2022屆廣東省惠州市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆廣東省惠州市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)子集的概念、交集和并集運算、補集運算分析選項是否成立.【詳解】對于A：集合，，不滿足，則A錯；對于B：，則B錯；對于C：，則C正確；對于D：，則D錯.故選：C.2．若拋物線（）上一點P（2，）到其焦點的距離為4，則拋物線的標準方程為（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【答案】D【分析】由拋物線的定義可解答.【詳解】拋物線上一點到焦點的距離等于到其準線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標準方程為.故選：D.3．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由及解出與即可求解.【詳解】因為，且，，所以，，所以.故選：A.4．若，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】令，得，再令，即可求解．【詳解】令，代入得，令，得，所以.故選：B.5．現(xiàn)有名學(xué)生報名參加校園文化活動的個項目，每人須報項且只報項，則恰有名學(xué)生報同一項目的報名方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】首先從名學(xué)生中選名選報同一項目作為一個整體，然后從個項目中選擇個項目排列即可，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意首先從名學(xué)生中選名選報同一項目作為一個整體，然后從個項目中選擇個項目排列即可，故不同的報名方法種數(shù)為.故選：B.6．已知，則當時，與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定【答案】B【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，得或，結(jié)合圖像可得，，三段和的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出與的大小關(guān)系.【詳解】解：由函數(shù)，得函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)和的圖像，如圖所示，令，得或，結(jié)合圖像可知，當時，，則，當時，，則，當時，，則，綜上所述，當時，.故選：B.7．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若，則“”是“（）”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列增減性的定義以及等差數(shù)列的定義，結(jié)合充分、必要性定義判斷即可.【詳解】充分性：若，則，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，則，必要性成立.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.8．中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出算式，再利用對數(shù)的換底公式及題中的數(shù)據(jù)可求解.【詳解】將信噪比從1000提升至5000時，C大約增加了.故選：B.二、多選題9．對于實數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)不等關(guān)系對選項一一分析即可.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，從而有，故正確.故選：BCD10．如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．【答案】BC【分析】對A，由正八邊形性質(zhì)可證與平行，即可由基底定義判斷；對B，由正八邊形性質(zhì)可證，即可由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系判斷；對C，由，利用平行四邊形法則即可計算；對D，由，即可根據(jù)向量數(shù)量積定義計算【詳解】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項錯誤；，所以，所以，B項正確；因為，由平行四邊形法則可知，，C項正確；正八邊形的每一個內(nèi)角為，，所以，D項錯誤（或者從正八邊形的性質(zhì)可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯誤）.故選：BC11．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．與圖象的所有交點的橫坐標之和為【答案】BCD【解析】根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，再判斷各選項．【詳解】由題意，，∴，又，，又，∴，∴．∵，∴不是對稱軸，A錯；，∴是對稱中心，B正確；時，，∴在上單調(diào)遞增，C正確；，，或，即或，，又，∴，和為，D正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握“五點法”，通過五點法求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的性質(zhì)．本題方法是代入法，整體思想，即由已知求出的值或范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)得出結(jié)論．12．近年來，納米晶的多項技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，下圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為n的幾何體，則下列說法正確的有（）A．該結(jié)構(gòu)的納米晶個體的表面積為B．該結(jié)構(gòu)的納米晶個體的體積為C．該結(jié)構(gòu)的納米晶個體外接球的表面積為D．二面角A1?A2A3?B3的余弦值為【答案】ABD【分析】對于A：該幾何體是由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，代公式計算即可.對于B：棱長為a的正四面體的高為，根據(jù)割補法代公式計算.對于C：設(shè)外接球球心為O，三角形的中心為，正六邊形的中心為，則O在上，計算可得；對于D：二面角是原正四面體側(cè)面和底面成角的補角，計算可得.【詳解】對于A：該幾何體是由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，所以表面積，故A正確；對于B：棱長為a的正四面體的高為，所以，故B正確；對于C：設(shè)外接球球心為O，三角形的中心為，正六邊形的中心為，則O在上，幾何體上下底面距離為，可得，計算整理得，因此該幾何體的外接球表面積為，故C錯誤；對于D：二面角為是原正四面體側(cè)面和底面成角的補角，如圖，過正四面體的頂點作平面于點，易知為的中心，延長交于點，則為的中點，連接，設(shè)正四面體的棱長為2，則，所以，，因為平面，所以，又，，所以平面，平面，所以，所以即為所求側(cè)面與底面所成二面角的平面角，在中，，所以側(cè)面與底面所成二面角的平面角的余弦值為，所以二面角A1?A2A3?B3的余弦值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模等于___________.【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算化簡目標復(fù)數(shù)，再求其模長即可.【詳解】因為，所以模為1.故答案為：1.14．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的標準方程可以是___________.（寫出一個正確的方程即可.）【答案】【分析】對雙曲線的焦點位置進行分類討論，確定、的等量關(guān)系，可得出雙曲線的標準方程.【詳解】若雙曲線的焦點在軸上，則，此時，則雙曲線的方程為，此時雙曲線的方程可表示為；若雙曲線的焦點在軸上，則，此時，則雙曲線的方程為，此時雙曲線的方程可表示為.綜上所述，雙曲線的方程可表示為.故答案為：（可以取具體的數(shù)值）.15．若一個圓臺的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，且扇環(huán)的面積為，圓臺上?下底面圓的半徑分別為，（），則___________.【答案】2【分析】先求得圓臺的母線長，然后根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式列方程，化簡求得.【詳解】圓臺的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，所以圓臺的母線長為，圓臺的側(cè)面積為，所以.故答案為：216．如圖，曲柄連桿機構(gòu)中，曲柄CB繞C點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿AB的傳遞，活塞做直線往復(fù)運動.當曲柄在CB0位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A0處.設(shè)連桿AB長200，曲柄CB長70，則曲柄自CB0按順時針方向旋轉(zhuǎn)53.2°時，活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離A0A）約為___________.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°≈0.8）【答案】36【分析】在中，利用正弦定理求出，再求出，，再利用兩角和的正弦公式可求出，再利用正弦定理可求出，從而可求得答案【詳解】如圖，在中，，，，，由正弦定理，，∵，∴，故為銳角，∴，∴，所以，故.故曲柄按順時針方向旋轉(zhuǎn)時活塞移動的距離約為36mm.故答案為：36四、解答題17．惠州市某高中學(xué)校組織航天科普知識競賽，分小組進行知識問題競答.甲乙兩個小組分別從6個問題中隨機抽取3個問題進行回答，答對題目多者為勝.已知這6個問題中，甲組能正確回答其中4個問題，而乙組能正確回答每個問題的概率均為.甲?乙兩個小組的選題以及對每題的回答都是相互獨立，互不影響的.(1)求甲小組至少答對2個問題的概率；(2)若從甲乙兩個小組中選拔一組代表學(xué)校參加全市決賽，請分析說明選擇哪個小組更好？【答案】(1)(2)甲小組參加決賽更好【分析】（1）甲小組至少答對2道題目可分為答對2題或者答對3題，分別求出其概率，然后由互斥事件的概率加法公式可得答案.（2）甲小組抽取的3題中正確回答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3,求出X的期望和方差，設(shè)乙小組抽取的三題中正確回答的題數(shù)為Y，則，求出求出Y的期望和方差，比較得出答案.【詳解】(1)甲小組至少答對2道題目可分為答對2題或者答對3題；，所求概率(2)甲小組抽取的3題中正確回答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.，結(jié)合（1）可知，.設(shè)乙小組抽取的三題中正確回答的題數(shù)為Y，則，，由，可得，甲小組參加決賽更好.18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且.(1)求證：；(2)當時，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意利用二倍角公式及兩角和差的余弦公式得到，再由正弦定理將角化邊即可；（2）依題意是邊的中點，則，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及余弦定理得到，最后由余弦定理計算可得；【詳解】(1)證明：因為所以，所以所以，結(jié)合正弦定理，可得，命題得證.(2)解：由題意知，點是邊的中點，則兩邊平方整理得，即根據(jù)余弦定理兩式相加得，再由余弦定理19．已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若且，求集合A中所有元素的和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)求出和，根據(jù)等差數(shù)列定義即可求出，從而求出通項公式；(2)分n為奇數(shù)和偶數(shù)時討論數(shù)列的前項和為，由即可求出A.【詳解】(1)由，故，可得，，又∵，，∴，，∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴數(shù)列的公差，∴，∴；(2)由(1)得，，∴，可得，∴為奇數(shù)時，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，又，∴為偶數(shù)時，由得，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，∴.20．如圖1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E為AD的中點，連結(jié)BE，AC交于F，將△ABE沿BE折疊，使得平面ABE⊥平面BCDE（如圖2）.(1)求證：AF⊥CD；(2)求平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明面BCDE，來證得；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.【詳解】(1)連接EC，則△ABE?△BCE?△CDE都是正三角形，四邊形ABCE是菱形，所以，，又因為面面BCDE，面面，面ABE，所以面BCDE，又因為面BCDE，所以；(2)由（1）知FB?FC?FA兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，設(shè)平面ADE的法向量為，，令，，平面AFC的法向量為，設(shè)平面AFC與平面ADE的夾角的大小為，，所以平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值為.21．已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點，C2的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點在橢圓左頂點的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補角，求△F1QR面積S的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線角點可得橢圓半焦距，結(jié)合離心率可解；（2）由題可知，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程消元，利用韋達定理、弦長公式和點到直線的距離公式表示出面積，化簡，由基本不等式可得.【詳解】(1)由題意可得，拋物線的焦點為，所以橢圓的半焦距，又橢圓的離心率，所以，則，即，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)，，，∵與互補，∴，所以，化簡整理得①，設(shè)直線PQ為，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡整理可得，，可得②，由韋達定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，∴PQ的方程為，且由②可得，，即，由點到直線PQ的距離，令，，則，當且僅當時，等號成立，所以面積S最大值為.22．已知函數(shù)（）.(1)當m=0時，討論的單調(diào)性；(2)若不等式對恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）求得，再求二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負判斷的單調(diào)性，從而求得其正負，即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，對進行適度放縮，對參數(shù)與的大小關(guān)系進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可證明.【詳解】(1)當時，，則令，則因為時，；時，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞