4.4數(shù)學(xué)歸納法課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基

→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0

(n0∈N*)時(shí)命題成立初始值n0的值要結(jié)合題意而定,不要理所當(dāng)然認(rèn)為是1歸納遞推→以“當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)

時(shí)命題也成立”

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.n=k+1過(guò)關(guān)自診1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為

n(n-3)條時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n的值是多少?提示

n=4.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)的過(guò)程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí),左邊增加的項(xiàng)數(shù)為

.

2k提示

左邊增加的項(xiàng)為(2k+1)+(2k+2)+…+(2k+2k),共2k項(xiàng).即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由①②知,對(duì)于n∈N*等式成立.重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解【例1】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時(shí),初始值n0應(yīng)等于

.

答案

6

解析

由題意,得當(dāng)n=1時(shí),21<(1+1)2;當(dāng)n=2時(shí),22<(2+1)2;當(dāng)n=3時(shí),23<(3+1)2;當(dāng)n=4時(shí),24<(4+1)2;當(dāng)n=5時(shí),25<(5+1)2;當(dāng)n=6時(shí),26>(6+1)2,所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時(shí),初始值n0應(yīng)等于6.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的過(guò)程如下:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,則當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)于任何n∈N*,等式都成立.上述證明,錯(cuò)誤是

.

答案

未用歸納假設(shè)

解析

本題在由n=k成立證明n=k+1成立時(shí),應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上歸納假設(shè),這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.規(guī)律方法

數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)注意點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn),有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵:數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推,要正確分析式子中項(xiàng)數(shù)的變化,弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設(shè)是核心:在第二步證明n=k+1時(shí),一定要利用歸納假設(shè).解析

在n=k+1時(shí),沒(méi)有應(yīng)用n=k時(shí)的歸納假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.則上述證法(

)A.過(guò)程全部正確 B.n=1驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確D探究點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例2】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“從k到k+1”左端增乘的代數(shù)式為

.

答案

2(2k+1)解析

令f(n)=(n+1)(n+2)·…·(n+n),則f(k)=(k+1)(k+2)·…·(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)·(2k+2),所以規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)首先根據(jù)待證等式的特征,明確等式的兩邊各有多少項(xiàng),項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān),由n=k變化到n=k+1時(shí)等式兩邊會(huì)增加(或減少)多少項(xiàng).(2)利用歸納假設(shè),將n=k時(shí)的式子經(jīng)過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化到n=k+1時(shí)的式子中得到要證的結(jié)論.變式訓(xùn)練2[北師大版教材例題]用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)為a1,公差為d的等這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)①和②,可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.探究點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

探究點(diǎn)四歸納—猜想—證明【例4】

將正整數(shù)進(jìn)行如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和,如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測(cè)S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解

(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜測(cè)S1+S3+…+S2n-1=n4.證明如下:記Mn=S1+S3+…+S2n-1.①當(dāng)n=1時(shí),猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.由①②,可知對(duì)任意n∈N*,猜想都成立.規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的基本步驟

計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.根據(jù)①和②,可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.探究點(diǎn)五數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問(wèn)題中的應(yīng)用【例5】

用數(shù)學(xué)歸納法證明:23n-1(n∈N*)能被7整除.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),23k-1能被7整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí),23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因?yàn)?3k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.規(guī)律方法

使用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題常用的方法:將n=k+1時(shí)的式子分成兩部分,一部分應(yīng)用歸納假設(shè),另一部分通過(guò)變形處理,確定其能夠被某個(gè)數(shù)整除.常用的變形技巧是加減同一個(gè)數(shù)以方便能夠提取公因式.變式訓(xùn)練5[北師大版教材習(xí)題]用數(shù)學(xué)歸納法證明:x2n-y2n能被x+y整除(n∈N*).證明①當(dāng)n=1時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y).故x2-y2能被x+y整除,命題成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),x2k-y2k能被x+y整除.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k.

把x2k=(xk+yk)(xk-yk)+y2k,代入

得x2k+2-y2k+2=x2(xk+yk)·(xk-yk)+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),由假設(shè)知x2k-y2k能被x+y整除,x2-y2能被x+y整除,故x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除.所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.綜上,對(duì)于n∈N*,原命題成立.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念.(2)增加或減少項(xiàng)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式、整除問(wèn)題.(4)歸納—猜想—證明.2.方法歸納:代入法檢驗(yàn),數(shù)學(xué)歸納法.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)對(duì)n0取值的問(wèn)題易出錯(cuò);(2)增加或減少的項(xiàng)數(shù)易出錯(cuò);(3)從n=k到n=k+1時(shí),注意兩邊項(xiàng)數(shù)的變化.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練D123456789101112131415162.[探究點(diǎn)一]用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).從n=k(k∈N*)到n=k+1,若設(shè)f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),則f(k+1)=(

)A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]B解析

由數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)時(shí),從“k”到“k+1”的證明,左邊需增添的一個(gè)因式是

=2(2k+1),則f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].123456789101112131415163.[探究點(diǎn)一](多選題)已知一個(gè)命題p(k),k=2n(n∈N*).若當(dāng)n=1,2,…,1000時(shí),p(k)成立,且當(dāng)n=1001時(shí)也成立,則下列判斷中正確的是(

)A.p(k)對(duì)k=528成立B.p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C.p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D.p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立AD解析

由題意知p(k)對(duì)k=2,4,6,…,2

002成立,當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立,故選AD.1234567891011121314151612345678910111213141516關(guān)于上述證明過(guò)程的說(shuō)法正確的是(

)A.證明過(guò)程全都正確B.當(dāng)n=1時(shí)的驗(yàn)證正確C.歸納假設(shè)正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確BCD解析

n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè),而通過(guò)不等式的放縮法直接證明,不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選BCD.123456789101112131415165.[探究點(diǎn)五·2023江西新余月考]用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除時(shí),當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)于34(k+1)+2+52(k+1)+1應(yīng)變形為

.

34(34k+2+52k+1)-56·52k+1解析

34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.12345678910111213141516(1)求出a2,a3并猜想{an}的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.12345678910111213141516123456789101112131415167.[探究點(diǎn)三·人教B版教材例題]求證:當(dāng)n是大于或等于5的正整數(shù)時(shí),2n>n2.證明①當(dāng)n=5時(shí),25=32,52=25,顯然25>52,所以此時(shí)命題成立.②假設(shè)n=k(其中k≥5)時(shí)命題成立,即2k>k2.因?yàn)閗≥5,所以k2≥5k>2k+1,因此2k+1=2×2k>2×k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2.可知不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.綜上可知,不等式對(duì)任何大于或等于5的正整數(shù)n都成立.123456789101112131415168.[探究點(diǎn)二·北師大版教材習(xí)題]平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N*)條直線,其中任何兩條都不平行,任何三條都不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),用數(shù)學(xué)歸納法證明:交點(diǎn)的個(gè)數(shù)證明①當(dāng)n=2時(shí),兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn).而f(2)=1,命題成立.第(k+1)條直線與前k條直線均有一個(gè)交點(diǎn),即新增k個(gè)交點(diǎn).即

由①②知,對(duì)于n≥2原命題成立.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練12345678910111213141516D1234567891011121314151610.利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=

n(n+1)(n+2)(n∈N*),當(dāng)n=k時(shí),左邊的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,記作Sk,則當(dāng)n=k+1時(shí)左邊的和,記作Sk+1,則Sk+1-Sk=(

)A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)C1234567891011121314151611.(多選題)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:當(dāng)f(k)≥k+1成立時(shí),總有f(k+1)≥k+2成立.則下列命題總成立的是(

)A.若f(6)<7成立,則f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,則f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k+1成立AD12345678910111213141516解析

選項(xiàng)A中,若f(5)<6不成立,則f(5)≥6,由題意知f(6)≥7,與f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正確;選項(xiàng)D中,若f(4)≥5成立,則f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),結(jié)合f(4)≥5,所以當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k+1成立,故D正確;選項(xiàng)C中,同選項(xiàng)A,應(yīng)有f(1)<2成立,故C錯(cuò)誤;B不一定成立.所以選AD.1234567891011121314151612.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時(shí),f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”時(shí),第二步“假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,證明當(dāng)n=k+1時(shí)f(k+1)也能被8整除”的過(guò)程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,則A的表達(dá)式為

.

A=4(5k+3k-1)解析

因?yàn)閒(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1).故A=4(5k+3k-1).12345678910111213141516∈N*都成立?若不存在,說(shuō)明理由;若存在,用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.12345678910111213141516①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,∴等式成立;1234567891011121314151614.[北師大版教材例題]用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).證明①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+α,右邊=1+α,命題成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)棣?gt;-1,所以1+α>0.根據(jù)假設(shè)知,(1+α)k≥1