2020-2021學(xué)年江西省六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)文試題解析版

2020-2021學(xué)年江西省六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題意得，，則復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：C.2．運(yùn)用分析法證明成立，只需證（）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，化簡得，因?yàn)?，只需證明.故選：C.3．設(shè)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得到，即可求解.【詳解】由題意得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.故選:A.4．已知下表是某工廠的廣告費(fèi)用(萬元)與銷售額(萬元)的一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用(萬元)銷售額(萬元)由散點(diǎn)圖可知，銷售額與廣告費(fèi)用間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得，代入回歸直線方程可求得.【詳解】由表格數(shù)據(jù)得：，，.故選：B.5．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，若輸出的值為，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值，再判斷選項(xiàng).【詳解】由題意得，第一次循環(huán)，，﹔第二次循環(huán)，，；第三次循環(huán)，，；第四次循環(huán)，，；第五次循環(huán)，，，此時(shí)終止循環(huán)，所以判斷框內(nèi)應(yīng)填.故選：B.6．實(shí)數(shù)，，，，，，則，，三個(gè)數(shù)（）A．都小于4 B．至少有一個(gè)不小于4 C．都大于4 D．至少有一個(gè)不大于4【答案】B【分析】根據(jù)均值不等式，利用反證法推出矛盾，即可得正確答案．【詳解】假設(shè)三個(gè)數(shù)且且，相加得：，由基本不等式得：；；；相加得：，與假設(shè)矛盾；所以假設(shè)不成立，三個(gè)數(shù)、、至少有一個(gè)不小于4．故選：B7．若將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線，則曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，令，代入橢圓，化簡即可求解，得到答案.【詳解】設(shè)曲線上的點(diǎn)為，曲線上的點(diǎn)為，則，得，代入曲線，得，即曲線的方程是.故選：D.8．在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，則函數(shù)無極值點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)無極值點(diǎn)，由無零點(diǎn)求得，再由，，利用幾何概型公式求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)無極值點(diǎn)，所以無零點(diǎn)，∴，∵，，∴.在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，所對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?，則函數(shù)無極值點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，如圖所示：則所求概率.故選：B.9．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且，則（）A． B．2 C． D．10【答案】A【分析】首先求，再計(jì)算，最后根據(jù)公式計(jì)算模.【詳解】由題意得，，∴，∴.故選：A.10．某電視綜藝節(jié)目中，設(shè)置了如下游戲環(huán)節(jié)：工作人員分別在四位嘉賓甲、乙、丙、丁的后背貼上一張數(shù)字條，數(shù)字是1或2中的一個(gè)，每人都能看到別人的號碼，但看不到自己后背的號碼.丁問：“你們每人看到幾個(gè)1、幾個(gè)2？”甲說：“我看到三個(gè)1.”乙說：“我看到一個(gè)2和兩個(gè)1.”丙說：“我看到三個(gè)2.”三個(gè)回答中，只有號碼是1的嘉賓說了假話，則號碼為2的嘉賓有（）A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁【答案】D【分析】分別假設(shè)甲說真話和乙說的是假話進(jìn)行判斷.【詳解】若甲說真話，則乙、丙說假話，但按甲所說內(nèi)容看，乙說的又是真話，矛盾，故甲說的是假話，進(jìn)而可確定丙也說的是假話.若乙說的是假話，要么甲、丙中至少有一個(gè)2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙說的是真話，號碼為2的嘉賓只能是乙和丁.故選：D.11．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，……，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得最小值為，而，，所以由零點(diǎn)存在性定理可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】由題意得，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.∵，∴存在唯一.使得，即在上存在唯一零點(diǎn).∵，∴存在唯一，使得，即在上存在唯一零點(diǎn).綜上，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).故選：C.12．已知且，且，且，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，將原式變形即可得到、、，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合即可判斷；【詳解】解：設(shè).由且，變形得，即；由且，變形得﹐即；由且，變形得，即.∵，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的草圖如圖所示.∵，，，，，，∴，故選：A.二、填空題13．記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)，則___________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入即可求得的值.【詳解】解：∵，∴.∴，∴.故答案為：.14．若三角形的內(nèi)切圓半徑為，三邊的長分別為，，，則三角形的面積，根據(jù)類比思想，若四面體的內(nèi)切球半徑為，四個(gè)面的面積分別為、、、，則此四面體的體積______.【答案】【分析】根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【詳解】解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個(gè)面的距離都是，所以四面體的體積等于以為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去.一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性.②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）.15．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，若輸出的結(jié)果是9，則輸入的的取值范圍是___________.【答案】【分析】模擬程序運(yùn)行，根據(jù)結(jié)論確定循環(huán)條件．【詳解】第一次運(yùn)行時(shí)，，；第二次運(yùn)行時(shí)，，；由題意，此時(shí)；第三次運(yùn)行時(shí)，，；第四次運(yùn)行時(shí)，，；因?yàn)檩敵龅慕Y(jié)果是9，則.綜上，.故答案為：．16．已知實(shí)數(shù)與是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程的兩正實(shí)根分別為與，并得到的關(guān)系，代入后，設(shè)函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.【詳解】∵，∴方程的兩正實(shí)根分別為與，則，解得，且，，∴，，則，.令，，則.當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，則的最小值為.故答案為：三、解答題17．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）若，是曲線上兩點(diǎn)，，，求的值.【答案】（1）的參數(shù)方程為(為參數(shù))；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得曲線的參數(shù)方程；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的極坐標(biāo)方程，并得到的值.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，即，則曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）∵，即，∴，即.18．某縣有甲?乙兩個(gè)學(xué)校，其高三年級分別有1100人和1000人，為了了解這兩個(gè)學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)二模考試中的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表，規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀.甲校：分組頻數(shù)2310151531乙校：分組頻數(shù)129810103（1）試求，的值；（2）由以上統(tǒng)計(jì)表填寫下面列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與學(xué)校有關(guān).甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)附：參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）；（2）列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與學(xué)校有關(guān).【分析】（1）根據(jù)條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數(shù)，求出頻率分布表中的未知數(shù)；（2）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值，把觀測值同臨界值進(jìn)行比較，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與學(xué)校有關(guān)．【詳解】（1）由分層抽樣知，甲校抽取了人成績，乙校抽取了人成績，（2）列聯(lián)表如下：甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀102030不優(yōu)秀453075總計(jì)5550105∴，∴沒有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與學(xué)校有關(guān).19．已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）求證：對任意，，都有成立.【答案】（1）最小值為；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求閉區(qū)間上的最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分別求函數(shù)的最小值，以及函數(shù)的最大值，即可證明.【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.（2）由（1）知函數(shù)在處取得最小值，即，∴.∵，則.易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得最大值，即，∴，∴對任意，，都有成立.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由，利用與的關(guān)系，化簡可得，即可證得數(shù)列為等差數(shù)列，由公式計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）先求得，再化簡可得，利用裂項(xiàng)求和即可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，，∴，∵，∴，即，又，，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴.（2）由（1）得，，∴，∴.21．2020年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)；2020年也是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年.為貫徹落實(shí)黨中央全面建設(shè)小康社會(huì)的戰(zhàn)略部署.某貧困地區(qū)的廣大黨員干部深入農(nóng)村積極開展“精準(zhǔn)扶貧”工作﹒經(jīng)過多年的精心幫扶，2020年8月，為估計(jì)該地能否在2020年全面實(shí)現(xiàn)小康，統(tǒng)計(jì)了該地當(dāng)時(shí)最貧困的一個(gè)家庭2020年1至7月的人均月純收入，作出散點(diǎn)圖如下.觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)其家庭人均月純收入(元)與時(shí)間代碼之間不具有線性相關(guān)關(guān)系(記2020年1月?2月…分別為，，…，依此類推)，現(xiàn)考慮用對數(shù)函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與(，均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為家庭人均月純收入關(guān)于時(shí)間代碼的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程.參考數(shù)據(jù)：其中，.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）適宜；（2）.【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，得到函數(shù)更適宜，即可得到答案；（2）由，兩邊取對數(shù)得到，設(shè)，得到，結(jié)合最小二乘法，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，函數(shù)適宜作為家庭人均月純收入關(guān)于時(shí)間代碼的回歸方程類型.（2）由，兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得設(shè)，所以，因?yàn)?，，，所?把代入，得，所以，即，所以，即關(guān)于的回歸方程為.22．已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由單調(diào)性可知，即在上恒成立，采用分離變量法可求得的取值范圍；（2）由切線斜率可求得，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，得到，根據(jù)化簡得到，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：函