對值函數(shù)等）的圖象；掌握函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算、函數(shù)解析式的求解方法等。

2.核心素養(yǎng)目標(biāo)：熟練掌握函數(shù)的三種表示法，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和直觀想象能力。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法；

2.準(zhǔn)確作出部分常見函數(shù)（分段函數(shù)、取整函數(shù)、絕對值函數(shù)等）的圖象；

3.函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算、函數(shù)解析式的求解方法等。

【課前準(zhǔn)備】

多媒體課件

【教學(xué)過程】

一、知識引入

提到“函數(shù)”，同學(xué)們立刻想到的是什么？

可能是初中學(xué)過的形如“y二E、y=ax+b.y=ax2+bx+c^ff,這些正比例函

數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)…等等。這些都是解析式形式的函數(shù)。

思考討論：

如圖，是我國最大的水庫一一三峽水庫上游某個地區(qū)年降雨量的統(tǒng)計(jì)圖，圖中表

示了年號與降雨量之間的對應(yīng)關(guān)系，那么它們是不是函數(shù)關(guān)系呢？能不能用精確的解

析式表示呢？

2nm2001200220032004200620072nM20102ml2OI22OI32OI4

年序

提示：是函數(shù)關(guān)系，但沒有精確的函數(shù)解析式。

二、新知識

函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法

將變量的函數(shù)關(guān)系用代數(shù)式表示，是函數(shù)表示方法的解析法；用表格給出變量之

間的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)表示方法的列表法；用圖形給出變量之間的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系,

是函數(shù)表示方法的圖象法。

上圖分別是用列表法、圖象法表示的列車時刻表和成績變化圖。

注意：①函數(shù)的三種表示法各有優(yōu)勢.

解析法；變量之間的關(guān)系明確，便于精確計(jì)算，但不夠直觀，某些函數(shù)無法用解

析式表示；

列表法：變量之間的對應(yīng)關(guān)系直觀、明了，不需計(jì)算，但數(shù)據(jù)量有限；

圖象法：直觀地顯示出變量的關(guān)系、變化規(guī)律和函數(shù)的性質(zhì)，使抽象的函數(shù)具體

化，但無法進(jìn)行精確運(yùn)算，如求函數(shù)定義域、求精確的函數(shù)值等。

②靈活運(yùn)用函數(shù)的三種表示法，可以清楚、全面的了解函數(shù)的性質(zhì).

“描點(diǎn)法”作函數(shù)圖象的一般步驟：解析式（得到函數(shù)定義域等），列表（算出

一些對應(yīng)值），描點(diǎn)連線（光滑曲線連接）。

③并非所有函數(shù)都有解析式，也并非所有函數(shù)都能畫出圖象，如狄利克雷函數(shù):

乙、fL%為有理數(shù)，

f（x）=<.

x為無理數(shù).

例3.畫出函數(shù)y=因的圖象.

解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,由絕對值的定義，y=畫出圖象，其圖象

I-x,x<0

為第一、二象限的角平分線。

例4.設(shè)%是任一實(shí)數(shù)，[刈表示不超過》的最大整數(shù)，如[-3.14]=T、=

[3.14]=3、[0.14]=0等等，我們把函數(shù)y=[x]叫作取整函數(shù)（高斯函數(shù)）。試畫出

取整函數(shù)y=印的局部圖象.

解：根據(jù)題意，函數(shù)y=團(tuán)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閆.

-2,?xe--I

-1,?XG[-)

y=[']="0,?XG[)(

1,?xe[)1

2,?xe[)7

思考討論(綜合練習(xí))

(1)根據(jù)條件，求函數(shù)解析式/a).

①f(x+1)二/一3工+2；

②/(五-2)=21+3;

③小

④已知/(x)是一元二次函數(shù)，且滿足f(0)=0;/(X+1)=/(X)4-X4-1.

(2)若函數(shù)=f一21+4的定義域?yàn)椋?,團(tuán)，值域?yàn)椋?,4］,求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

提示：(1)①設(shè)x+l=r,Mx=r-1,W/(r)=(r-l)2-3(/-l)+2=r2-5r+6

所以/(x)=x2-5x+6；

②設(shè)yfx-2=ti貝lj/N-2,得x=(r+2)2,

則/(1)=2(r+2)2+3=2r2+8;+ll(r>-2)

所以〃X)=2X2+8X+11&N-)；

③由均值不等式，x+—>2>/fx+—l=x2+-y=(x+—)2-2,

所以f(x)=爐-2(|H>2)；

2

@iSf(x)=ax+bx+ct由"0)=0,則。=0,即/'(x)=&+bx

又/(x+l)=/(x)+x+l,BPHx+D?+b(x+1)=ax2+bx+x+\

^ar2+(2a+/?)x+(a+b)=ar2+(Z>+1)x+\

則產(chǎn)+了+1,解得"2

a+b=1,1

1^=2

所以=

(2)作出一元二次函數(shù)，(幻=爐-2工+4的圖象.

拋物線對稱軸x=l,函數(shù)的最小值/(I)=3,如圖

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍\<m<2.

三、課堂練習(xí)

教材P55,練習(xí)1、2、3、4、5.

四、課后作業(yè)

教材P56,習(xí)題2-2,A組第3題，B組第2、3、4題.

【教學(xué)反思】

函數(shù)的圖象法表示，是函數(shù)表示中非常重要的一種表示方法，它直觀、具體地反

映了函數(shù)的性質(zhì)，彌補(bǔ)了數(shù)、式的枯燥與抽象，是“數(shù)形結(jié)合”思想方法的主要內(nèi)容

之一，不僅在研究函數(shù)中經(jīng)常使用，在日常生活中用途也非常廣泛。

2.3函數(shù)的單調(diào)性和最值

【第一課時】

【教材分析】

函數(shù)的單調(diào)性和最值的第一課時，主要學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的變化趨勢（單

詭性的定義）及簡單的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個、也是最基本的一個性

質(zhì)，對于分析函數(shù)性質(zhì)、求函數(shù)最值、比較大小、解不等式、函數(shù)零點(diǎn)的判定以及其

他函數(shù)綜合問題等，都有重要的應(yīng)用，掌握函數(shù)單調(diào)性的定義和應(yīng)用，為學(xué)習(xí)累函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，包括導(dǎo)函數(shù)等做好準(zhǔn)備。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

1.知識目標(biāo)：利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；掌握函數(shù)的

單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，及作差結(jié)果符號的判斷方法；熟悉常見函

數(shù)（絕對值函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的單調(diào)性及簡單應(yīng)用。

2.核心素養(yǎng)目標(biāo)：通過函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)和簡單的應(yīng)用，體會數(shù)形結(jié)合、

分類討論等基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象能力。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

（1）利用函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性、尋找函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，及作差結(jié)果符號

的判斷方法；

（3）常見函數(shù)（絕對值函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的單調(diào)性及簡單應(yīng)用。

【課前準(zhǔn)備】

多媒體課件

【教學(xué)過程】

一、知識引入

初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)）=丘的圖象和性質(zhì)，當(dāng)AX）時，直線是向右上，即函數(shù)

值y隨X的增大而增大，當(dāng)&vo時，直線向右下，即函數(shù)值）'隨X的增大而減小。同樣

二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，也有類似的性質(zhì)。

思考討論:

（1）如圖，是某位同學(xué)從高一到高三上學(xué)期的考試成績的統(tǒng)計(jì)圖，從圖中，你

可以得出該同學(xué)成績是怎樣變化的呢？

4

7

10口

16

19

22?

28”

34

37

40

提示：高一時成績在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考試成

績逐步提高，到高三上期時已經(jīng)進(jìn)入前五名。

（2）如圖，是函數(shù)的圖象，說出在各個區(qū)間函數(shù)值/□）隨x的

值的變化情況。

提示：在區(qū)間［-6，-5］、［-2刀、［3,4.5］、［7,8］上，函數(shù)值八"）都是隨x的值的增大而

增大；

在區(qū)間［-5,-2］、［1,3］、［4.5,7］、［8,9］上，函數(shù)值f（x）都是隨x的值的增大而減小。

二、新知識

一般地，在函數(shù)y=/（x）定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上。

如果對于任意的石，當(dāng)再V/時，都有〃N）＜/（面），那么就稱函數(shù)

y=在區(qū)間A上是增函數(shù)或遞增的；

如果對于任意的匹，再￡A,當(dāng)玉V電時，都有了（M）》（再），那么就稱函數(shù)

y=AM在區(qū)間A上是減函數(shù)或遞減的。

注意；

①函數(shù)y=/（x）在區(qū)間A上是增函數(shù)（減函數(shù)），那么就稱函數(shù)在區(qū)間A上是單

調(diào)函數(shù)，或稱在區(qū)間A上具有單調(diào)性，區(qū)間4稱為函數(shù)y=單調(diào)區(qū)間。

如：一元二次函數(shù)/（'）=/在區(qū)間［0,田）上是單調(diào)增函數(shù)（單調(diào)遞增），區(qū)間

四”）是函數(shù)/（"）=爐的單調(diào)增區(qū)間；

②增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的；

③“函數(shù)在區(qū)間A上單增”與“函數(shù)的單增區(qū)間是A”兩種敘述含義是不同的。

如：函數(shù)/（%）二/一2"-1的單調(diào)遞增區(qū)間為⑵go）,則對稱軸a=2；

函數(shù)〃））=爐-2aLi在區(qū)間［2,w）上單調(diào)遞增，則對稱軸心2。

④函數(shù)［的定義域?yàn)椋ā悖?E），由函數(shù)圖象可知，在兩個區(qū)間上函數(shù)

都是單調(diào)遞減的，但不能說成“函數(shù)在定義域內(nèi)遞減”或“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

（YO,0）D（0,E）”，而只能說“函數(shù)在區(qū)間（口，⑺和區(qū)間（0，”）上都是遞減的”。

例1.設(shè)"“>nJ—。），畫出函數(shù)/（”+3）（=-3）的圖象，并通過圖象直觀判

斷它的單調(diào)性。

解：函數(shù)"'+3）=不（—一3）,其圖象是函數(shù)；的圖象向左平移3個單

位得到，如圖，該函數(shù)在區(qū)間（-8，-3）上單調(diào)遞減。

例2.根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷y=i、Ti的單調(diào)性。

解：函數(shù),=僅-1|={;二;:畫出該函數(shù)的圖象，如圖，函數(shù)在區(qū)間（-81］

上是減函數(shù)，在區(qū)間【Lx°）上是增函數(shù)。

例3.判斷函數(shù)〃M=-3X+2的單調(diào)性，并給出證明.

解：畫出函數(shù)/（”）=-3X+2的圖象，如圖，可以看出函數(shù)在R上是減函數(shù).

下面用定義證明這一單調(diào)性.

任取X,用eR,且處〈42,則內(nèi)一聲＜0

/（國）一/（論）=（-3匹+2）-（一3電+2）=-3（用一死）〉。，即/（%）＞/（%）

所以函數(shù)/（2=-3x+2在R上是減函數(shù).

思考討論（綜合練習(xí)）

（1）二次函數(shù)〃工）=爐+2"+2在區(qū)間［1,2］上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)/（"卜47二1一?，證明：當(dāng)。之1時，函數(shù)”工）在區(qū)間⑼口）上是

減函數(shù)；

（3）已知。＞0,函數(shù)〃M=是區(qū)間口小）上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取

值范圍;

(4)設(shè)實(shí)數(shù)YR,函數(shù)在區(qū)間[fj+1]上的最小值是g(f),求

g(0并畫出y=g⑺的圖象。

提示：(1)二次函數(shù)/(、)=爐+2"+2,圖象拋物線開口向上，對稱軸工=-。

函數(shù)在區(qū)間口，2]上單調(diào)，則YW1或TZ之2,所以。的取值范圍為。釬2或。之一

(2)設(shè)西,%e[0,+8),且再<々

/(^l)-/(^)=(V^l2+l-^l)-(V^22+l-^2)

=Jxj+1-5電？+]-4(石一電)

“3工+廠(…)

二…—加.

因?yàn)槠&,所以用一為v°

________'+__<]二+至y

J-，+1+y]=+1>匹+%,y1爐+1+J%?+1,.2],所以J%?+[++]

⑸X)

即/(匹)>/(工2)

函數(shù)”I)在區(qū)間O+8)上是減函數(shù)

(3)任取否〈電，且匹，電￡口,+8)

/(用)-/(工2)=(婷-公1)-(々3-然)=(匹3-電3)一。(匹72)

22

=(X|-Xj)(X1+x2+x1x2-a)

2

x]tx2e[l,+a>),得為2+x2+X|X2>3

根據(jù)題意，￥+82+4用一”的符號恒正或恒負(fù)，故。<3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是33].

(4)畫出函數(shù)〃乃二/一2八-1的圖象，如圖，拋物線對稱軸為x=l

當(dāng)r+KI時(V。),函數(shù)在區(qū)間H/+1］上單調(diào)遞減，

/(X)加=g")=/('+1)二產(chǎn)一2.

9

當(dāng)/<lK/4-l>1時(OKFG),函數(shù)在區(qū)間［U+1］上的最小值為

/(蟲”=g(r)="l)=—2.■

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上"+1］上單調(diào)遞增，/(M*=g(')=")=產(chǎn)—2-1.

(t2-2,t<0

綜上，g(t)={-2,0<t<1,畫出函數(shù)圖象如圖：

(t2-2t-1,t>1

三、課堂練習(xí)

教材P60,練習(xí)1、2、3o

四、課后作業(yè)

教材P62,習(xí)題2-3：A組第1、2、3、4題。

【教學(xué)反思】

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它反映了函數(shù)的變化趨勢，通過函數(shù)圖象,

可以直觀、定性地進(jìn)行初步判斷，要精確地判斷函數(shù)的單調(diào)性，還是要根據(jù)定義證明，

今后還要學(xué)習(xí)其他方法(導(dǎo)數(shù)等〕判斷函數(shù)的單調(diào)性。

在函數(shù)的很多問題中(求值域、求極值等)都要用到函數(shù)的單調(diào)性。

【第二課時】

【教學(xué)分析】

上一節(jié)，同學(xué)們己經(jīng)可以利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的

定義以及用定義證明函數(shù)的單調(diào)性、找出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，本節(jié)課在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)

復(fù)雜函數(shù)(雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等)單調(diào)性的分析和證明，達(dá)到熟練運(yùn)用

函數(shù)單調(diào)性，解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

(1)知識目標(biāo)：

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；復(fù)雜函數(shù)(雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)

合函數(shù)等)單調(diào)性的分析和證明；熟練利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)、不等式等函數(shù)綜

合問題。

(2)核心素養(yǎng)目標(biāo)：

通過函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高

學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象能力。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

2.復(fù)雜函數(shù)(雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等)單調(diào)性的分析和證明；

3.利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)、不等式等函數(shù)綜合問題。

【課前準(zhǔn)備】

多媒體課件

【教學(xué)過程】

思考討論：

(1)增函數(shù)和減函數(shù)的定義是什么？

提示：在函數(shù)y=/(%)定義域內(nèi)的一個區(qū)間力上，如果對于任意的W4，當(dāng)

V%2時，都有/(%i)，就稱函數(shù)y=/(%)在區(qū)間4上是增函數(shù)；如果都

有/(/)(X2)，就稱函數(shù)y=/0)在區(qū)間A上是減函數(shù)。

(2)如果有兩個函數(shù)y=/(%)和、=g(%),在同一個區(qū)間/上都是單增(單減)

函數(shù)，那么函數(shù)y=/(%)+g(%)的具有怎樣的單調(diào)性？能不能判斷函數(shù)y=/(%)-

g(%)的單調(diào)性呢？

提示：函數(shù)、=/0)+9(切也是單增(單減)函數(shù)，函數(shù))，=/(%)-g(%)的單

調(diào)性不確定。

例4.判斷函數(shù)f(%)=正的單調(diào)性，并給出證明.

下面給出證明：

設(shè)%1，%2€［°，+8)，且％1<%2，則%2Vo

/Q1)一/(%2)=后-伍=/黑，??,后十怎>0,.,?/(%1)

一/3)<o

即/(%1)<f(%2)，所以函數(shù)f(%)=4在定義域。+8)上是增函數(shù).

例5.試用定義證明：函數(shù)/&)=%+：在區(qū)間(0,1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［1,+8)

上是增函數(shù).

解：設(shè)W(0,1］，且%1V%2,則2Vo

)_/3)=&+9_&+￡)=-然=—(i-

1\(X1X2-1)

#1犬2/xlx2

\,xltx2E(0,1］，.*.0<xrx2<1,xxx2-1<0,又％i—不<o

/(%)-f(%2)>0，即函數(shù)/(%)=X+1在區(qū)間(0,1］上是減函數(shù).

同理可證，函數(shù)/(%)=%+：在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù).

注意：

①函數(shù)y=x+；在區(qū)間(0,1］上是減函數(shù)，在區(qū)間口,+8)上是增函數(shù).

在區(qū)間(0,+8)上，由函數(shù)的單調(diào)性或由均值不等式工+工22,可得當(dāng)％=1時,

X

函數(shù)y=%+1取得最小值2,同理也可以得到XE(-8,0)時函數(shù)的單調(diào)性。畫出該函

數(shù)的圖象，如圖，該函數(shù)又叫雙曲函數(shù).

形如/(%)=?%+：(a>0,Z?>0)的函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上也具有類似的性

質(zhì)，根據(jù)均值不等式，可得當(dāng)x=Jj時，函數(shù)取得最小值2面，函數(shù)在區(qū)間(0小

上是減函數(shù)，在區(qū)間［電,+8)上是增函數(shù)；

②設(shè)y足”的函數(shù)、=fQ),譏是％的函數(shù)a=g(x),其中函數(shù)a=g(x)的值

域是函數(shù)y=/(〃)的定義域或子集，則函數(shù)y=/(g(%))稱為函數(shù)y=/(〃)與函數(shù)

u=g(x)的復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性常采用分層分析的方法：

如：函數(shù)y=+1,令〃=/+1,則y=向

2

當(dāng)工€(—oo,0)時，x7,u=x+1\fy=y/u\,所以函數(shù)y=在x6

(-00,0)時單減，

當(dāng)％W(0,+oo)時，x7,u=x2+17,y=y［u7,所以函數(shù)y=Yx?+1在％w

(-oo,0)時單增，

其中代表增大，代表減小.

③有些函數(shù)問題中(如求值域、求最值等)，如果要用到函數(shù)的單調(diào)性，而又不

需證明，可以通過分析的方法，得到函數(shù)的單調(diào)性.

如：求函數(shù)/(%)=上?在區(qū)間［2,3］上的最值.

X—1

/)=3=熱土=一2--，

/、/X-lx-lX-1

當(dāng)％W［2,3］時，隨著-^7,所以函數(shù)/(%)/,即函數(shù)單增.

所以/Onin=/⑵=-3,fMmax=/(3)=

思考討論(綜合練習(xí))

(1)如果函數(shù)/(%)=%?+加+c,對任意實(shí)數(shù)%都有/'(2+久)=f(2-,

試比較〃一3)、/(2)、/(3)的大??；

(2)函數(shù)/(%)=［2：+在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍

/tax+a-lx>0

(3)求函數(shù)y=R3-2%一公的單調(diào)區(qū)間;

(4)已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)f(%),滿足：i)對任意居y€(0,+8),

都有f(%y)=/(%)+f(y)；ii)當(dāng)0<%v1時，/(%)>0.

①判斷并證明f(%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

②解關(guān)于a的不等式/(I-2Q)-f(4-a2)>0.

提示：(1)根據(jù)題意，對任意實(shí)數(shù)%都有f(2+%)=/(2-x),則二次函數(shù)圖

象的對稱軸為％=2,拋物線開口向上，所以離對稱軸距離越遠(yuǎn)的自變量，對應(yīng)的函

數(shù)值越大，所以f(-3)>/(3)>f⑵.

(2)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則在％>0時單增，且在分界點(diǎn)％=0處，右側(cè)函數(shù)值

不小于左側(cè)函數(shù)值，即a>0且Q-121,得Q22,所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍為a22.

(3)函數(shù)有意義，則3-2%-720,得一34x41,所以函數(shù)定義域?yàn)椋垡?,1］

設(shè)〃=3-2%-7,函數(shù)對稱軸為工二-1,y=Vu

當(dāng)xW［-3,-1］時，x7,u7,y=Vu7,函數(shù)的遞增區(qū)間為［一3,-1］；

當(dāng)xW|-l,l］時，x7,u\,y=Vu函數(shù)的遞減區(qū)間為

所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為［—1,1］.

(4)①：設(shè)X］,X2E(0,+8),且X1VX2

f(Xx)-f(X2)=fg-x2)-f(x2)=喧)+f(x2)-f(x2)=fg).

因X1VX2，故0V券■<!■,得，(打>0

f(Xi)-f(x2)>0,函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單減.

②不等式f(l-2a)-f(4-a2)>0即f(l-2a)>f(4-a2)

1-2a>0

由函數(shù)的定義域和單調(diào)遞減，得4-a2>0,解得一1<aVa

.1—2a<4—a"

三、課堂練習(xí)

教材P62,練習(xí)1、2、3.

四、課后作業(yè)

教材P62,習(xí)題2-3：A組第5題，B組第1、2、3、4題.

【教學(xué)反思】

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，有關(guān)函數(shù)的很多問題中，均以函數(shù)的單調(diào)

性為基礎(chǔ)，比如求函數(shù)的值域、求函數(shù)的極值等等，大家在掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)

性同時，也要掌握分析函數(shù)單調(diào)性的方法。

2.4函數(shù)的奇偶性與簡單的騫函數(shù)

2.4.1函數(shù)的奇偶性

【教材分析】

函數(shù)奇偶性是函數(shù)的又一個重要性質(zhì)，是函數(shù)概念的拓展和深化，奇偶性充分體現(xiàn)了函數(shù)圖

象在研究函數(shù)性質(zhì)的重要性，滲透了探索發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。奇偶性的

教學(xué)在知識和能力方面對學(xué)生的教育起著非常重要的作用，是后續(xù)學(xué)習(xí)暴出數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)

函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，本節(jié)課起著承上啟下的重要作

用。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

i.知識目標(biāo)：理解、掌握函數(shù)奇偶性的概念、圖象特征和性質(zhì)；能夠根據(jù)定義和圖象判斷

簡單函數(shù)的奇偶性；能夠應(yīng)用定義證明和解決與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題。

2.核心素養(yǎng)目標(biāo)：通過函數(shù)奇偶性概念的學(xué)習(xí)和簡單的應(yīng)用，體會數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等

基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象能力。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.函數(shù)奇偶性的概念、圖象特征和性質(zhì)；

2.根據(jù)定義和圖象判斷簡單函數(shù)的奇偶性；

3.用定義證明和解決與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題。

【課前準(zhǔn)備】

多媒體課件

【教學(xué)過程】

一、知識引入

在日常生活中，我們經(jīng)常會看到一些具有對稱性的圖片，如美麗的蝴蝶、精彩的剪紙等等。

思考討論：

（1）上列各圖，分別是怎樣的對稱圖形？

提示：第1、2圖為軸對稱圖形，第3、4圖為中心對稱圖形.

（2）在我們學(xué)習(xí)的函數(shù)中，有些函數(shù)的圖象也具有對稱性，請舉出幾個這樣的函數(shù);

提示：一元二次函數(shù)圖象（軸對稱）、反比例函數(shù)圖象（中心對稱）等等.

例1.畫出函數(shù)/（%）=/的圖象，并觀察它的對稱性.

解：先列表，然后描點(diǎn)、連線，得到函數(shù)圖象如圖

(3)上例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的，你能說出函數(shù)解析式是怎樣體現(xiàn)這個性質(zhì)的

嗎？

提示：對于定義域中任一個自變量的取值%0,都有函數(shù)值f(-%0)=-/夕0>.

二、新知識

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(》)定義域?yàn)?

如果當(dāng)xw4時，有一％w4,且f(-幻=一/(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)；

如果當(dāng)％64時,有一“€4且/?(-%)=/'(x),那么就稱函數(shù)y=/(%)為偶函數(shù)。

如：函數(shù)/(幻=%2、/(外=：等等

注意：

①當(dāng)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，稱函數(shù)f(x)具有奇偶性。

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，反之亦然；

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,反之亦然。

②函數(shù)具有奇偶性的前提是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③若奇函數(shù)y=/(%)是在％=0處有定義，則有f(0)=0；

④如果已知了一個函數(shù)的奇偶性，那么在研究它的性質(zhì)時，可以先研究其在非負(fù)區(qū)間

[O.+oo；上的性質(zhì)，然后利用對稱性可得在y軸另?一側(cè)函數(shù)的性質(zhì).

例2.根據(jù)定義，判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)fix)="2xs；

(2)g(x)=x4+2；

(3)h(x)=專;

⑷m(x)

解：(1)函數(shù)/(%)=-2必定義域?yàn)榉矊θ我猓?R,有

/(-x)=-2(-x)5=2x5,-/(x)=2x5.

得/■(—￡)=—/?(3)，所以函數(shù)為有函數(shù).

(2)函數(shù)g(%)=/+2定義域?yàn)镽,對任意有

g(-x)=(-x)4+2=%4+2,得g(r)=g(x),

所以函數(shù)為偶函數(shù).

(3)函數(shù)九(%)=妥定義域?yàn)閧木工0},對任意％e{X|黑工0},有

九(一%)=-z=&得九(一%)=八(%)，

(-X)x

所以函數(shù)為偶函數(shù).

(4)函數(shù)加(幻=會定義域?yàn)椋鸛X工-2｝,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)

也不是偶函數(shù).

思考討論(綜合練習(xí))

(1)根據(jù)定義，判斷下列函數(shù)的奇偶性:

?/(x)=V1-x2+y/x2—1

(x2+xX<0

l-x2+x%>0

③/(%)

|x+2|-2

Vxz4-1+X-1

?fMVx2+l+x+l

(2)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)％>0時，/(x)=-x2+2x+1.

①求函數(shù)f(%)的解析式；

②若函數(shù)在(-1,。-2)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

提示：(1)①函數(shù)有意義，則￡二：：；，即定義域?yàn)長U｝，有/(公=0，

此時既有/?(-%)=-/?,又有八一為=/(x)

所以函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

②函數(shù)定義域?yàn)镽,/(0)=0

若%>0,則一％V0,

有/(r)=(-X)2+(-x)=x2-x,-fW=x2-x,W/(-x)=-f(x)

若x<0,則一x>0,

有f(r)=-(-x)2+(-x)=-x2-x,-/(x)=-x2-x,仍有/'(r)=-/(x)

所以函數(shù)為奇函數(shù).

③函數(shù)有意義，則[[即定義域?yàn)閇-1,0)U(0,1],函數(shù)即為/?(%)=三三

\\X十Z|—ZHUx

易得;?(-%)=-/(X)

所以函數(shù)為奇函數(shù).

④函數(shù)定義域?yàn)镽,對任意XWR,有

「/、了/、Vx2+1-X-1Jx2+1+x-1-2A+2x八

f(-x)+f(x)=-----------+,---------------=-.----------------------------------------------=0

dX2+1—X+1x/x2+1+X+1(Vx2+1-x+1)G/%2+1+x+1)

W/(-x)=-fW

所以函數(shù)為奇函數(shù).

(2)①函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)%V0,則一%>0

/(—x)=—(—x)24-2(—x)+1=-X2—2%+1.

又函數(shù)為奇函數(shù)，/(-x)=-/(%),上式即為2%+1

得f(%)=x2+2x-l

(-x2+2x+lx>0

所以函數(shù)/'(%)=]Ox=0

(x24-2x-1%<0

②函數(shù)在(-1,。-2)上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象，如圖

則憶短j解得IV—3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1VaW3.

注意：

①奇偶性的定義是判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，某些函數(shù)，如果不易直接看出/(-幻與外幻的

關(guān)系，可以通過驗(yàn)證人一切+/(幻=?；?(一切一/(幻=0來判斷函數(shù)的奇偶性；

②奇函數(shù)如果在工