高考數(shù)學第一輪復習(新教材新高考)第10講圖形類解三角形綜合（核心考點精講精練）(學生版+解析)

第10講圖形類解三角形綜合（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等，分值為10-12分【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形2.在幾何圖形中能熟練使用相關定理求解【命題預測】本節(jié)內(nèi)容一般會在解答題中進行命題考查，考查學生的圖形轉化及計算能力，需重點備考復習知識講解正弦定理（其中為外接圓的半徑）余弦定理，，三角形的面積公式，考點一、圖形類解三角形綜合考查1．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點D，且，.

(1)求的大小；(2)求.2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模擬預測）在四邊形ABCD中，，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知為的直徑，點、在上，，垂足為，交于，且．

(1)求證：；(2)如果，，求的長．4．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，，．

(1)求；(2)若，求的面積．5．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求的面積；(2)若，，求．1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）在四邊形中，，，，為的面積，且.(1)求角；(2)若，求四邊形的周長.2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，過點作，交線段于點，且，，.

(1)求；(2)求的面積.3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示，為平面四邊形的對角線，設，為等邊三角形，記.(1)當時，求的值；(2)設為四邊形的面積，用含有的關系式表示，并求的最大值.4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________，．

(1)求；(2)如圖，為邊上一點，，，求的面積．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）如圖，平面四邊形中，的三內(nèi)角對應的三邊為．給出以下三個條件：①②③的面積為(1)從以上三個條件中任選一個，求角；(2)設，在（1）的條件下，求四邊形的面積的最大值．【基礎過關】1．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，中，角、、的對邊分別為、、.

(1)若，求角的大??；(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點，求周長的最大值.2．（2023·北京大興·校考三模）如圖，平面四邊形中，對角線與相交于點，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長度.3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？既＃┤鐖D，是邊長為2的正三角形所在平面上一點（點、、、逆時針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.4．（2023·河南開封·?？寄M預測）如圖，在中，，點在邊上，．(1)求的長；(2)若的面積為，求的長．5．（2023·全國·模擬預測）如圖，在中，，，，為外一點，．(1)若，求；(2)若，求．6．（2023·江蘇南京·南京市第九中學?？寄M預測）如圖所示，D為外一點，且，，

(1)求sin∠ACD的值；(2)求BD的長.7．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．8．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）如圖，在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，過點作，交線段于點，且，.(1)求；(2)求的面積.9．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）如圖，在中，內(nèi)角的對邊分別為，過點作，交線段于點，且．①；②；③．以其中兩個作為條件，證明另外一個成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．10．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【能力提升】1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）如圖，的面積為，記內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，.

(1)求的值；(2)已知點在線段上，點為的中點，若，求.2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）如圖，在中，，點在延長線上，且．(1)求；(2)若面積為，求．3．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足，．(1)求角B的值；(2)求BC的取值范圍．4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，為邊上一點，.

(1)求角；(2)從下面兩個條件中選一個，求角.①；②.5．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；(2)記，求的值．6．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）在中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，滿足.

(1)求的大小；(2)，點D在BC上，，在①，②，③這三個條件中任選一個作為條件，求的面積.7．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當四邊形內(nèi)接于圓O時，求角C；(2)當四邊形面積最大時，求對角線的長.8．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學?？级＃┤鐖D，在中，分別為邊上一點，.(1)若，求的長；(2)若，求的長.9．（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）在中，，，點為內(nèi)一點.

(1)若（圖1），求的面積；(2)若（圖2），求的最小值.10．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）如圖，四邊形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面積為，求ABC的周長；(2)若，，，求∠BDC的值.【真題感知】1．（全國·高考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．2．（北京·高考真題）如圖，在中，，，點在邊上，且，.（1）求；（2）求的長.3．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．4．（陜西·高考真題）在三角形ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長.5．（全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為已知.（1）求角和邊長；（2）設為邊上一點，且,求的面積.

第10講圖形類解三角形綜合（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等，分值為10-12分【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形2.在幾何圖形中能熟練使用相關定理求解【命題預測】本節(jié)內(nèi)容一般會在解答題中進行命題考查，考查學生的圖形轉化及計算能力，需重點備考復習知識講解1. 正弦定理（其中為外接圓的半徑）2. 余弦定理，，3. 三角形的面積公式，考點一、圖形類解三角形綜合考查1．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點D，且，.

(1)求的大??；(2)求.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由正弦定理結合兩角和差的正弦公式求得結果；（2）由正弦定理、余弦定理結合三角形面積公式求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得，即，因為，所以，因為，所以，即，因為，所以，所以.（2）已知角C的平分線交AB于點D，且，.在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,因為，，所以，所以.設，由余弦定理得，即，解得，因為，所以,解得.2．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預測）在四邊形ABCD中，，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)選①，；選②，(2)選①，；選②，【分析】（1）選①，利用余弦定理得到；選②，利用互補得到，結合余弦定理列出方程，求出答案；（2）選①，在（1）的基礎上，得到⊥，結合三角形面積公式求出和的面積，相加即可；選②，在（1）的基礎上求出和，利用三角形面積公式求出和的面積，相加得到答案.【詳解】（1）選①，由余弦定理得，解得，選②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，即，解得.（2）選①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四邊形ABCD的面積為；選②，，故，故，因為，所以，故，，故四邊形ABCD的面積為.3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知為的直徑，點、在上，，垂足為，交于，且．

(1)求證：；(2)如果，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）連接，由已知條件推導出，，從而得到，由此能證明．（2）由已知條件推導出，，，從而得到，由（1）得，在中，由即可得出．【詳解】（1）證明：連接，，，，又是的直徑，，，，又，，，，，．（2）解：，，，是的直徑，，，，且為銳角，，由（1）得，，在中，，即．

4．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，，．

(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)的面積為.【分析】（1）利用余弦定理即可求得邊BC的長，再由正弦定理求；（2）利用正弦定理求，根據(jù)四邊形內(nèi)角和關系結合二倍角公式求，進而求得的面積．【詳解】（1）因為，為銳角，所以．因為，，在中，由余弦定理得，即，得．在中，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，故，所以；（2）在中，由正弦定理得，又，，，即，所以．因為，，，所以，所以，所以，所以的面積.5．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求的面積；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理求出，再利用面積公式即可求出結果；（2）在和中，利用正弦定理，建立等量關系和，從而得到，再化簡即可得出結果.【詳解】（1）因為，，，由余弦定理得，所以，即，解得，所以．（2）設，在中，由正弦定理得，所以①，

在中，，，則，即②

由①②得：，即，∴，整理得，所以．

1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）在四邊形中，，，，為的面積，且.(1)求角；(2)若，求四邊形的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及數(shù)量積的定義化簡方程可得，即可得解；（2）求出，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解.【詳解】（1）由，在中得，即，可得，因為，所以.（2）由，所以，所以為等邊三角形，，所以，由正弦定理知，得，故四邊形的周長為.2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，過點作，交線段于點，且，，.

(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理將條件等式角化邊，再由余弦定理求解即可；（2）先求出，再用正弦定理求出，然后求和，即可求出的面積.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示，為平面四邊形的對角線，設，為等邊三角形，記.(1)當時，求的值；(2)設為四邊形的面積，用含有的關系式表示，并求的最大值.【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理結合條件即得；（2）利用余弦定理及三角形面積公式可表示出四邊形的面積，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質即得.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理，所以，由余弦定理，得，其中，故；（2）在中，因為，所以由余弦定理可得，因為為等邊三角形，所以，因為，所以四邊形的面積為，因為，所以，故當時，取得最大值1，即的最大值為.4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________，．

(1)求；(2)如圖，為邊上一點，，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇條件①，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算可得；若選擇條件②，利用正弦定理將邊化角，再利用誘導公式及二倍角公式求出，即可求出，最后利用二倍角正弦公式計算可得；（2）設，易知，，再利用余弦定理求出，最后由面積公式計算可得.【詳解】（1）若選擇條件①，在中，由正弦定理得，，，即，，又，；若選擇條件②，，，即，又，，所以，因為，所以，所以，所以，則，.（2）設，易知，，因為且為銳角，所以，在中，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，，.5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）如圖，平面四邊形中，的三內(nèi)角對應的三邊為．給出以下三個條件：①②③的面積為(1)從以上三個條件中任選一個，求角；(2)設，在（1）的條件下，求四邊形的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）對于①②：利用正、余弦定理結合三角恒等變換運算求解；對于③：利用余弦定理和面積公式運算求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理建立邊角關系，結合面積公式整理可得，進而可得結果.【詳解】（1）若選①：，則，整理得：，由正弦定理得，所以，因為，所以；若選②：因為，則，可得，由正弦定理得：，因為，，所以，因為，則，可得，所以，，即．若選③：的面積為，則，所以，所以，因為，所以．（2）因為，由（1）可知，所以為正三角形，設，則，可得，在中，由余弦定理，可得，所以四邊形的面積，因為，所以，所以當，即時，四邊形的面積取到最大值.【基礎過關】1．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，中，角、、的對邊分別為、、.

(1)若，求角的大?。?2)已知、，若為外接圓劣弧上一點，求周長的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結合和角的正弦求解作答.（2）由（1）及給定條件，求出，再利用余弦定理結合均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，整理得，而，即，又因為，所以.（2）在中，，由余弦定理得，于是，解得，當且僅當時取等號，所以當時，周長取得最大值.2．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，對角線與相交于點，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長度.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，結合再根據(jù)面積公式求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形性質可得，再用同角三角函數(shù)的關系與二倍角公式可得，然后根據(jù)，利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【詳解】（1）∵，，，，;（2），，，則.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，，.3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？既＃┤鐖D，是邊長為2的正三角形所在平面上一點（點、、、逆時針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理直接計算即可；（2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面積公式，結合輔助角公式及三角函數(shù)值域求出面積范圍.【詳解】（1）由，且是邊長為2的正三角形，則，且，所以在中，由余弦定理得，所以；（2）由，則，則，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，則，所以，所以，則，故的取值范圍為.4．（2023·河南開封·?？寄M預測）如圖，在中，，點在邊上，．(1)求的長；(2)若的面積為，求的長．【答案】(1)6(2)6【分析】（1）先求根據(jù)正弦定理可得.（2）由的面積先求，再由余弦定理可得.【詳解】（1），，且，根據(jù)正弦定理，可得；（2），，，得，又，由余弦定理得，．5．（2023·全國·模擬預測）如圖，在中，，，，為外一點，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在中求出，再在中利用余弦定理求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出，利用（1）的結論結合正弦定理求解作答.【詳解】（1）在中，，，，則，在中，，，則，，在中，由余弦定理得.（2）由（1）知，，因為，，則，，，由（1）知，，在中，由正弦定理得：，則，又是銳角，則，所以.6．（2023·江蘇南京·南京市第九中學?？寄M預測）如圖所示，D為外一點，且，，

(1)求sin∠ACD的值；(2)求BD的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出邊的長，用勾股定理得出邊的長，即可求出sin∠ACD的值；（2）由正弦定理求出與的關系，由余弦定理即可求出BD的長.【詳解】（1）由題意，在中，，，，由余弦定理得，，..在中，，，，.（2）由題意及（1）得，在中，由正弦定理得，.∴，且.又，∴，∴.在中，，，由余弦定理得，，∴，∴.7．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結合條件得，所以，，所以四點共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡得，因為，所以，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍．【詳解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因為，所以，所以四點共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．又，所以．（2）由（1）可知：，則，，則．在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，即，因為，所以．8．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）如圖，在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，過點作，交線段于點，且，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出結果；（2）根據(jù)，，推出，再根據(jù)，求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結果.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，即，根據(jù)余弦定理可得，因為，所以；（2）因為，且，所以，則，所以，所以.所以，即，在三角形中，，，所以，故.9．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）如圖，在中，內(nèi)角的對邊分別為，過點作，交線段于點，且．①；②；③．以其中兩個作為條件，證明另外一個成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】證明見解析.【分析】選①②③，利用正弦、余弦定理求出，進而求出即可推理作答；選②③①，利用正弦、余弦定理求出，再利用三角形面積公式、正弦定理推理作答；選①③②，作于點，利用三角形面積公式求出，再由直角三角形銳角三角函數(shù)求出，由正余弦定理推理作答.【詳解】選擇①②為條件，證明③：在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，又因為，且，即，有，因此，由正弦定理得，所以.選擇②③為條件，證明①：在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，因為，且，則有，此時，，因此，解得，由正弦定理得．選擇①③為條件，證明②：因為，且，設，在中，，有，，而，過點作于點，如圖，于是，解得，在中，有，在中，有，則有，而，解得或，當時，，又為的內(nèi)角，則，，即，所以，由余弦定理得，即，由正弦定理得：，其中為外接圓直徑，所以．當時，，顯然，即，則此時，結論不成立.10．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用正弦定理和二倍角正弦公式即可求得；（2）先求得△ADC面積最大值，進而求得四邊形面積的最大值．【詳解】（1）設四邊形ABCD外接圓的半徑為R，，則，且，∴如圖，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．即∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴（2）連接AC，由（1）知，∴又，∴△ABC為等腰直角三角形，∴解法一：取BC的中點O，AC的中點E，連接OE，則，∴當點D在OE的延長線上時，，此時△ADC面積最大，最大值為∴四邊形ABCD面積的最大值為．解法二：在△ADC中，由余弦定理得即即，∴，即，當且僅當時取等號．∴∴四邊形ABCD面積的最大值為．【能力提升】1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）如圖，的面積為，記內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，.

(1)求的值；(2)已知點在線段上，點為的中點，若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）將中的替換為，邊化角求得，再由三角形面積求即可；（2）在中由余弦定理求得，向量法求得中線，在中由余弦定理求得的余弦值，再利用平方關系求得的正弦值，最后用求解即可.【詳解】（1）∵在中，，，∴，∴由正弦定理得，，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵的面積，∴解得.（2）在中，由余弦定理得，，∴，又∵為中點，∴.∵為的中點，故，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴.2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）如圖，在中，，點在延長線上，且．(1)求；(2)若面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，利用余弦定理求得，再在和中兩次利用正弦定理即可求出比值.（2）利用三角形面積公式即可求出（1）問的值，再利用余弦定理即可.【詳解】（1）因為,設,則,由余弦定理得，因為，所以在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得,因為,所以整理得.（2）由得,由（1）得,所以,在中,,由余弦定理得.3．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足，．(1)求角B的值；(2)求BC的取值范圍．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，采用正余弦定理或者三角形面積公式一一計算即可（2）根據(jù)題意，選擇①②③求得，設，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結合和三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】（1）選①：，即，由正弦定理可得：，整理得，所以，即，又，所以,得到，又，所以.選②：，由正弦定理可得：，整理得，即，又由余弦定理，所以，又，所以.選③：，根據(jù)條件得，得到，又，所以.綜上，無論選擇哪個條件，（2）設，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因為，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，所以的取值范圍是.4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，為邊上一點，.

(1)求角；(2)從下面兩個條件中選一個，求角.①；②.【答案】(1)(2)選擇條件①或②，都有【分析】（1）由余弦定理求解即可；（2）選擇條件①，在中，由正弦定理及角的范圍求解即可；選擇條件②，在中，由正弦定理及三角函數(shù)誘導公式求得結果.【詳解】（1）在中，由余弦定理可知：，又，.（2）若選擇條件①：在中，由正弦定理可知：，即，解得.在中，，從而，必有，又，故.若選擇條件②：在中，，，由正弦定理可知：，即，解得，又，則，，，故，在中，.5．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；(2)記，求的值．【答案】(1),(2)【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求解即可；（2）先利用平方和關系求出，進而求，，然后用兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得．由題設知，，所以．所以．在中，由余弦定理得．所以．（2）因為，所以．，．所以．6．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┰谥?，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，滿足.

(1)求的大??；(2)，點D在BC上，，在①，②，③這三個條件中任選一個作為條件，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正余弦定理邊角互化計算即可；（2）由題意分析可得，不管選哪個條件都需要利用正余弦定理進行邊角轉化，求出AC，再利用三角形面積公式求值即可.【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，即.由余弦定理得：，又，所以.

（2）選①：由上可知，在中，，由正弦定理得：，所以.故，在中，為銳角，，故，..在中，，故.所以的面積.選②：因為，所以.所以..在中，，故.所以的面積.選③：在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：.，故.所以的面積.7．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當四邊形內(nèi)接于圓O時，求角C；(2)當四邊形面積最大時，求對角線的長.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)，結合余弦定理求解即可；（2）將四邊形的面積拆成兩個三角形的面積之和，由余弦定理和三角形面積公式結合三角函數(shù)的性質即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得：，，所以.又四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，化簡可得，又，所以.（2）設四邊形的面積為S，則，又，所以，即平方后相加得，即，又，所以時，有最大值，即S有最大值.此時，，代入得.又，所以在中，可得：，即.所以，對角線的長為.8．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學?？级＃┤鐖D，在中，分別為邊上一點，.(1)若，求的長；(2)若，求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的長；（2）設，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.【詳解】（1）在中由余弦定理可得，又，所以，所以，解得或，因為為的斜邊，，故，所以，且；（2）設，則，又，故，因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，設，則，故，因為，所以，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以.9．（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）在中，，，點為內(nèi)一點.

(1)若（圖1），求的面積；(2)若（圖2），求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理得，從而可得，利用面積公式即可求解；（2）設，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得，又，，故．（2）設，因為，則，則，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因為，則，即當時，．10．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）如圖，四邊形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面積為，求ABC的周長；(2)若，，，求∠BDC的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長；（2）由（1）結合，，可設，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【詳解】（1）由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長為.（2）由（1）可知，又，，四邊形內(nèi)角和為，則.設，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.【真題感知】1．（全國·高考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【答案】（1）（2）【詳解】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對大角進行判斷.（4）在三角形中，注意這個隱含條件的使用.試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）設∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化簡得cosα＝4s