第一章數(shù)列章末總結(jié)提升課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第一章數(shù)列章末總結(jié)提升北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升易錯易混·銜接高考知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一方程思想求解數(shù)列問題1.數(shù)列通項是數(shù)列問題的“牛鼻子”,在已確定數(shù)列是等差(比)數(shù)列的情況,通常圍繞等差(比)數(shù)列的首項和公差(比)列方程(組).2.重點提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).【例1】

等差數(shù)列{an}的各項為正整數(shù),a1=3,前n項和為Sn,在等比數(shù)列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,是公比為64的等比數(shù)列,求數(shù)列{an},{bn}的通項

公式.規(guī)律方法

在等比數(shù)列和等差數(shù)列中,通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量,即a1,an,n,q(d),Sn,其中首項a1和公比q(公差d)為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1,an,n,q(d),Sn的方程組,通過方程的思想解出需要的量.變式訓(xùn)練1已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前4項和為10,且a1,a2,a4是等比數(shù)列{bn}的前3項.(1)求an,bn;(2)設(shè)cn=bn+,求{cn}的前n項和Sn.專題二轉(zhuǎn)化與化歸思想求解數(shù)列問題角度1.求數(shù)列的通項公式1.在求數(shù)列通項公式時如果不知道數(shù)列是等差(比)數(shù)列,通常先對數(shù)列進(jìn)行判斷,必要時可構(gòu)造一個新的數(shù)列是等差(比)數(shù)列,然后借助等差(比)數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.2.重點提升邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).【例2】

已知在數(shù)列{an}中,a1=3,且滿足an+1=3an+2×3n+1.(1)證明:數(shù)列

為等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式;(2)若不等式λan>4n2-8n+3對?n∈N+恒成立,求λ的取值范圍.規(guī)律方法

由遞推公式求通項公式,要求掌握的方法有兩種:一種求法是先找出數(shù)列的前幾項,通過觀察、歸納得出,然后證明;另一種是通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再采用公式求出.變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=(n+2)an-2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(1)解

當(dāng)n=1時,2S1=(1+2)a1-2,解得a1=2.當(dāng)n≥2時,2Sn=(n+2)an-2,①2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2,②由①-②,得2an=(n+2)an-(n+1)an-1,即nan=(n+1)an-1.角度2.數(shù)列求和1.數(shù)列求和的主要方法有裂項相消法、錯位相減法、分組求和法等.2.數(shù)列求和的方法主要提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).方法1

分組求和與并項求和【例3】

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+).(1)證明{an+1}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{an+n+1}的前n項和Sn.解

(1)由題意可得a1+1=2≠0,所以{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,則an+1=2n,即an=2n-1,因此{(lán)an}的通項公式為an=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1,令bn=an+n+1,則bn=2n+n,所以Sn=b1+b2+…+bn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)規(guī)律方法

某些數(shù)列通過適當(dāng)分組,可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和,從而得出原數(shù)列的和.有些數(shù)列相鄰兩項的和是同一個常數(shù)或構(gòu)成等差數(shù)列,這些數(shù)列的求和通常用并項法,但要注意對n分奇偶數(shù)討論.變式訓(xùn)練3(1)數(shù)列{(-1)nn}的前n項和為Sn,則S2020等于(

)A.1010 B.-1010C.2020 D.-2020A解析

S2

020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2

019+2

020)=1

010.(2)已知數(shù)列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….①求其通項公式an;②求這個數(shù)列的前n項和Sn.解

①an=1+2+22+…+2n-1==2n-1.故這個數(shù)列的通項公式為an=2n-1.②Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.方法2

裂項相消法求和【例4】

已知等比數(shù)列{an}的首項為1,公比q≠1,Sn為其前n項和,a1,a2,a3分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項.(1)求an和Sn;(1)解

∵a1,a2,a3分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項,∴a3-a2=2(a2-a1),∴a1q2-a1q=2a1q-2a1.∵a1=1,∴q2-3q+2=0,規(guī)律方法

1.若數(shù)列{an}的通項公式能轉(zhuǎn)化為f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂項相消法求和.2.當(dāng)使用裂項相消法求和時,要注意正負(fù)項相消時,消去了哪些項,保留了哪些項.3.常見的裂項相消法技巧有:方法3

錯位相減法求和【例5】

已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;(2)記bn=的前n項和為Tn,求Tn.分析(1)列方程組求出等差數(shù)列{an}的首項和公差;(2)利用錯位相減法求Tn.解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,∴

=2a1·(a3+1),∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.規(guī)律方法

一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,就可采用錯位相減法.當(dāng)寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時,應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.變式訓(xùn)練5已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=2an-1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足an·bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解

(1)因為Sn=2an-1,所以Sn-1=2an-1-1(n≥2,n∈N+),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2,n∈N+),所以an=2an-1(n≥2,n∈N+),當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1-1,a1=1,所以數(shù)列{an}是首項a1=1,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n-1.專題三函數(shù)思想求解數(shù)列問題【例6】

在等差數(shù)列{an}中,3a8=5a13,a1>0.若Sn為{an}的前n項和,則S1,S2,…,Sn中有沒有最大值?請說明理由.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.規(guī)律方法

1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),在求解數(shù)列問題時,若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或增減性時,均可考慮采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導(dǎo)解題.值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或{1,2,3,…,n},這一特殊性對問題結(jié)果可能造成影響.2.以函數(shù)為載體給出數(shù)列,只需代入函數(shù)式即可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.變式訓(xùn)練6設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)=

.

2n2+3n

解析

設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),又f(0)=1,則b=1,所以f(x)=kx+1(k≠0).又[f(4)]2=f(1)f(13),所以(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2.所以f(x)=2x+1,則f(2n)=4n+1.所以{f(2n)}是公差為4的等差數(shù)列.所以f(2)+f(4)+…+f(2n)==2n2+3n.易錯易混·銜接高考123456781.[2024全國甲,文4]等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S9=1,a3+a7=(

)D123456782.[2024全國甲,理4]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S5=S10,a5=1,則a1=(

)B123456783.(多選題)[2024安徽合肥模擬]已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,則(

)A.Sn+1=S1+qSnB.對任意n∈N+,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列C.對任意n∈N+,Sn,2S2n,3S3n成等差數(shù)列D.若a1<0,則數(shù)列

是遞增數(shù)列的充要條件是-1<q<0AD12345678解析

對于A,Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+q(a1+a2+…+an)=S1+qSn,A正確;對于B,當(dāng)q=-1,n為偶數(shù)時,Sn=0,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不是等比數(shù)列,B錯誤;對于C,當(dāng)q=1時,數(shù)列{an}為常數(shù)列,此時Sn,2S2n,3S3n不會成等差數(shù)列,C錯誤;對于D,若數(shù)列{S2n-1}是遞增數(shù)列,則有S2n+1-S2n-1=a2n+a2n+1=a2n(1+q)=a1q2n-1(1+q)>0,由于a1<0,則有q2n-1(1+q)<0恒成立,必有-1<q<0.反之,若-1<q<0,則S2n+1-S2n-1=a2n+a2n+1=a2n(1+q)=a1q2n-1(1+q),由于a1<0,q2n-1<0,1+q>0,則有S2n+1-S2n-1=a1q2n-1(1+q)>0,故數(shù)列{S2n-1}是遞增數(shù)列,所以D正確.故選AD.123456784.[2024全國新高考卷Ⅱ,12]設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=

.

95

123456785.[2024陜西西安蓮湖模擬]已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且123456786.[2024河北石家莊模擬]已知等差數(shù)列{an}(公差不為0)和等差數(shù)列{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,如果關(guān)于x的實系數(shù)方程1003x2-S1003x+T1003=0有實數(shù)解,則在這1003個關(guān)于x的方程x2-aix+bi=0(i=1,2,…,1003)中,有實數(shù)解的方程至少有

個.

5021234567812345678所以Δ1≥0,Δ1

003≥0中至少一個成立,同理可得Δ2≥0,Δ1

002≥0中至少一個成立,…,Δ501≥0,Δ503≥0中至少一個成立,且Δ502≥0,綜上,在所給的1

003個方程中,有實根的方程至少有502個.123456787.[2024北京卷,15]已知M={k|ak=bk},{an},{bn}不為常數(shù)列且各項均不相同,下列正確的是

.

①若{an},{bn}均為等差數(shù)列,則M中最多一個元素;②若{an},{bn}均為等比數(shù)列,則M