2022-2023學年浙江省紹興市上虞區(qū)高一下學期期末質量調研卷數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市上虞區(qū)2022-2023學年高一下學期期末質量調研卷數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因，所以的虛部為.故選：D.2.P是所在平面上一點，滿足，則的形狀是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形〖答案〗B〖解析〗由，可得，即，即，將等式兩邊平方，化簡得，∴，即，因此，是直角三角形.故選：B．3.在中，若，，，則＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量平行四邊形法則，知當時，，又，，故，，則，所以．故選：B.4.已知、表示兩個不同的平面，是一條直線且，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由平面與平面垂直的判定定理知，為平面內的一條直線，如果，則，故充分性成立；反過來為平面內的一條直線，由可能有或或與相交（不垂直）三種情況，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件．故選：A．5.設，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，當，時，滿足，但，選項A錯誤；對于B，當時，，則與不一定平行，選項B錯誤；對于C，由，則，即，所以，所以與同向，即，選項C正確；對于D，若，則，所以，不能得出，選項D錯誤．故選：C.6.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取中點，連接，因為是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點作垂直平面，垂足為點，由對稱性可知點必定落在的延長線上面，由幾何關系，設，而由正弦定理邊角互換得，進而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.7.某校組織高一1班，2班開展數(shù)學競賽，1班40人，2班30人，根據統(tǒng)計分析，兩班成績的方差分別為，.記兩個班總成績的方差為，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設兩個班的平均分分別為，，兩個班的總的平均分為，則.故選：B.8.所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側面，兩底面之間的距離叫高，經過高的中點且平行于兩個底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，分別過點，作的垂線，垂足分別為點，，連接，，容易求得，，取的中點，連接，易得，則，所以多面體的體積.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則在復平面內對應的點在一條直線上〖答案〗AD〖解析〗對于A：設，若，則，故，必有，A正確；對于B：若，，則有，但，B錯誤；對于C：若，，則有，但，C錯誤；對于D：設復數(shù)，在復平面內對應的點為和，若，則在復平面內對應的點為線段的中垂線，故在復平面內對應的點在一條直線上，D正確.故選：AD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，分別是上的兩點，且，與交于點，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.在方向上的投影向量的模長為〖答案〗BD〖解析〗由題意可知：為中點，則，以為原點，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示：所以，，設由，可得，即是中點，，故選項正確；，故選項錯誤；又因為則，故選項錯誤；易知在方向上的投影向量的模長為，故選項D正確．故選：BD.11.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱的中點，點P為線段上的動點（包含端點），則（）A.存在點P，使得平面 B.對任意點P，平面平面C.兩條異面直線和所成的角為 D.點到直線的距離為4〖答案〗ABD〖解析〗A：當與重合時，由題可知，，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，故A正確；B：連接，平面，平面，，又，故，又平面，平面，又平面，故對任意點P，平面平面，故B正確；C：由正方體的結構特征可知，異面直線和所成的角即為和所成的角，由圖可知為，故C錯誤；D：由正方體的特征可得，，所以點到直線的距離，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.盒中有四個大小、形狀完全相同的小球，分別編號為1、2、3、4，現(xiàn)從中任取兩個小球，則取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為_____________．〖答案〗〖解析〗首先從中任取兩個小球有共個基本事件，取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)有共個基本事件，所以取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為.故〖答案〗為：.13.在中，角的對邊分別為，已知．則角______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理及二倍角公式得：，因為在中，，，即，即，因為在中，，所以，所以.故〖答案〗為：.14.位于奧體核心的杭州世紀中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設施構成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽為代表新杭州風貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據：）〖答案〗310〖解析〗設米，因為在點C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因為，，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故〖答案〗為：310.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設是不共線的兩個非零向量．（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)k的值．解：（1）由，得，，所以，且有公共點B，所以三點共線.（2）由與共線，則存在實數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個非零向量，因此，解得，或，實數(shù)k的值是.16.記的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周長為20，面積為，求邊c．解：（1），由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得.（2）由（1），得，則，由余弦定理，得，即，得，又，所以，即，即，解得.17.2023年為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學生中隨機抽取了80名，統(tǒng)計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學生被評為“航天達人”，將數(shù)據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該中學參加這次競賽的共有3000名學生，試估計全校這次競賽中“航天達人”的人數(shù)；（2）估計參加這次競賽的學生成績的第75百分位數(shù)；（3）若在抽取的80名學生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學生中隨機抽取6人，再從6人中選擇2人作為學生代表，求被選中的2人均為航天達人的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，成績在內的頻率為，則估計全校這次競賽中“航天達人”的人數(shù)約為人.（2）由頻率分布直方圖可知，成績在內的頻率為，成績在內的頻率為，成績在內的頻率為，成績在內的頻率為，成績在內的頻率為，所以成績在分以下的學生所占的比例為，成績在分以下的學生所占的比例為，所以成績的分位數(shù)一定在內，即，因此估計參加這次競賽的學生成績的分位數(shù)為.（3）因為，，，所以從成績在，，內的學生中分別抽取了人，人，人，其中有人為航天達人，設為，有人不是航天達人，設為，則從6人中選擇2人作為學生代表，有，共種，其中2人均為航天達人為共種，所以被選中的2人均為航天達人的概率為．18.如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉得到三棱臺，其中，．（1）求證：；（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．解：（1）連接BD，DE，設，則，取AB的中點G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，得，∴，∴，同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，.（2）由（1）知，又∵，∴，由，得，又∵，面ABCD，∴面ABCD，過點D作交AB于點M，連接EM，因為面ABCD，所以，又因為，且面DEM，則面DEM，又面ABE，∴面面ABE，過點D作交EM于點N，連接AN，∴就是直線AD與面ABE所成的線面角，∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角，∵，又，，∴，又，∴，即直線AD與平面CDF所成線面角的正弦值為.19.如圖，已知圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，圓柱的兩條母線．（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值．解：（1）為圓柱的母線，平面，又平面，①是下底面圓的直徑，，②①②及平面，平面，平面，又平面平面平面．（2）在中，設，則，，當且僅當時，不等式取“=”號，故最大值為18．浙江省紹興市上虞區(qū)2022-2023學年高一下學期期末質量調研卷數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因，所以的虛部為.故選：D.2.P是所在平面上一點，滿足，則的形狀是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形〖答案〗B〖解析〗由，可得，即，即，將等式兩邊平方，化簡得，∴，即，因此，是直角三角形.故選：B．3.在中，若，，，則＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量平行四邊形法則，知當時，，又，，故，，則，所以．故選：B.4.已知、表示兩個不同的平面，是一條直線且，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由平面與平面垂直的判定定理知，為平面內的一條直線，如果，則，故充分性成立；反過來為平面內的一條直線，由可能有或或與相交（不垂直）三種情況，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件．故選：A．5.設，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，當，時，滿足，但，選項A錯誤；對于B，當時，，則與不一定平行，選項B錯誤；對于C，由，則，即，所以，所以與同向，即，選項C正確；對于D，若，則，所以，不能得出，選項D錯誤．故選：C.6.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取中點，連接，因為是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點作垂直平面，垂足為點，由對稱性可知點必定落在的延長線上面，由幾何關系，設，而由正弦定理邊角互換得，進而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.7.某校組織高一1班，2班開展數(shù)學競賽，1班40人，2班30人，根據統(tǒng)計分析，兩班成績的方差分別為，.記兩個班總成績的方差為，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設兩個班的平均分分別為，，兩個班的總的平均分為，則.故選：B.8.所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側面，兩底面之間的距離叫高，經過高的中點且平行于兩個底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，分別過點，作的垂線，垂足分別為點，，連接，，容易求得，，取的中點，連接，易得，則，所以多面體的體積.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則在復平面內對應的點在一條直線上〖答案〗AD〖解析〗對于A：設，若，則，故，必有，A正確；對于B：若，，則有，但，B錯誤；對于C：若，，則有，但，C錯誤；對于D：設復數(shù)，在復平面內對應的點為和，若，則在復平面內對應的點為線段的中垂線，故在復平面內對應的點在一條直線上，D正確.故選：AD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，分別是上的兩點，且，與交于點，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.在方向上的投影向量的模長為〖答案〗BD〖解析〗由題意可知：為中點，則，以為原點，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示：所以，，設由，可得，即是中點，，故選項正確；，故選項錯誤；又因為則，故選項錯誤；易知在方向上的投影向量的模長為，故選項D正確．故選：BD.11.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱的中點，點P為線段上的動點（包含端點），則（）A.存在點P，使得平面 B.對任意點P，平面平面C.兩條異面直線和所成的角為 D.點到直線的距離為4〖答案〗ABD〖解析〗A：當與重合時，由題可知，，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，故A正確；B：連接，平面，平面，，又，故，又平面，平面，又平面，故對任意點P，平面平面，故B正確；C：由正方體的結構特征可知，異面直線和所成的角即為和所成的角，由圖可知為，故C錯誤；D：由正方體的特征可得，，所以點到直線的距離，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.盒中有四個大小、形狀完全相同的小球，分別編號為1、2、3、4，現(xiàn)從中任取兩個小球，則取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為_____________．〖答案〗〖解析〗首先從中任取兩個小球有共個基本事件，取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)有共個基本事件，所以取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為.故〖答案〗為：.13.在中，角的對邊分別為，已知．則角______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理及二倍角公式得：，因為在中，，，即，即，因為在中，，所以，所以.故〖答案〗為：.14.位于奧體核心的杭州世紀中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設施構成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽為代表新杭州風貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據：）〖答案〗310〖解析〗設米，因為在點C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因為，，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故〖答案〗為：310.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設是不共線的兩個非零向量．（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)k的值．解：（1）由，得，，所以，且有公共點B，所以三點共線.（2）由與共線，則存在實數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個非零向量，因此，解得，或，實數(shù)k的值是.16.記的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周長為20，面積為，求邊c．解：（1），由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得.（2）由（1），得，則，由余弦定理，得，即，得，又，所以，即，即，解得.17.2023年為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學生中隨機抽取了80名，統(tǒng)計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學生被評為“航天達人”，將數(shù)據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該中學參加這次競賽的共有3000名學生，試估計全校這次競賽中“航天達人”的人數(shù)；（2）估計參加這次競賽的學生成績的第75百分位數(shù)；（3）若在抽取的80名學生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學生中隨機抽取6人，再從6人中選擇2人作為