《金融數(shù)學(xué)》(4)收益率

收益率

（YieldRate）孟生旺

2主要內(nèi)容凈現(xiàn)值與收益率基金的收益率幣值加權(quán)收益率時間加權(quán)收益率再投資與修正收益率基金的收益分配投資組合法投資年度法3

凈現(xiàn)值（netpresentvalue，NPV）凈現(xiàn)值越大，表示收益越高。凈現(xiàn)值4收益率（yieldrate）：使得資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值相等時的利率。也稱為內(nèi)涵報(bào)酬率（internalrateofreturn，IRR）收益率也是使得凈現(xiàn)值等于零的利率：收益率5例:

期初投資20萬元，在今后的5年內(nèi)每年末獲得5萬元的收入。

假設(shè)投資者A的資金成本為5%，投資者B的資金成本為10%。

分析投資者A和投資者B的投資決策。解：（1）該項(xiàng)目的凈現(xiàn)值為注：NPV函數(shù)中不含0點(diǎn)的現(xiàn)金流。6（2）令凈現(xiàn)值等于零，即可以計(jì)算出該項(xiàng)目的收益率為7.93%，大于A的資金成本（5%），可行小于B的資金成本（10%），不可行ProjectPrequiresaninvestmentof4000attime0.Theinvestmentpays1000attime1and4000attime2.ProjectQrequiresaninvestmentofxattime2.Theinvestmentpays2000attime0and4000attime1.Thenetpresentvaluesofthetwoprojectsareequalataninterestrateof10%.CalculatetheyieldrateofprojectQ.

Examplet012P-400010004000Q20004000-x8Solution:

t012P-400010004000Q20004000-x9f=

function(x){

v=

1.1^(-1)

-4000+

1000*

v+

4000*

v^2-

2000-

4000*

v+

x*

v^2

}

x0=

uniroot(f,c(0,10000))$root

x0##[1]6560f2=

function(i){

v=

1/(1+

i)

2000+

4000*

v-

x0*

v^2

}

uniroot(f2,c(0,1))$root##[1]0.0688求解收益率可能出現(xiàn)的三種情況無解多重解唯一解！1011例（不存在）：

，求收益率。解:凈現(xiàn)值為由于

，方程無實(shí)數(shù)解，不存在收益率（見下頁圖示）。12i=seq(-0.1,1,0.001)v=(1+i)^(-1)NPV=-100+230*v-133*v^2plot(i,NPV,type='l',col=2,ylim=c(-10,5),lwd=2,xlab='利率',ylab='凈現(xiàn)值',main='收益率不存在')abline(h=0,col=3,lty=2)13Example（不唯一）：Consideratransactioninwhichapersonmakespaymentsof$100immediatelyand$132attheendoftwoyearsinexchangeforapaymentinreturnof$230attheendofoneyear.

1001322301410013223015要求10%以下的收益率，不可行。要求10%~20%的收益率，可行！要求20%以上的收益率，不可行。不可行可行不可行16收益率唯一性的條件準(zhǔn)則一：資金凈流入只改變過一次符號。準(zhǔn)則二：用收益率計(jì)算資金凈流入的累積值，始終為負(fù)，直至最后一年末才等于零。17

多重收益率條件下的資金凈流入及其累積值例：多重收益率（續(xù)前例）時間流出流入凈流入按20%累積01000-100-1001023023011021320-132018多重收益率條件下的資金凈流入及其累積值時間流出流入凈流入按10%累積01000-100-1001023023012021320-132019年度資金流出資金流入資金凈流入Rt資金凈流入的累積值（下頁）010-10–10.0011-1–12.002143–10.203143–8.214143–6.035143–3.646440例：收益率是唯一的2021

基金的收益率：

基金的利息度量

(Interestmeasurementofafund)幣值加權(quán)收益率(dollar-weightedyieldrate)：度量投資者的業(yè)績時間加權(quán)收益率(time-weightedyieldrate)：度量基金經(jīng)理人的業(yè)績22幣值加權(quán)收益率：精確計(jì)算假設(shè)：期初本金為A0，在時刻

t

的新增投資為Ct，投資收益率為i，在期末的累積值可表示為（一個時期）

用A1表示期末的累積值，則有注：Ct

>

0

增加投資；Ct<0

減少投資。由此求得收益率i23近似公式：對于不足一個時期的投資，用單利近似復(fù)利24分母是日平均本金余額。ExampleAtthebeginningoftheyear,aninvestmentfundwasestablishedwithaninitialdepositof1000.Anewdepositof1000wasmadeattheendof4months.Withdrawalsof200and500weremadeattheendof6monthsand8months,respectively.Theamountinthefundattheendoftheyearis1500.Calculatethedollar-weightedyieldrateearnedbythefundduringtheyear.1000100020050015004/126/128/1226解：A1

=A0＋C＋I(xiàn)當(dāng)年利息：I

=

1500－（1000+1000－

200

－500）=2001000100020050015004/126/128/12精確計(jì)算？近似值14.29%，精確值14.33%，誤差為0.04%f=

function(i){

1000*

(1+

i)+

1000*

(1+

i)^(8/12)-

200*

(1+

i)^(6/12)-

500

*

(1+

i)^(4/12)-

1500

}

uniroot(f,c(0,1))$root##[1]0.14331000100020050015004/126/128/1228時間加權(quán)收益率

（time-weightedratesofinterest）幣值加權(quán)收益率：受本金增減變化的影響。而本金的增減由投資者決定?？梢院饬客顿Y者的收益，但不能衡量經(jīng)理人的業(yè)績。時間加權(quán)收益率：扣除了本金增減變化的影響后所計(jì)算的收益率。衡量經(jīng)理人的業(yè)績。set.seed(111)x=seq(0,1,0.05)y=50+x*12+rnorm(length(x),0,2)plot(x,y,type='o',xlab="時間",ylab='股價',col=2,pch=16)30時間加權(quán)收益率的計(jì)算期初的本金為

A(0)在第k個時間區(qū)間末的累積值為Ak在第k個時間區(qū)間末的新增投資為

Ck（k=1,2,…,n）在年末

的累積值為

A(1)A(0)A1A2A3C1C2C3累積值新增投資A1+C1A2+C2A3+C3收益率AnCnAn+CnA(1)………32ExampleOnJanuary1aninvestmentaccountisworth$100,000.OnMay1thevaluehasincreasedto$112,000and$30,000ofnewprincipalisdeposited.OnNovember1thevaluehasdeclinedto$125,000and$42,000iswithdrawn.OnJanuary1ofthefollowingyeartheinvestmentaccountisagainworth$100,000.Computetheyieldrateby:(1)thedollar-weightedmethod;(2)thetime-weightedmethod.33解：（1）幣值加權(quán)收益率

I

=

100000–（100000

+

30000

42000）=12000

34（2）時間加權(quán)收益率兩種收益率差距為何這么大？10.62%與18.79%1.120.881.20Exercise1000isdepositedintoafundonJanuary1,2013.AnotherdepositismadeintothefundonJuly1,2013.OnJanuary1,2014,thebalanceinthefundis2000.Thetime-weightedyieldrateis10%andthedollar-weightedyieldrateis9%.Calculatetheannualeffectiveinterestrateearnedonthefundduringthefirstsixmonthof2013.1000AC2000？解：幣值加權(quán)收益率9%時間加權(quán)收益率10%故1000AC200037再投資與修正收益率再投資：前期投資的收入按新的利率再次進(jìn)行投資。例：考慮兩種可選的投資項(xiàng)目A）投資5年，年利率為9％B）投資10年，年利率為8％如果兩種投資在10年期間的收益無差異，項(xiàng)目A在5年后的再投資收益率應(yīng)為多少？38例：瑪麗每年初投資1000，投資5年，每年可以獲得9%的收益。每年的收益按9%進(jìn)行再投資。在第5年末，投資的價值為X。約翰每年初投資1000，投資5年，每年可以獲得10%的收益。每年的收益按8%進(jìn)行再投資。在第5年末，投資的價值為Y。計(jì)算X

和Y

，以及約翰的投資收益率。解：瑪麗在第5年末的投資價值為約翰的本金余額：時間012345余額100020003000400050005000利息收入：時間012345金額100200300400500利息收入在第5年末的累積值：第5年末的總價值：6669.91約翰的投資收益率：40練習(xí)在t=0,約翰在一個基金中投資2000，每年賺取8%的收益率.

他將基金每年產(chǎn)生的利息收入重新投資于一個獨(dú)立賬戶，該賬戶每年賺取9%的收益率。獨(dú)立帳戶中的利息收入被投資于一個副賬戶，該賬戶每年賺取7%的收益率。

計(jì)算t=10時整個投資的累積值，以及這10年期間的收益率.41時間0123

91010年末的價值基金2000

2000獨(dú)立賬戶

160

160

160

…

160

160160

10

副賬戶

160

9%2

160

9%

9

160

9%42副賬戶的累積值：整個投資的累積值：

2000+(10)(160)+839.62

=4439.62收益率=(4439.62/2000)1/10

–1=8.3%解:43修正收益率:當(dāng)再投資利率與籌資利率不同時，評價項(xiàng)目應(yīng)該使用修正收益率（modifiedrateofinternalreturn）。如何計(jì)算修正收益率？資金流出（成本）：用籌資利率計(jì)算現(xiàn)值資金流入（收益）：用再投資利率計(jì)算累積值例：投資者以8%的利率借入資金進(jìn)行投資，在時點(diǎn)0的投資額為10000元，在第2年末的投資額為11550元。在第1年末獲得了21500元的收益。投資者對收益進(jìn)行再投資的利率為5%。計(jì)算該項(xiàng)投資的修正收益率。02110000115502150045

投資收入以5%的利率再投資，故在第2年末的累積值為令修正收益率為i，則有021100001155021500【解】籌資利率為8%，資金流出的現(xiàn)值為46計(jì)算修正收益率的EXCEL函數(shù)：=MIRR({-10000,21500,-11550},8%,5%)021100001155021500基金的收益分配

(Allocatinginvestmentincome)47基金（Fund）：為某種目的而設(shè)立的一定數(shù)量的資金?；鸬氖找妫菏杖耄豪ⅲ上?，資本利得（如股價上漲）收入減去費(fèi)用后的凈收益可供基金持有人分配。問題：基金包括不同時期的投資。如何把基金的收益分配給不同時期的投資？48基金收益的分配方法：投資組合法

(portfoliomethod)投資年度法

(investmentmethod)49投資組合法

(portfoliomethods)方法：按照基金的平均收益率分配投資收入。適用情況：基金的收益率水平一直保持恒定。例：基金的收益率為6%，某投資者的投資額是10000元，投資期限是9個月，則分配給他的利息收入是復(fù)利法：10000(1+0.06)9/12–10000=446.71單利法：10000×6%×9/12

=

450

組合法分配收益存在的問題：各年的收益率不同時，投資組合法可能不公平。例：假設(shè)：2015年投資的收益率8％，2016年投資的收益率10％，平均為8.5%。如果對2016年的新投資按8.5％分配收益，不公平，也不利于吸引新投資。如何解決上述問題？用投資年度方法分配收益。如：2015年的投資按8％分配收益。2016年的新增投資，按10%分配收益。例：2015年初投資的1單位，在2016年初增長為1.08，在2016年末分配收益時：本金1按8%分配收益利息0.08按10%分配收益故平均收益率為：

(1×0.08+0.08×0.1)

1.08=8.148%52投資年度法

(investmentyearmethod，newyearmethod)各年的收益率不同？投資年度法分配收益時使用的兩種利率：投資年度利率：投資年度不同，利率不同。組合利率：不同年度的投資使用相同的平均利率。投資年度法的應(yīng)用：新投資在前幾年按投資年度利率分配收益，超過一定年數(shù)以后，按組合利率分配收益。53投資年度利率例：2010年的投資在分配收益時使用的利率54投資年度利率例：2012年的投資在分配收益時使用的利率55投資年度利率例：2015年的投資在分配收益時使用的利率56投資年度利率例：各年的投資在2014年分配收益時使用的利率CalendaryearofinvestmentInvestmentyearratesCalendaryearofportfolioratePortfolioratei1i2i3200010%10%r20038%200112%5%10%2004r-

0.0120028%r-

0.0212%20056%20039%11%6%20069%20047%7%10%200710%Exercise

:

Aninvestmentof100ismadeatthebeginningofyears2000,2001,and2002.Thetotalamountofinvestmentinterestcreditedbythefundduringtheyear2003isequalto28.40.Findr.58解：2000年初的投資在2003年的利息收入：100(1.10)(1.10)(1+r)(0.08)2001年初的投資在2003年的利息收入為：

100(1.12)(1.05)(0.1)

=

11.762002年初的投資在2003年的利息收入為：

100(1.08)(r

?0.02)總利息收入

=

28.4，故r=7.75%一個從第2年末到第5年末的現(xiàn)金流，時刻t的付款率為t+2，利息力為0.05t。計(jì)算該現(xiàn)金流在t=3時刻的價值。計(jì)算該現(xiàn)金流從時刻t=2到時刻t=3的收益率。59練習(xí)題6061ExercisePaymentsof1000areinvestedattheendofeachyearfor5years.Thepaymentsearninterestatanannualeffectiverateof10%.Theinterestcanbereinvestedatanannualeffectiverateof6%inthefirst4yearsandatanannualeffectiverateof

k

thereafter.Theamountinthefundattheendof5yearsis6090.Calculatek.62Solution:k=10.51%Hence,theinterestpaymentsare:63ExerciseEricdeposits12intoafundattime0andanadditional12intothesamefundattime10.Thefundcreditsinterestatanannualeffectiverateofi.Interestispayableannuallyandreinvestedatanannualeffectiverateof0.75i.Attime20,theaccumulatedamountofthereinvestedinterestpaymentsisequalto64.Calculatei,i>0.64Thefuturevalueattime20ofthiscashflowis65ExerciseVictorinvests300intoabankaccountatthebeginningofeachyearfor20years.Theaccountpaysoutinterestattheendofeveryyearatanannualeffectiveinterestrateofi.Theinterestisreinvestedatanannualeffectiverateof(i/2).Theyieldrateontheentireinvestmentoverthe20yearperiodis8%annualeffective.Determinei.66Solution

Sincetheyieldrateontheentireinvestmentoverthe20yearperiodis8%annualeffective,theaccumulatedvalueattheendof20yearsisThecashflowoftheinterestsisSo,thefuturevalueattime20ofthiscashflowis67ExerciseSusaninvestsZattheendofeachyearforsevenyearsatanannualeffectiveinterestrateof5%.Theinterestcreditedattheendofeachyearisreinvestedatanannualeffectiverateof6%.TheaccumulatedvalueattheendofsevenyearsisX.LoriinvestsZattheendofeachyearfor14yearsatanannualeffectiveinterestrateof2.5%.Theinterestcreditedattheendofeachyearisreinvestedatanannualeffectiverateof3%.Theaccumulatedvalueattheendof14yearsisY.CalculateY/X.68SolutionWemayassumethatZ=1.Susan’s