2022年高考數(shù)學二輪復習專題十直線平面平行的判定與性質學生版

專題十直線、平面平行的判定與性質1．線面平行的判定定理與性質定理1．在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且平面，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點的軌跡是一條線段 B．與是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐F-ABD2．已知直三棱柱中，，點D是AB的中點．（1）求證：平面；（2）若底面ABC是邊長為2的正三角形，，求三棱錐的體積．3．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，，E為棱PC的中點．（1）證明：平面PAD；（2）求二面角的余弦值．4．如圖，，分別是正三棱柱的棱，的中點，且棱，．（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值．5．如圖，在三棱柱中，為棱的中點，平面．（1）試確定點的位置，并證明平面；（2）若是等邊三角形，，，且平面平面，求四面體的體積．6．如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，分別是，，，的中點，，與交于點，與交于點，連接．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．7．如圖，三棱錐中，AC，BC，PC兩兩垂直，，E，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點，的面積為8，四棱錐的體積為4．（1）若平面平面，證明：；（2）求二面角的余弦值．8．將一本書打開后豎立在桌面上（如圖），P，Q分別為AC，BE上的點，且．求證：平面．9．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，平面，且，是棱上的動點．（1）求證：平面平面；（2）若平面，求的值．2．面面平行的判定定理與性質定理1．（多選）在下面四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形是（）A． B．C． D．2．如圖，在正方體中，，，，分別是棱、、、的中點，是的中點，點在四邊形及其內部運動，則滿足________時，有平面．3．如圖，在正方體中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，SC的中點，求證：（1）EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．4．如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由．5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．（1）證明：平面BMN∥平面PCD；（2）若AD＝6，求三棱錐P-BMN的體積．6．如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，，分別為棱，的中點．（1）證明：平面；（2）若，求點到面的距離．7．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點．（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值．8．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．9．如圖，在長方體中，，P是中點．（1）求證：直線平面PAC；（2）在棱上求一點Q，使得平面平面，并證明你的結論．10．在三棱柱中，（1）若分別是的中點，求證：平面平面；（2）若點分別是上的點，且平面平面，試求的值．答案與解析1．線面平行的判定定理與性質定理1．【答案】C【解析】對于A．設平面與直線交于點，連接、，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，則易得，又平面，平面，平面，同理可得平面，、是平面內的相交直線，平面平面，由此結合平面，可得直線平面，即點是線段上的動點．A正確；對于B．假設直線共面，由題意點在側面上，且三點不共線，所以直線共面于側面，則平面，這就與在正方體中，平面相矛盾，故假設不成立，即與是異面直線，B正確；對于C，連接，由分別為的中點，則，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，故當點與點重合時，與平行，C錯誤；對于D，由選項A的過程可知，又，所以，又，分別為，的中點，所以，所以，則，平面，平面，所以平面，則到平面的距離是定值，三棱錐F-ABD1的體積為定值，所以故選C．2．【答案】（1）證明見解析；（2）1．【解析】（1）連接交于點E，連接DE，∵四邊形是矩形，∴E為的中點，又∵D是AB的中點，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，D是AB的中點，∴，又∵面ABC，面ABC，∴．又∵面，面，，∴面，∴CD為三棱錐的高，，又∵，，∴，，∴三棱錐的體積．3．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）在四棱錐中，取線段PD的中點F，連接AF，EF，如圖，因E為棱PC的中點，則，，而，，于是得，，即四邊形ABEF是平行四邊形，有，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）在四棱錐中，在平面內過P作交CD于O，連接AO，因平面平面ABCD，平面平面，則平面，平面，即有，因，，則，，而，有，則，顯然OA，OC，OP兩兩垂直，以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，，，，設平面的一個法向量，則，令得：；設平面的一個法向量，則，令得：，則，顯然二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值是．4．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：在線段上取中點，連接、．因為是的中位線，所以，且．又因為，且，所以，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中點，因為三棱柱是正三棱柱，所以是等邊三角形，所以．分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，所以，．設平面的一個法向量為，則，取，則．因為平面的一個法向量為，所以，所以銳二面角的余弦值為．5．【答案】（1）延長，交的延長線于點N，證明見解析；（2）．【解析】（1）延長，交的延長線于點N．∵，平面，∴平面．又∵，∴平面，點N即為所求．連接，交直線于點O，連接OM．∵，∴．又∵M為線段的中點，∴，即M為線段NB的中點．在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，∴O為線段中點，∴OM為中位線，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）取線段的中點G，連接．由條件知，為等邊三角形，∴，且．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即是三棱錐的高．又∵，∴．由（1）知，，，∴，∴四面體的體積．6．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，，，分別是，，，的中點，所以，，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．又，所以．（2）在中，，，所以．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，，，，．所以，，，．設平面的一個法向量為，由，，得，取，得．設平面的一個法向量為，由，，得，取，得．設二面角為，由圖象知二面角為銳角，則．7．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：因為E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．因為平面平面，平面PEF，所以．（2）解：因為AC，BC，PC兩兩垂直，，AC，平面ABC，所以平面ABC，所以PC是四棱錐的底面ABFE上的高，因為，，所以．因為E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，，所以，即．以點C為坐標原點，CA，CB，CP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，，，所以，．設平面EFP的一個法向量為，所以，可得，令，所以，即，又由平面，所以平面的一個法向量為，所以，由圖知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．8．【答案】證明見解析．【解析】依題意，矩形ABCD與矩形BCEF是全等的，則有AC=BE，因P，Q分別為AC，BE上的點，過P作PM//BC交AB于M，過Q作QN//BC交BF于N，連MN，如圖，而，QN//EF，于是得，又BC=EF，因此有PM=QN，顯然有PM//QN，從而有四邊形PMNQ是平行四邊形，則PQ//MN，而平面，平面，所以平面．9．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，所以，又，所以，因為平面，平面，所以，又，在平面內，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）如圖，連接，相交于點，因為平面，面，面面，所以，所以．2．面面平行的判定定理與性質定理1．【答案】AB【解析】對選項A，如圖所示：因為，，分別為其所在棱的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，，所以平面平面，因為平面，所以平面，故A正確；對選項B，如圖所示：因為，，分別為其所在棱的中點，所以，又因為，所以，因為平面，平面，所以平面，故B正確；對選項C，如圖所示：因為，，分別為其所在棱的中點，所以為的等分點，所以與必相交，即與平面的位置關系為相交，故C錯誤；對選項D，如圖所示：因為，，分別為其所在棱的中點，所以，點在平面內，又因為平面，，所以與平面的位置關系為相交，故D錯誤，故選AB．2．【答案】【解析】連接，，，因為，，分別是棱、，的中點，所以，，因為平面，平面，所以面，同理可得面，因為，，平面，所以平面平面，又因為點在四邊形及其內部運動，平面，故當時，平面，故答案為．3．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）如圖所示，連接SB，因為E，G分別是BC，SC的中點，所以EG∥SB，又因為SB?平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1．（2）如圖所示，連接SD，因為F，G分別是CD，SC的中點，所以FG∥SD，又因為SD?平面BDD1B1，且FG平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又由EG∥平面BDD1B1，EG?平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EG∩FGG，所以平面EFG∥平面BDD1B1．4．【答案】（1）證明見解析；（2）存在點Q，它就是點．【解析】（1）證明：、、分別是，，的中點，，四邊形為平行四邊形，可得，因為平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面平面．（2）假設在線段上存在一點使平面．四邊形是正方形，因此點為點．不妨取，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，．所以，，又，平面，所以平面，在線段上存在一點，使平面，其中點為點．5．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：連接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD為正三角形．∵M為AD的中點，∴BM⊥AD．∵AD⊥CD，CD，BM?平面ABCD，∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD?平面PCD，∴BM∥平面PCD．∵M，N分別為AD，PA的中點，∴MN∥PD．又MN平面PCD，PD?平面PCD，∴MN∥平面PCD．又BM，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．（2）在（1）中已證BM⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM?平面ABCD，∴BM⊥平面PAD．又AD＝6，∠BAD＝60°，∴．在△PAD中，∵PA＝PD，PA⊥PD，∴．∵M，N分別為AD，PA的中點，∴△PMN的面積，∴三棱錐P-BMN的體積．6．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）設與交于點，連接，，如下圖所示：因為底面為矩形，則為和的中點，因為，分別為棱，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，同理，平面，因為，且平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．（2）由，易得，的面積，因為平面，平面，所以，故的面積為，設點到面的距離為，由得，即，從而，故點到面的距離為．7．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：連接EC，設EB與AC相交于點O，如圖，因為BC//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O為EB的中點，又因為G為PB的中點，所以OG為△PBE的中位線，即OG∥PE，因為OG平面PEF，PE?平面PEF，所以OG//平面PEF，因為E，F(xiàn)分別為線段AD，DC的中點，所以EF//AC，因為AC平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因為OG?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因為PF?平面PEF，所以PF//平面GAC．（2）因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因為AB⊥AD，所以PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，設平面ACG的法向量為，則，所以，令，可得，，所以，設直線PD與平面ACG所成角為θ，則，所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為．8．【答案】存在，點F是PB的中點，證明見解析．【解析】當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接BD與AC交于點O，連接FO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，∴OF∥PD．又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA∥PB且PB＝2MA，∴PF∥MA且PF＝MA，∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM．又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD．9．【答案】（1）證明見解析；（2）取的中點Q，則平面平面，證明見解析．【解析】（1）連接BD交AC于O點，