專題18 共頂點(diǎn)模型的破解問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（解析版）

專題18共頂點(diǎn)模型的破解問題考向1等邊三角形共頂點(diǎn)【母題來源】2021年中考貴州省黔西南州卷【母題題文】如圖1，D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長線與AC交于點(diǎn)G，與CE交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接FA，小穎對該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．【答案】（1）證明：如圖1，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）解：結(jié)論正確，理由如下：如圖2，過A作BD，CF的垂線段分別交于點(diǎn)M，N，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，∴12×AM×BD∴AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，AF=∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【試題解析】（1）通過SAS證明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE；（2）作AM⊥BF，AN⊥CE，由全等知AG＝AH，從而得到AF平分∠BFE，證出∠AFM＝∠AFN＝60°，從而證出結(jié)論．【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【命題方向】一般為解答題，放置于壓軸位置，以類比探究為解決問題的基本思想方法.【得分要點(diǎn)】等邊△ABC與等邊△DCE，B、C、E三點(diǎn)共線．連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F，BD交AC于點(diǎn)G，AE交DC于點(diǎn)H，連結(jié)CF、GH，則：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH為等邊三角形．考向2等腰直角三角形共頂點(diǎn)【母題來源】2021年中考貴州省畢節(jié)卷【母題題文】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BD的延長線與CE交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如圖2，連接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】證明：（1）如圖1，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，又∵∠AOB＝∠COF，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE；（2）AF∥CD，理由如下：如圖2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，∴AG＝AH，又∵AG⊥BF，AH⊥CE，∴AF平分∠BFE，又∵∠BFE＝90°，∴∠AFD＝45°，∵∠BDC＝135°，∴∠FDC＝45°，∴∠AFD＝∠FDC，∴AF∥CD．【試題解析】（1）通過SAS證明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形內(nèi)角和定理可證BD⊥CE；（2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，從而得到AF平分∠BFE，證出∠AFD＝∠FDC＝45°，從而證出平行．【命題意圖】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【命題方向】一般設(shè)為解答題，具有很強(qiáng)的甄別性，為壓軸題【得分要點(diǎn)】等腰直角三角形共頂點(diǎn)：等腰Rt△ABC與等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如圖1，連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F，連結(jié)FC、AD、BE，則：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如圖2，若G、I分別為BE、AD的中點(diǎn)，則GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE.1．（2021?山東膠州市模擬）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是邊AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，C不重合），以CE為一直角邊作Rt△ECD，∠ECD＝90°，連接BE，AD．若AC＝BC，CE＝CD．①猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；②現(xiàn)將圖1中的Rt△ECD繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)銳角α，得到圖2，請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．解：（1）BE＝AD，BE⊥AD；理由：在△BCE和△ACD中，∵CA=∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵∠EBC+∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ADC＝90°，∴BE⊥AD；（2）BE＝AD，BE⊥AD仍然成立；理由：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G，如圖，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．∵∠BFC＝∠AFG，∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠AFG+∠CAD＝90°．∴∠AGF＝90°．∴BE⊥AD．2.（2021?河南南陽一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線AD上一動點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，連接FC、FB，直線AD與BF相交于點(diǎn)G．（1）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，當(dāng)α＝60°時，填空：①AEBF的值為1②∠AGB的度數(shù)為60°；（2）[探究]如圖2，當(dāng)α＝120°時，請寫出AEBF（3）[應(yīng)用]如圖3，當(dāng)α＝90°時，若AB＝23，∠ACE＝15°，請直接寫出△DFG的面積．解：（1）①∵α＝60°，∴∠BAC＝∠CEF＝60°，∵AB＝AC，線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF（CE＝EF），∴△ABC和△EFC是等邊三角形，∴BC＝AC，F(xiàn)C＝EC，∠BCA＝∠FCE＝∠ACB＝60°，∴∠FCB＝∠ECA，∴△FCB≌△ECA（SAS），∴BF＝AE，∴AEBF故答案為：1；②由①得△FCB≌△ECA，∴∠FBC＝∠EAC，∵∠BDG＝∠ADC，∴∠BGD＝∠ACD＝60°，即∠AGB＝60°，故答案為：60°；（2）AEBF設(shè)CF與AD交于M，如圖：∵α＝120°，∴∠BAC＝∠CEF＝120°，∵AB＝AC，線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF（CE＝EF），∴∠BCA＝∠FCE＝30°，ABEF∴∠FCB＝∠ECA，△ABC∽△EFC，∴BCCF∴△FCB∽△ECA，∴AEBF∵∠FMG＝∠EMC，∴∠AGB＝∠FCE＝30°，在Rt△ACD中，CDAC∴ACCD∴AEBF（3）①當(dāng)E在線段AD上時，連接FD，過F作FK⊥AG于K，如圖：∵α＝90°，AB＝AC，線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，∴△ABC和△EFC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∵∠ACE＝15°，∴∠DCE＝30°，∵AB＝23，∴AC＝2，3，BC＝26，∵AD⊥BC，∴BD＝CD=6在Rt△ECD中，cos30°=6∴CE＝22=∵∠DEC＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠FEK＝30°，∴FK=12EF∵BCAC∴△BCF∽△ACE，∴∠FBC＝∠EAC＝45°，∵AD⊥BC，∴△BDG時等腰直角三角形，∴DG＝BD=6∴△DFG的面積為12DG?FK=②當(dāng)E在DA延長線上時，連接FD，過F作FT⊥AD于T，如圖：∵∠ACE＝15°，∠ACD＝45°，∴∠ECD＝60°，∴∠DEC＝30°，∠EFD＝60°，∵CD=6∴CE＝FE＝26，在Rt△EFT中，F(xiàn)T＝FE?sin60°＝32，∵BCAC∴△BCF∽△ACE，∴∠BFC＝∠AEC＝30°，∴∠DGB＝∠BFC+∠BCF＝45°，∴△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BG=12BC∴△DFG的面積為12DG?FT=12×6綜上所述，△DFG的面積為3或33．3.（2021?浙江麗水模擬）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α角度（0°＜α＜180°），連接BD，CE．（1）求證：△ADB≌△AEC；（2）已知AB＝4，AD＝3，求解以下問題：①若0°＜α＜90°，且cosα＞3②若0°＜α＜180°，則點(diǎn)B，C，D，E中是否存在三點(diǎn)共線的情況？若存在，求出線段BD的長度；若不存在，請說明理由．（1）證明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AD=∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）如圖1，作DF⊥AB于F，AF＝AD?cosα＝3?cosα，∴DF2＝AD2﹣AF2＝32﹣（3cosα）2＝9﹣9cos2α，∴BF＝AB﹣AF＝4﹣3?cosα，在Rt△BDF中，由勾股定理得，BD2＝BF2+DF2＝（4﹣3cosα）2+9﹣9cos2α＝25﹣24?cosα，∵cosα＞3∴25﹣24?cosα＜7，∴0＜BD＜7；（3）如圖2，當(dāng)D、E、C共線時，作AF⊥DE于F，∴∠AFC＝90°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AF＝EF＝AE?sin45＝3×2在Rt△ACF中，AC＝4，AF=3∴CF=4∴CE＝CF﹣EF=46由（1）知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BD=46當(dāng)D、E、B共線時，作AF⊥DE于F，由上知：AF＝DF=322∴BD＝BF+DF=46綜上所述：BD=46?324.（2021?河南濮陽模擬）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△CAD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點(diǎn)A，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B，E．（1）如圖1，若A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，則∠CDE＝180°?α2（用含（2）如圖2，若A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，α＝60°，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）圖3中，若CA＝23，CD＝2，將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD⊥AC時，△CAD的面積最大，最大面積是23．解：（1）如圖1中，∵將△CAD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α，∴CD＝CE，∴∠CDE=180°?α2（2）AE＝BE+2理由如下：如圖2中，∵將△CAD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，且CF⊥DE，∴DF＝EF=3∵AE＝AD+DF+EF，∴AE＝BE+2（3）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵S△ACD=12AC?DF∴當(dāng)DF取得最大值時，△CAD面積最大，又∵在△CFD中，DF＜CD，∴只有當(dāng)CD旋轉(zhuǎn)到與AC垂直時，F(xiàn)D才能取得最大值，即FD＝CD＝2，∴△CAD的面積最大，最大面積是23，故答案為：CD⊥AC；23．5．（2021?福州模擬）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，以AE為斜邊，在△ABC外，作△ADE，使得∠ADE＝90°，且DE＝DA．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BE．（1）如圖2，當(dāng)α＝15°且BE∥AD時，求BE的長；（2）連接CE，設(shè)CE的中點(diǎn)為點(diǎn)F，AE的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接DF，直線DF與線段BE交于點(diǎn)G，連接GH．①求證：DF⊥BE；②探索線段GH，GD，GE之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥BE于M，∵∠ADE＝90°，DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA＝45°，∵BE∥AD，∴∠AEM＝∠DAE＝45°，∵AM⊥BE，∴∠EAM＝∠AEM＝45°，∴AM＝EM，∵α＝15°，∴∠DAB＝90°+15°+45°＝150°，∵AD∥BE，∴∠ABE+∠DAB＝180°，∴∠ABE＝30°，∴AM=12AB＝2＝ME，BM=3∴BE＝BM+ME＝23+（2）①證明：如圖3，延長ED至N，使DN＝DE，連接AN，連接NC交BE于點(diǎn)O，∵∠ADE＝90°，DN＝DE，∴AE＝AN，∴∠AEN＝∠ANE＝45°，∴∠NAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAN，又∵AN＝AE，AB＝AC，∴△ABE≌△ACN（SAS），∴∠ABE＝∠ACN，∵∠ABE+∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠ACB+∠ACN＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BE⊥NC，∵DN＝DE，點(diǎn)F是EC中點(diǎn)，∴DF∥NC，∴DF⊥BE；②解：GD﹣GE=2如圖4，連接DH，過點(diǎn)H作HP⊥HG，交DG于P，∵∠ADE＝90°，DN＝DE，點(diǎn)H是AE的中點(diǎn)，∴DH＝HE，DH⊥AE，∠DEA＝45°，∴∠DHE＝90°，∵HP⊥HG，∴∠PHG＝∠DHE＝90°，∴∠DHP＝∠EHG，∵DG⊥BE，∴∠DGE＝∠DHE＝90°，∴點(diǎn)D，點(diǎn)H，點(diǎn)G，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，∴∠DEH＝∠DGH＝45°，∴∠HPG＝∠DGH＝45°，∴PH＝HG，∴PG=2∵PH＝HG，∠DHP＝∠EHG，DH＝HE，∴△DPH≌△EHG（SAS），∴DP＝GE，∵DG﹣DP＝PG，∴DG﹣GE=26．（2021?山東臨沂模擬）問題情境：如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，F(xiàn)是AC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF連接BF、AD．探究展示：（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；②將圖1中的正方形CDEF繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，得到如圖2的情形．圖2中BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．拓展延伸：（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB＝90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖3，且AC＝4，BC＝3，CD=43，CF＝1，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD、AF，求BD2+AF（1）解：①∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∵∠ACB＝∠ACD＝90°，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴BF＝AD，延長BF交AD于點(diǎn)G，∵∠CAD＝∠CBA，∴∠CAD+∠AFG＝∠FBC+∠BFC＝90°，∴∠AGF＝90°，∴BF⊥AD；②BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，理由如下：證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝CF，∠FCD＝90°，∴∠ACB+∠ACF＝∠FCD+∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，∴∠CAD+∠AHO＝90°，∴∠AOH＝90°，∴BF⊥AD；（2）證明：連接DF，∵四邊形CDEF是矩形，∴∠FCD＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠FCD，∴∠ACB+∠ACF＝∠FCD+∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，∵AC＝4，BC＝3，CD=4∴BCAC∴△BCF∽△ACD，∴∠CBF＝∠CAD，又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，∴∠CAD+∠AHO＝90°，∴∠AOH＝90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD＝∠AOB＝90°，∴BD2＝OB2+OD2，AF2＝OA2+OF2，AB2＝OA2+OB2，DF2＝OF2+OD2，∴BD2+AF2＝OB2+OD2+OA2+OF2＝AB2+DF2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2＝32+42＝25，在Rt△FCD中，∠FCD＝90°，CD=4∴DF∴BD2+AF2=A7．（2021?湖北宜昌模擬）已知正方形ABCD與正方形BEFG，正方形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α度，其中0°＜α＜360°．（1）求證：AG＝CE，AG⊥CE．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在邊DC上時，∠BCE的值是否會改變，若不變，請求出∠BCE的度數(shù)，若改變，請說明理由．（3）若正方形ABCD的面積是