2023年考研數(shù)學二真題與解析

2023年考研數(shù)學二真題一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．1．若函數(shù)在處連續(xù)，則（A）（B）（C）（D）【詳解】，，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足．所以應當選（A）2．設二階可導函數(shù)滿足，，且，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】注意到條件，則知道曲線在上都是凹的，根據(jù)凹凸性的定義，顯然當時，，當時，，并且兩個式子的等號不是處處成立，否則不滿足二階可導．所以．所以選擇（B）．當然，假如在考場上，不用這么具體考慮，可以考慮代一個特殊函數(shù)，此時，可判斷出選項（A），（C），（D）都是錯誤的，當然選擇（B）．希望同學們在復習基礎知識的同時，掌握這種做選擇題的技巧．3．設數(shù)列收斂，則（A）當時，（B）當時，(C）當時，（D）當時，【詳解】此題考核的是復合函數(shù)的極限運算法則，只有（D）是對的的．其實此題注意，設，則分別解方程時，發(fā)現(xiàn)只有第四個方程有唯一解，也就是得到．４．微分方程的特解可設為（）（A）（B）（C）（D）【詳解】微分方程的特性方程為，有一對共軛的復數(shù)根．所以不是特性方程的根，所以相應方程的特解應當設為；而是方程的單根，所以相應方程的特解應當設為；從而微分方程的特解可設為，應當選（C）．5．設具有一階偏導數(shù)，且對任意的都有，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】由條件對任意的都有可知對于是單調(diào)增長的，對就單調(diào)減少的．所以，只有第三個不等式可得對的結論（D），應當選（D）．6．甲、乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：米）處，如圖中，實線表達甲的速度曲線（單位：米/秒），虛線表達乙的速度曲線（單位：米/秒），三塊陰影部分的面積分別為，計時開始后乙追上甲的時刻為，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】由定積分的物理意義：當曲線表達變速直線運動的速度函數(shù)時，表達時刻內(nèi)所走的路程．本題中的陰影面積分別表達在時間段內(nèi)甲、乙兩人所走路程之差，顯然應當在時乙追上甲，應當選（C）．7．設為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】顯然這是矩陣相似對角化的題目．可知所以，所以可知選擇（B）．8．已知矩陣，，，則（A）相似，相似（B）相似，不相似（C）不相似，相似（D）不相似，不相似【詳解】矩陣的特性值都是．是否可對解化，只需要關心的情況．對于矩陣，，秩等于1，也就是矩陣屬于特性值存在兩個線性無關的特性向量，也就是可以對角化，也就是．對于矩陣，，秩等于2，也就是矩陣屬于特性值只有一個線性無關的特性向量，也就是不可以對角化，當然不相似故選擇（B）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9．曲線的斜漸近線為．解：，，所以斜漸近線為．10．設函數(shù)由參數(shù)方程擬定，則．【詳解】，所以．11.【詳解】12．設函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，且已知，，則【詳解】，所以，由，得，所以．13．．【詳解】互換二重積分的積分順序得：14．設矩陣的一個特性向量為，則．【詳解】根據(jù)特性向量的定義，有，解得．三、解答題15．（本題滿分10分）求極限【詳解】令，則，16．（本題滿分10分）設函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，，求，．【詳解】，；．17．（本題滿分10分）求【詳解】由定積分的定義18．（本題滿分10分）已知函數(shù)是由方程．【詳解】在方程兩邊同時對求導，得（1）在（1）兩邊同時對求導，得也就是令，得．當時，；當時，當時，，，函數(shù)取極大值；當時，，函數(shù)取極小值．19．（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間上具有二階導數(shù)，且，，證明：（1）方程在區(qū)間至少存在一個實根；（2）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根．證明：（1）根據(jù)的局部保號性的結論，由條件可知，存在，及，使得，由于在上連續(xù)，且，由零點定理，存在，使得，也就是方程在區(qū)間至少存在一個實根；（2）由條件可知，由（1）可知，由洛爾定理，存在，使得；設，由條件可知在區(qū)間上可導，且，分別在區(qū)間上對函數(shù)使用爾定理，則存在使得，也就是方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根．20．（本題滿分11分）已知平面區(qū)域，計算二重積分【詳解】由于積分區(qū)域關于軸左右對稱，所以由二重積分對稱性可知．所以其中運用瓦列斯公式，知21．（本題滿分11分）設是區(qū)間上的可導函數(shù)，且．點是曲線上的任意一點，在點處的切線與軸相交于點，法線與軸相交于點．若，求上的點的坐標滿足的方程．【詳解】曲線過點的切線方程為，令，得；曲線過點的法線方程為，令，得．由條件，可得微分方程標準形為，是個一階齊次型微分方程．設，方程化為，整理，得分離變量，兩邊積分，得由初始條件，得，擬定常數(shù)所以曲線的方程為．22．（本題滿分11分）設三階矩陣有三個不同的特性值，且（1）證明：；（2）若，求方程組的通解．【詳解】（1）證明：由于矩陣有三個不同的特性值，所以是非零矩陣，也就是．假若時，則是矩陣的二重特性值，與條件不符合，所以有，又由于，也就是線性相關，，也就只有．（2）由于，所以的基礎解系中只有一個線性無關的解向量．由于，所以基礎解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．23．（本題滿分11分）設二次型