2.2.4均值不等式及其應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用高銀枝性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b

a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c

b＋c可逆4可乘性

?ac

bcc的符號

?ac

bc<>><復(fù)習(xí)回顧5同向可加性

?a＋c

b＋d同向6同向同正可乘性

?ac

bd同向7可乘方性a>b>0?an

bn(n∈N，n≥2)同正8可開方性a>b>0?

(n∈N，n≥2)同正9可倒性a>b?同號>>>>左圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。思考：正方形的面積和四個(gè)直角三角形的面積之間有怎樣的關(guān)系？

證明：

基本不等式1.如果a>0，b>0，

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號成立.其中

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，

叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.變形：ab≤

，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立.a＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立.≤a＝b思考：能否利用下圖給出基本不等式的幾何解釋？

01020304思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU對于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(

)√××√在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)均為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件是否具備.例1根據(jù)上題，是否能得出對勾函數(shù)的最值及何時(shí)取最值？練1下列等式中最小值為4的是（）√下列不等式中，正確的是（）√例2（1）已知矩形的面積為100，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大是多少？能否將上題的結(jié)論進(jìn)行文字表述？當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。積定和最?。缓投ǚe最大。練2基本不等式類型題基本不等式1.如果a>0，b>0，

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號成立.其中

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，

叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.變形：ab≤

，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立.a＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立.≤a＝b1.一正二定三相等一正二定三相等2.積定和最??；和定積最大?！選>－1，∴x＋1>0，即x＝2時(shí)，等號成立.解析

積定和最小和定積最大3.補(bǔ)“1”法≥6＋10＝16，故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16.

跟蹤訓(xùn)練2x>0，y>0且2x＋8y＝xy，則x＋y的最小值是_______.18

4.利用基本不等式證明

證明：因?yàn)閍,b都是正數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)“4a=b”時(shí)等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)“ab=4”時(shí)等號成立；

當(dāng)且僅當(dāng)“

即

”時(shí)等號成立.

多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號能否成立

因?yàn)閍,b,c都是正數(shù)，證明：

因?yàn)閍,b,c都是正數(shù)且a+b+c=1，

累加法是不等式證明中的一種常用方法5.由等式轉(zhuǎn)不等式x>0，y>0且

，求xy的最大值。求x+y的最大值。

6.恒成立和有解問題

7.實(shí)際問題反思感悟在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)均為正；二是尋求定值，求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值，求積式最大值時(shí)應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備.反思感悟利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知