6.3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系（第1課時(shí)）課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章立體幾何初步3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第1課時(shí)關(guān)于平面的3個(gè)基本事實(shí)和推論北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)長(zhǎng)方體這一常見(jiàn)的幾何體,體會(huì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.3.掌握平面的基本性質(zhì)(3個(gè)基本事實(shí)和3個(gè)推論),并能應(yīng)用其解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷和共點(diǎn)、共線、共面等問(wèn)題的證明.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系

類(lèi)型位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)B在直線a上

B∈a點(diǎn)A在直線a外

點(diǎn)與平面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面α內(nèi)

點(diǎn)B在平面α外B?αA?aA∈α類(lèi)型位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示直線與直線的位置關(guān)系

即不平行又不相交的兩條直線在空間中存在,在平面幾何中不存在相交

a∩b=O不相交

或

a∩b=?類(lèi)型位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)

a?α直線與平面相交

a∩α=A直線與平面平行

a∥α類(lèi)型位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示平面與平面的位置關(guān)系平面與平面平行

平面與平面相交

α∩β=aα∥β名師點(diǎn)睛1.在用符號(hào)語(yǔ)言表示點(diǎn)、線、面的關(guān)系時(shí),要分清是屬于元素和集合的關(guān)系,還是集合之間的關(guān)系,一般點(diǎn)看成元素,線和面看成點(diǎn)的集合.2.直線與平面平行和直線與平面相交統(tǒng)稱為直線在平面外,即3.點(diǎn)、線的位置關(guān)系用圖示表示時(shí)可以用平面襯托,線面或面面位置關(guān)系的圖示表示時(shí)要注意線的虛實(shí),被遮擋的要畫(huà)成虛線或不畫(huà).過(guò)關(guān)自診把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上.(1)A?α,a?α

.

(2)α∩β=a,P?α,且P?β

.

(3)a∩α=A

.

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O

.

CDAB知識(shí)點(diǎn)二

平面的基本性質(zhì)及其推論1.平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)內(nèi)容圖形表示符號(hào)表示基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的

,有且只有一個(gè)平面

唯一性

若A,B,C三點(diǎn)不共線,則存在唯一的平面α使A,B,C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,則l?α三個(gè)點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)基本事實(shí)內(nèi)容圖形表示符號(hào)表示基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有

條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

唯一性

P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l,其中l(wèi)表示一條直線一2.三個(gè)推論

推論內(nèi)容圖形表示推論1一條直線和該直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面

推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面

推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面

名師點(diǎn)睛三個(gè)基本事實(shí)的作用(1)基本事實(shí)1:①確定一個(gè)平面;②判斷兩個(gè)平面重合;③證明點(diǎn)、線共面.(2)基本事實(shí)2:①判斷直線是否在平面內(nèi),點(diǎn)是否在平面內(nèi);②用直線檢驗(yàn)平面.(3)基本事實(shí)3:①判斷兩個(gè)平面相交;②證明點(diǎn)共線;③證明線共點(diǎn).過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.(

)(2)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō)α,β相交于A點(diǎn),記作α∩β=A.(

)(3)空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.(

)(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.(

)××××2.[人教A版教材習(xí)題]下列命題正確的是(

)A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面D.梯形可確定一個(gè)平面D解析

A錯(cuò)誤,因?yàn)槿c(diǎn)可能共線,也可能不共線;B錯(cuò)誤,因?yàn)辄c(diǎn)可能在直線上,也可能不在直線上;C錯(cuò)誤,因?yàn)閳A上兩點(diǎn)可能是直徑的端點(diǎn),此時(shí)三點(diǎn)共線.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換【例1】

(1)若點(diǎn)A在直線b上,b在平面β內(nèi),則點(diǎn)A,直線b,平面β之間的關(guān)系用符號(hào)可以記作

.

A∈b,b?β,A∈β(2)用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出圖形.①點(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外;②直線a經(jīng)過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)A,α外一點(diǎn)B;③直線a在平面α內(nèi),也在平面β內(nèi).解①A∈α,A?β.(如圖①)②a∩α=A,B?α,B∈a.(如圖②)③α∩β=a.(如圖③)規(guī)律方法

三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換方法:用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線及相互之間的位置關(guān)系,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.變式訓(xùn)練1用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出圖形.(1)平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點(diǎn)A,B.(2)點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.解

(1)用符號(hào)表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如圖.(2)用符號(hào)表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C?AB,如圖.探究點(diǎn)二證明點(diǎn)、線共面【例2】

證明:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線共面.解

已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明:(方法一)納入平面法因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以B∈l2.又l2?α,所以B∈α.同理可證C∈α.因?yàn)锽∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).(方法二)輔助平面法因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1,l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以l2,l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2,l2?α,所以A∈α.因?yàn)锳∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).變式探究把本例中的“不過(guò)同一點(diǎn)”刪掉呢?這三條直線是否共面?解

①不一定共面.若三條直線兩兩相交,且過(guò)同一個(gè)點(diǎn).這三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)相交,如圖.這三條直線不共面.如圖.②若三條直線兩兩相交,且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn),由本例可知,這三條直線共面.規(guī)律方法

證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,常用方法有:(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi),即用“納入平面法”;(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合,即用“輔助平面法”;(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾,用“反證法”.注意:在遇到文字?jǐn)⑹龅慕Y(jié)論時(shí),一定要先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形寫(xiě)出已知與求證,再證明.探究點(diǎn)三證明點(diǎn)共線【例3】

已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.證明

(方法一)因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上,所以P,Q,R三點(diǎn)共線.(方法二)因?yàn)锳P∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因?yàn)锽∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.因?yàn)镼∈BC,所以Q∈平面APR.又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三點(diǎn)共線.規(guī)律方法

點(diǎn)共線:證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實(shí)3,即兩相交平面交線的唯一性,通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上;也可先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,再證明其他點(diǎn)也在其上.變式訓(xùn)練2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,E,F分別是棱CD,AB,DD1,AA1上的點(diǎn),若MN與EF交于點(diǎn)Q,求證:D,A,Q三點(diǎn)共線.證明

因?yàn)镸N∩EF=Q,所以Q∈直線MN,Q∈直線EF,又因?yàn)镸∈直線CD,N∈直線AB,CD?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以M,N∈平面ABCD,所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理,可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面ADD1A1=AD,所以Q∈直線AD,即D,A,Q三點(diǎn)共線.探究點(diǎn)四證明線共點(diǎn)【例4】

如圖所示,三個(gè)平面α,β,γ兩兩相交于三條直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行,求證:a,b,c三條直線必過(guò)同一點(diǎn).證明

因?yàn)棣痢搔?b,β∩γ=a,所以a?γ,b?γ.因?yàn)橹本€a和b不平行,所以a,b必相交.如圖所示,設(shè)a∩b=P,則P∈a,P∈b.因?yàn)閍?β,b?α,所以P∈β,P∈α.又α∩β=c,所以P∈c,即交線c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.所以a,b,c三條直線必過(guò)同一點(diǎn).規(guī)律方法

證明三線共點(diǎn)常用的方法是先說(shuō)明兩條直線共面且相交于一點(diǎn),再說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在以另一條直線為交線的兩個(gè)平面內(nèi),即該點(diǎn)在另一條直線上,則可得三線共點(diǎn).變式訓(xùn)練3如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點(diǎn),G,H分別是CD和AD上的點(diǎn),且四邊形EFGH為梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn).證明

延長(zhǎng)EH,FG,不妨設(shè)EH∩FG=O,因?yàn)镠G∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,所以EH,FG共面,且與FG不平行.因?yàn)镺∈EH,EH?平面ABD,所以O(shè)∈平面ABD,因?yàn)镺∈FG,FG?平面BCD,所以O(shè)∈平面BCD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD,所以O(shè)∈BD,所以EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn)O.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(2)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理及推論.2.方法歸納:同一法、納入法.3.常見(jiàn)誤區(qū):三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換(符號(hào)語(yǔ)言,圖形語(yǔ)言,文字語(yǔ)言).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.(多選)下列命題中錯(cuò)誤的是(

)A.空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.三角形一定是平面圖形C.若A,B,C,D既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi),則平面α和平面β重合D.四條邊都相等的四邊形是平面圖形ACD解析

對(duì)于A:若空間中三點(diǎn)共線,則無(wú)法確定平面,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:三角形一定是平面圖形,故B正確;對(duì)于C:若A,B,C,D既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi),則此四點(diǎn)可能在平面α與平面β的交線上,無(wú)法確定平面α和平面β是否重合,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:四條邊都相等的四邊形可能是空間四邊形,故D錯(cuò)誤.123452.如果點(diǎn)A在直線a上,而直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi),則可以表示