函數(shù)的應(yīng)用-(人教A版2019必修第一冊(cè))

函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)剖析

1函數(shù)模型

一次函數(shù)y=ax+b(a*0)

2

二次函數(shù)y=ax+bx+c(QH0)

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且aH1)

指數(shù)型函數(shù)y=k-ax(a>0月.a豐1)

對(duì)數(shù)函數(shù)

y=logax(a>0且Q*1)

對(duì)數(shù)型函數(shù)

y=k-logax(a>0且QH1)

塞函數(shù)y=xn(nEN。)

累函數(shù)型y=kxn(nGN*)

2增長快慢比較

n

1/(夢(mèng))>y(r)>V(logaX'),V(kx)>V(logax)

常見函數(shù)圖象

3函數(shù)的零點(diǎn)

①函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實(shí)數(shù)》叫做函數(shù)的零點(diǎn).

②方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程外幻=o有實(shí)數(shù)根必

=函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn)的

Q函數(shù)y=/(%)的圖象與％軸有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

如方程24-4=。的實(shí)數(shù)根是x=2,「/

函數(shù)/(%)=2X-4與％軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是2,:/

函數(shù)/(x)=2X-4的零點(diǎn)是2,而不是(2,0).

拓展

方程/(%)=g(x)有實(shí)數(shù)根aO函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為沏.

解惑若讓你求解產(chǎn)-2*=0?可能知道％=2,那是否只有一個(gè)實(shí)數(shù)根呢？

而方程/-2、=0的實(shí)數(shù)根Q函數(shù)f(%)=/與函數(shù)gQ)=2%的交點(diǎn)橫坐標(biāo)

如圖就較容易得到，方程/-2、=0實(shí)數(shù)根有3個(gè)%1G(-1,0),乃=2,心=4.

③求函數(shù)零點(diǎn)方法

(1)(代數(shù)法)求方程f(乃=。的實(shí)數(shù)根.

(2)(幾何法)利用函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷零點(diǎn)是否存在或找出零點(diǎn)位置.

4函數(shù)零點(diǎn)定理

如果函數(shù)y=f(%)在［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的，且/'(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=/'(%)在(a,b)至少有一個(gè)

零點(diǎn)c,即存在cw(a,b),使得/■((?)=(),這個(gè)c也就是方程/(%)=0的解.

5二分法

①二分法的概念

對(duì)于在區(qū)間［a，切上連續(xù)不斷且/?(a)f(b)<0的函數(shù)y=/(>),通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，

使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

②用二分法求方程近似解的步驟

(1)確定區(qū)間［a，句，驗(yàn)證f(a)f(b)V0,給定精確度￡;

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

(3)計(jì)算f(c),

(i)若/'(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

(ii)若f(a)f(c)<0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)%0W(a,c))

(iii)若<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)&G(r,b))

(4)判斷是否達(dá)到精確度於即若|a-W<￡,則得到零點(diǎn)近似值為a(或b)；否則重復(fù)⑵?⑷

經(jīng)典例題

【題型一】不同函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)

【典題1】惠州市某學(xué)校物理興趣小組在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中收集到一組數(shù)據(jù)如表所求：

t1.993.04.05.16.12

v1.54.047.51218.01

用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()

A.v-log21B.v=logitC.v-D..v=2t—2

【解析】方法1由表可知：u是關(guān)于￡的增函數(shù)：且增幅隨￡的增大而增大，故只有C滿足要求.故選C.

方法2作出散點(diǎn)圖，如圖，九

1J-,

由函數(shù)擬合可知只有C滿足要求.故選C.16-

14-

方法3由表可知：口是關(guān)于￡的增函數(shù)；故B不適合；①

對(duì)于&log21.99?2,Iog23?0.3,log24=2；故4不接近；成

蘭二a12.5,空匚*18.2.故C接近：-------」?

22Q5x

對(duì)于D：2X1.99—2=1.98,2X3-2=4,2X4-2=6,2X5.1-2=8.2,

2X6.12-2=10.24,故。不接近.

故選C.

【點(diǎn)撥】

判斷最佳函數(shù)模型，方法如下

①根據(jù)數(shù)據(jù)的增減性和增幅，排除不符合的函數(shù)；

②根據(jù)表格描點(diǎn)做出散點(diǎn)圖，結(jié)合常見函數(shù)模型進(jìn)行判斷；

③代點(diǎn)法，把數(shù)值代入函數(shù)中，若數(shù)值偏離較遠(yuǎn)則排除.

【典題2】假設(shè)有一套住房從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元.如表給出了兩種價(jià)格增長方式，其

中P1是按直線上升的房價(jià),P2是按指數(shù)增長的房價(jià)，「是2002年以來經(jīng)過的年數(shù).

t05101520

Pl/萬元2040

/萬元2040

(1)求函數(shù)B=/?)的解析式；

(2)求函數(shù)P2=g(t)的解析式；

(3)完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后比較兩種

【解析】(1)由題意可設(shè)Pi=/(t)=mt+幾(mH0),

???當(dāng)匕=0時(shí)，Pi=20；當(dāng)匕=10時(shí)，Pt=40,

(n=20解得I771=2

"ll0m+n=40解付L=20

???Pi=f(t)=2t+20；

c

(2)由題意可設(shè)P2=g(￡)=k-af

???當(dāng)t=0時(shí)，P2=20；當(dāng)C=10時(shí)，「2=40，

MJ薩S解瞰"?，

Ucdu=40J=2io

P2=g(t)=20x2io；

(3)表中數(shù)據(jù)如下：

t05101520

Pi/萬元2030405060

P2/萬元2020V24040V280

在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示:

有圖象可知，Pi=/(t)=2t+20呈直線通長，增長速度較慢；P2=g(t)=20x2而呈指數(shù)型增長，增長速

度較快.

【點(diǎn)撥】求函數(shù)的解析式，當(dāng)已知函數(shù)類型時(shí)用“待定系數(shù)法

【題型二】不同函數(shù)模型的應(yīng)用

【典題1】某地為踐行綠水青山就是金山果山的理念，大力開展植樹造林.假設(shè)一片森林原來的面積為a畝,

計(jì)劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當(dāng)面積是原來的2倍時(shí)，所用時(shí)間是10年.

(1)求森林面積的年增長率；

(2)到今年為止，森林面積為原來的魚倍，則該地已經(jīng)植樹造林多少年？

(3)為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林多少年？

(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010J^3=0.4771)

【解析】⑴設(shè)森林面積的年增長率為x,則a(l+x)】°=2a,解得》=24一1,

???森林面積的年增長率為2春-1；

(2)設(shè)已經(jīng)植樹造林n年，則由題意可知Q(1+%嚴(yán)=V2a,

n

???ax2io=V2a,???n=5,

,已經(jīng)植樹造林5年；

(3)設(shè)為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林m年，則a(l+工尸>6a,

m

???2io>6,

故為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林26年.

【典題2]新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺,某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)4公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供6

。10])(萬元)的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服.4公司在收到政府%(萬元)補(bǔ)貼后,

防護(hù)服產(chǎn)量將增加到y(tǒng)k?(6-缶)(萬傳其中々為工廠工人的復(fù)工率(々G[0,5.1]).4公司生產(chǎn)歷件防護(hù)

服還需投入成本(20+8x+50t)(萬元).

⑴將4公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤y(萬元)表示為補(bǔ)貼封萬元)的函數(shù)；

(2)對(duì)任意的工6[0,10](萬元)，當(dāng)復(fù)工率々達(dá)到多少時(shí)，力公司才能不產(chǎn)生虧損？(精確到0.01).

【解析】(l)y=80t-(20+8x+50t)=30t-20-8x

=30&(6-焉-20-8%=180k-翳-8%-20,xG[0,10].

(2)若對(duì)任意的％G[0,10],公司都不產(chǎn)生虧損，

則180k-翳-8%-20N0在％E[0,10]恒成立，

即上之於生嚕且，分離參數(shù)法

45X+2

記t=%+2,則tW[2,12],

此時(shí)(升4)(2.5)="皿里2=2亡+2+5,

x+2tt

由于函數(shù)/■?)=2t+：+5在￡W[2,12]單調(diào)遞增，(對(duì)勾函數(shù))

所以當(dāng)￡e[2,12]時(shí)，fmax(t)=f(12)=29+?29.167,

???k>^x29.167?0.648,

45

即當(dāng)工廠工人的復(fù)工率達(dá)到0.65時(shí)，對(duì)任意的文€[0,10],公司都不產(chǎn)生虧損.

【點(diǎn)撥】

①根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，在實(shí)際問題中，特別注意自變量的取值范圍;

②求函數(shù)y=咒+：AC最值問題中,注意基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用.

aiX^+b^x+Ci

鞏固練習(xí)

1(★)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是()

11]

X2

A.y=X2B.y=log2xC.y=-2D.y--x

【答案】C

1

【解析】把Q,y)的值分別代入y=M中，不成立，故A不能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系;

把(%,y)的值分別代入y=log2%中，不成立，故B不能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系;

把(x,y)的值分別代入y=表2、中，基本成立，故C能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系；

把(％y)的值分別代入y=*產(chǎn)中，不成立，故。不能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系.

故選：C.

2(*)設(shè)光線通過一塊玻璃，強(qiáng)度損失10%、如果光線原來的強(qiáng)度為々(k>0),通過%塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度

為y,My=k?0.9YxGV),那么光線強(qiáng)度減弱到原來的g以下時(shí)，至少通過這樣的玻璃塊數(shù)為()(參

考數(shù)據(jù)：1g3ao.477)

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】設(shè)通過這樣的玻璃塊,則由題意得〃-0.9X4(4>0),化得

1

兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，可得加0.9<%，

因?yàn)槊?9<°，所以%>黑=翱-霹*10.37,

則至少通過11塊玻璃，

故選：C.

3(**)某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為42,48,52.為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，

甲選擇了模型y=ax2+bx+c,乙選擇了模型y=pqx+r,其中y為患病人數(shù)，%為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r

都是常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為54,57,58.

(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你認(rèn)為誰選擇的模型好.

【答案】⑴a=—1,b=9,c=34,p=-27,q=r=60(2)乙模型

【解析】(1)由甲模型：令y=/(%)=a/+匕％+c,

可得：a+b+c=42,4Q+28+C=48,9a+3b+c=52,

解得a=-1,b=9,c=34.

由乙模型：設(shè)y=pq*+r,

可得：g(l)=pq+r=42,g(Z)=pq2+r=48?^(3)=pq3+r=52,

解得p=-27,q=可,r=60.

⑵由(I)可得：/(x)=—x24-9%4-34,

/(4)=-42+9x4+34=54,

/(5)=-S2+9x5+34=54<57,

/(6)=-62+9x6+34=52<58：

由乙模型可得：g(x)=-27?(纖+60,

2417

???0(4)=54+可*54,g(5)=56+@*56,g(6)=57+行k57.

可得:g(4)、g⑸、g(6)比f(4)、/(5)、f(6)更接近真實(shí)值.

4(★★)某心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之

間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)tW(0,14］時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)tW［14,40］時(shí)，曲線是

函數(shù)y=loga(￡-5)+83(a>0,且aH1)圖象的一部分?根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽課

效果最佳.

(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完？請(qǐng)說明理由.

--(t-12)2+82,t6(0,14］

【答案】⑴f(￡)=%短_5)+83/W(14,40］

3

(2)教師能夠合理安排時(shí)間講完題目

2

【解析】⑴當(dāng)tW(0,14］時(shí)，設(shè)p=f(t)=c(L12)+82(c<0),

將點(diǎn)(14,81)代入得c=0,

,當(dāng)tG(0,14］時(shí)，p=/(t)=-1(t-12)2+82；

當(dāng)tW(14,40］時(shí)，將點(diǎn)(14,81?V<y=loga(t—5)+83,得

所/P=f⑷=10呼￡_5)+83,tW(14,40］；

(2)當(dāng)tw(0,14］時(shí)，一］(t-12)2+82280,

解得12fh<t<12+2企，所以tE［12-2y/2,14］,

當(dāng)tG（14,40］時(shí),1。91?-5）+83>80,

解得5<tW32,所以tW(14,32],

綜上[12—2a,32]時(shí)學(xué)生聽課效果最佳，

此時(shí)△t=32-(12-2V2)=20+2V2>22,

所以教師能夠合理安排時(shí)間講完題目.

5(★★)培養(yǎng)某種水生植物需要定期向培養(yǎng)植物的水中加入物質(zhì)N.己知向水中每投放1個(gè)單位的物質(zhì)

N,x(單位：天)時(shí)刻后水中含有物質(zhì)N的量增加ymo，/L,y與％的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=

(8一言根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中含有物質(zhì)N的量不低于4mo〃L時(shí)，物質(zhì)N才能有效發(fā)揮作用.

I12-x,6<x<12

(1)若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,計(jì)算物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用幾天？

(2)若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,第8天再投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,試判斷第8天至第12天，水中所

含物質(zhì)N的量是否始終不超過6mo〃L,并說明理由.

【答案】(1)6(2)第8天至第12天，水中所含物質(zhì)N的量始終不超過

【解析】(1)由題意x,(單位：天)時(shí)刻后點(diǎn)中含有物質(zhì)N的量為y=18-提，

112—x,6<x<12

解yN4,得

所以若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用6天.

(2)設(shè)第x(8<%<12)天水中所含物質(zhì)N的量為ymo，/L,

則+—=—%—

y=14-[(x-6)+^]<14-2j(^6)x3=6*

當(dāng)且僅當(dāng)％—6=1^,即％=10€[8,12]時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)戈=10時(shí)，ymax=6.

所以第8天至第12天，水中所含物質(zhì)N的量始終不超過6mo〃L

【題型三】求函數(shù)的零點(diǎn)

【典題1】下列函數(shù)中，在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()

A.y=logixB.y=3X—1C.y=x2—D.y=—x3

32

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,y=logix,其定義域?yàn)?0,+<?),在(一1,0)上沒有定義，不符合題意；

對(duì)于B,y=3x-l,在(一1,1)上有零點(diǎn)％=0,且在(一1,1)為增函數(shù)，符合題意;

對(duì)丁C,y=x2-1,為二次函數(shù)，在(T,0)上為減函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于D,在(_i,1)上為減函數(shù)，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)撥】求函數(shù)零點(diǎn)方法：①代數(shù)法，即解方程；②幾何法，即數(shù)形結(jié)合.

【題型四】函數(shù)與方程的關(guān)系

【典題1】方程3"+4X=5”解的情況是()

4有且只有一個(gè)根2不僅有根2還有其他根

C.有根2和另一個(gè)負(fù)根。.有根2和另一個(gè)正根

【解析】方程3、+鏟=5%等價(jià)為(§'+(j)X=1

設(shè)即(丁+(步

則函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，

?…(l)”g

方程3"+4"=5”有且只有一個(gè)根2,故造4

【點(diǎn)撥】本題巧妙的把方程3*+於=5*的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(%)=Q)x+(3”與y=1的交點(diǎn)問題.

【典題2】若％1滿足3*=2一％,小滿足bg3%+%-2=0，則Xi+%2=.

【解析】設(shè)=g(x)=log3x,t(x)=2-x

滿足3"=2-x,

???與是函數(shù)/(%)=3”與函數(shù)￡(%)=2-%交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

%2滿足log3x+X-2=0?

???X2是函數(shù)g(X)=log3%與函數(shù)t(%)=2-％交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

由于函數(shù)y=3。與函數(shù)y=log31互為反函數(shù)，

所以它們的圖象關(guān)于直線y="軸對(duì)稱，

故兩圖象與直線t(%)=2-％的交點(diǎn)(%］，yj,(x2,外)也關(guān)于y=%對(duì)稱，

所以%1+%2=2，

【點(diǎn)撥】

①指數(shù)函數(shù)y=謨與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱.

②方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時(shí)，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，常把常見的函數(shù)模型(一次函數(shù)型、二次函數(shù)型、反比例函

數(shù)型，指數(shù)函數(shù)型、對(duì)數(shù)函數(shù)型等)分開，比如方程(％+1)2、+3=00函數(shù)y=2、與函數(shù)y=-冷，方程

ex\lnx\-k=0=函數(shù)y=|/nx|與函數(shù)y=?

【典題3】已知函數(shù)/(%)=/；??^>0,若函數(shù)/(%)=/(%)—b有四個(gè)不同的零點(diǎn)與，不，不，

"i1?,X十JL/X士U

X

X4(1V%2Vx3V%4)?則三■一泡竽區(qū)的取值范圍是_______.

x

34

【解析】(函數(shù)/(x)=fM-b的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=/(%)與y=b的交點(diǎn))

作出/(%)的函數(shù)圖象如圖所示，

由圖象知/+%2=-4，x3x4=1,0<b<1,\n

而0<-log2x3<1得］<x3<1>A-2yw

嘮-*=9珞yy|

令亡=據(jù)，則:wtvl,

令g(t)=t+5

則g(t)在曰，1］上單調(diào)遞減,g(i)=2,g@)=9,

即2<￡+；4?,

t4

【點(diǎn)撥】

①函數(shù)尸(%)=f(x)—b零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(%)與y=b的交點(diǎn)問題；

②遇到分段函數(shù)常常需要數(shù)形結(jié)合；

③求葛一婦產(chǎn)1的取值范圍，應(yīng)該根據(jù)圖象找出與+必=-4,x3x4=1的關(guān)系，在利用“消元”的思想把

問題化簡成“求￡+蟾的取值范圍”，從而想到構(gòu)造函數(shù)g(t)=t+1.

【典題4】已知偶函數(shù)/(幻滿足f(3+x)=f(3-x),且當(dāng)x￡［0,3］時(shí),/(x)=-x2+2x4-1,若關(guān)于》的

方程嚴(yán)(%)-￡fQ)-3=0在［-150,150］上有300個(gè)解，則實(shí)數(shù)￡的取值范圍是.

【解析】???/(%)是偶函數(shù)，

：?f(3+x)=/(3-x)=f(x—3),

是以6為周期的函數(shù).

???關(guān)于％的方程產(chǎn)(%)-C/3)-3=0在［-150,150］上有300個(gè)解，

???關(guān)于％的方程產(chǎn)(%)-t/(x)-3=0在(-3,3］上有6個(gè)解.

做出f(x)在一個(gè)周期(-3,3］上的函數(shù)圖象如圖所示：

令/Qr)=m,由函數(shù)圖象可知：

當(dāng)m=-2時(shí)，f(x)=m只有1解，

當(dāng)一2VmV1或m=2時(shí)，/(%)=m有2解，

當(dāng)?n=1時(shí)，/(%)=m有3解，

當(dāng)1<mV2時(shí)，/(%)=m有4解.

???關(guān)于m的方程皿2一《?1一3=0在｛2｝和(1,2)上各有1解或(一2,1)和(1,2)上各有1解,

若方程的一解為m=2,則方程的另一解為m=,2),不符合題意.

???關(guān)于m的方程m2一￡瓶一3=0在(-2,1)和(1,2)上各有1解，

1+2t>0

*e?—2—t<0?解得一：Vt<［.

l-2t>0

【點(diǎn)撥】

①由/?(3+乃="3-％)可得/(%)關(guān)于*=3對(duì)稱，又由于f(%)是偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期7=6；

②在“關(guān)于工的方程/■2(%)一tf(%)-3=0在(-3,3］上有6個(gè)解”這一步中的區(qū)間是(一3,3］,不能是［-3,3］.

鞏固練習(xí)

1(*)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點(diǎn)的是()

2

A.y=xB.y=也C.y=log2xD.y=-

【答案】D

【解析】對(duì)于4,y=/的對(duì)稱軸為y軸，故y=/是偶函數(shù)，

令彳2=0得％=0,所以y=%2的零點(diǎn)為％=0.不符合題意.

對(duì)于B,y=近的定義域?yàn)閇0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故y=正不是偶函數(shù)，不符合題意.

對(duì)于C,/=1咤2%的定義域?yàn)?0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故y=log2*不是偶函數(shù)，不符合題意.

=-(1),故y=_g)是偶函數(shù)，

令-G)㈤=0,方程無解.即y=—@國無零點(diǎn).

故選：D.

!(★★)函數(shù)/(%)=(》團(tuán)一/的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

【答案】2

【解析】令/(%)=0,貝1](今四=7，

因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=刈和函數(shù)y=/的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=(》團(tuán)和函數(shù)y=M的圖象如下：

由圖象可得八”)有2個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

?(★★)若方程m*-x-m=0(m>0，且m工1)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是.

【答案】m>l

【解析】方程m*-x-m=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)y=與y=%+m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)m>l時(shí)，如圖⑴有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

當(dāng)Ovmvl時(shí)，如圖(2)有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

故選：A.

女★★)設(shè)a、b、c依次表示函數(shù)/(x)=y一％+1,g(x)=logtx-x+1,h(x)=(5*-％+1的零點(diǎn)，則

a、b、c的大小關(guān)系為.

【答案】b<c<a

【解析】函數(shù)/1(%)=x^-x+1,g(x)=logix—x+1,/i(x)=《尸-x+1的零點(diǎn)，

2n

就是方程%2=%—1,/ogi%=X—1,(2)=%-1的解，

在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=%2,y=1ogi%,y=(2尸，與y=%—1的圖象，如圖：

2N

可得b<c<a,

故選：0.

§(★★★)已知函數(shù)f(%)=log3x,函數(shù)/i(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)％e［0,1］時(shí)，九(%)=3,一1.若

函數(shù)y=k?f(%)+九(%)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)々的取值范圍是.

【答案】(-2,—2log53)

【解析】?:y=k?/(X)+無@)有3個(gè)零點(diǎn),

?0?y=九(%)與y=—k?log3%的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

作出y=h(x)得函數(shù)圖象如圖所示：

若TcvO,即攵>0,則y=h(x)與y=—k,log3%的函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

若Tc=0,即々=0,則y=與y=-k“og3%的函數(shù)圖象有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

若—k>0,即kV0,若y=九(%)與、=—k?log3%的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)：

則一klog33<2,且一k?log35>2,

解得：-2VkV—210g53.

故選：B.

f|5x-l|,x<l

6(***)已知函數(shù)/'(%)=I8%>］，若方程/(/(%))=Q恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為?

【答案】?,4)

|54-l|,x<1

【解析】作出函數(shù)/(%)=8的圖象如圖,

3彳*N1

若。<0,顯然無解；

若。=0，則/(/(%))=0=/(%)=0=%=0,只有唯一解，不合題意；

若0VQW1,則/(%)在(0,log52)與(7,+8)中分別有一懈，但由于/(%)&4,

因此f(x)只在(0,log52)上有一解，此時(shí)4有二個(gè)解，不合題意；

若1VQV4,則/?(%)在(log52,l)與(1,7)中分別有一解，fCv)在(0,log52)上有一解，此時(shí)％有三個(gè)解，

因此由題意，f(x)在(1,7)中有一解需要得出工有兩解，而由于f(x)W4,因此a的取值需保證f(%)在(1,7)

p8

中的解位于區(qū)間(1,4)中，計(jì)算得/(4)建，可得=<a<4；

若。=4,則/(%)=i,此時(shí)不有兩解，不合題意；

若a>4,顯然無解.

8

綜上，-<a<4.

O

O

故答案為：(g,4).

【題型五】函數(shù)零點(diǎn)定理

【典題1】設(shè)函數(shù)/■(%)=含+1??:滿足/(a)f(b)f(c)v0(avbvc),若f(x)存在零點(diǎn)出,則下列選項(xiàng)中

一定錯(cuò)誤的是()

A.xQe(a,c)B.x0e(a,b)C.x0e(b,c)D.x0e(c,+co)

【解析】函數(shù)函數(shù)/(%)=W+=2-擊+In》的定義域?yàn)閧%|%>0},函數(shù)是增函數(shù)，

滿足/(a)f(b)/(c)VO(aVbVc),說明/(a)，/'(b)，/'(c)有1個(gè)是負(fù)數(shù)兩個(gè)王數(shù)(且負(fù)數(shù)一定是/(a))或3個(gè)

負(fù)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)在(a,c),在(a,b),在(c,+8),不可能在(b,c).

故選C.

【點(diǎn)撥】

①三二2-W利用了分離常數(shù)法?

x+lx+1

②判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，就要注意區(qū)間上端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值(本題中f3)、f(b)、f(c))是正數(shù)還是負(fù)

數(shù).

【典題2］［幻表示不超過x的最大整數(shù)，例如［3.5］=3,［-0.5］=-1.已知的是方程

Inx+3x—15=0的根，貝.

【解析】a是方程》工+3x—15=0的根，

設(shè)/(%)="%+3%—15,顯然/(%)單調(diào)遞增，

故/(力=0只有一個(gè)根，

/(4)—Zn4—3—2ln2—3<2(Zn2-1)<0,/(5)—ln5>0,

故&G(4,5),所以［%()］=4，

【點(diǎn)撥】

①若f(X)在口，燈上是單調(diào)函數(shù)，則它在［Q