數(shù)學八年級湘教版上冊第五章二次根式電子課件

二次根式本課內容本節(jié)內容5.1說一說正實數(shù)a的平方根是.運用運載火箭發(fā)射航天飛船時，火箭必須達到一定的速度（稱為第一宇宙速度），才能克服地球的引力，從而將飛船送入環(huán)地球運行的軌道.而第一宇宙速度v與地球半徑R之間存在如下關系：，其中重力加速度常數(shù)若已知地球半徑R，則第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正實數(shù)a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正實數(shù)a的平方根是.0的平方根是，5的平方根是，0的平方根是0，正實數(shù)a的平方根是．

因為速度一定大于0，所以第一宇宙速度

由于在實數(shù)范圍內，負實數(shù)沒有平方根，因此只有當被開方數(shù)是非負實數(shù)時，二次根式才在實數(shù)范圍內有意義．

我們把形如的式子叫作二次根式，根號下的數(shù)叫作被開方數(shù).

我們已經知道：每一個正實數(shù)a有且只有兩個平方根，一個記作，稱為a的算術平方根；另一個是舉例例1當x是怎樣的實數(shù)時，二次根式在實數(shù)范圍內有意義？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，當x≥1時，

在實數(shù)范圍內有意義.

在本套教材中，我們都是在實數(shù)范圍內討論二次根式有沒有意義，今后不再每次寫出“在實數(shù)范圍內”這幾個字.注意結論

對于非負實數(shù)a，由于

是a的一個平方根，因此舉例例2計算：

解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根據上述結果猜想，當a≥0時，.結論由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一個平方根.

當a≥0時，根據算術平方根的意義，有，由此得出：舉例例3計算：

解議一議議一議議一議議一議議一議議一議一般地，當a<0時，因此，我們可以得到：

當a<0時，是否仍然成立？為什么？1.當x是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式有意義？

練習答案：x≤1答案：x≥2.計算：

答案：3答案：3.計算：

答案：7答案：3答案：0.01動腦筋

計算下列各式，觀察計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

一般地，當a≥0，b≥0時，由于結論由此得出：

上述公式從左到右看，是積的算術平方根的性質.

利用這一性質，可以化簡二次根式．例4化簡下列二次根式．舉例解

化簡二次根式時，最后結果要求被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù).

今后在化簡二次根式時，可以直接把根號下的每一個平方因子去掉平方號以后移到根號外（注意：從根號下直接移到根號外的數(shù)必須是非負數(shù)）.舉例例5化簡下列二次根式．解

化簡二次根式時，最后結果要求被開方數(shù)不含分母.解

從例4、例5可以看出，這些式子的最后結果，具有以下特點：（1）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)（或因式）；（2）被開方數(shù)不含分母.

在二次根式的運算中，一般要把最后結果化為最簡二次根式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫作最簡二次根式.結論練習

化簡下列二次根式．解解

化簡下列二次根式．解二次根式的乘法和除法本課內容本節(jié)內容5.2說一說積的算術平方根的性質是什么？利用上述公式，可以進行二次根式的乘法運算．

我們把從右至左看，就可得舉例例1計算：

舉例例2計算：舉例例3

已知一張長方形圖片的長和寬分別是cm和cm，求這張長方形圖片的面積.解答：這張長方形圖片的面積為211.計算：

練習2.計算：3.已知三角形的一條邊為cm，這條邊上的高為cm，求該三角形的面積.解答：該三角形的面積為探究

計算下列各式，觀察計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

一般地，如果a＞0，則，因此，，則如果設a＞0，與互為倒數(shù).因此得到，結論

上述公式從左至右看，是商的算術平方根性質.利用這一性質，可以化簡二次根式.例4化簡下列二次根式．舉例解

從變形到是為了去掉分母中的根號.

化簡二次根式時，最后結果一般要求分母中不含有二次根式.把公式（*）從右至左看就可得：利用上述公式，可以進行二次根式的除法運算.

結論舉例例3計算：

例6舉例

電視塔越高，從塔頂發(fā)射出的電磁波傳播得越遠，從而能接收到電視節(jié)目信號的區(qū)域就越廣.已知電視塔高h（km）與電視節(jié)目信號的傳播半徑r（km）之間滿足（其中R是地球半徑）.現(xiàn)有兩座高分別為h1=400m，h2=450m的電視塔，問它們的傳播半徑之比等于多少？

因為解設兩座電視塔的傳播半徑分別為所以1.化簡下列二次根式：

練習2.計算：

3.已知長方形的面積是，寬為m，求長方形的長.解二次根式的加法和減法本課內容本節(jié)內容5.3做一做計算：

動腦筋

下圖是由面積分別為8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成.求BE的長.

因為正方形ABCD

和CEGH的邊長分別為和，

所以BE的長度為（化成最簡二次根式）（分配律）

在進行二次根式的加減運算時，通常應先將每個二次根式化簡，然后再將被開方數(shù)相同的二次根式的系數(shù)相加減，但被開方數(shù)不變.

舉例例1計算：

解

二次根式的加減與合并同類項類似.例2

下圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個相同圓心的圓構成.已知大圓和小圓的面積分別為763.02m2和150.72m，求圓環(huán)的寬度d（π取3.14）.舉例d解設大圓和小圓的半徑分別為R，r，面積分別為，，由，可知則答：圓環(huán)的寬度為1.計算：

練習2.計算：動腦筋

甲、乙兩個城市間計劃修建一條城際鐵路，其中有一段路基的橫斷面設計為上底寬，下底寬，高的梯形，這段路基長500m，那么這段路基的土石方為多少立方米呢（路基的土石方即等于路基的體積）？

路基的土石方等于路基橫斷面面積乘以路基的長度，所以，這段路基的土石方為：

即這段路基的土石方為

從上面的解答過程可以看到，二次根式的混合運算是根據實數(shù)的運算律進行的.舉例例3計算：

從例3可以看到，二次根式相乘，與多項式的乘法相類似，我們可以利用多項式的乘法公式，對某些二次根式的乘法進行簡便運算.舉例例4計算：舉例例5計算：解1.計算：

練習2.計算：3.計算：小結與復習

1.二次根式在實數(shù)范圍內有意義的條件是什么？

2.二次根式有哪些性質？

4.如何進行二次根式的加、減、乘、除運算？

舉例說明什么叫最簡二次根式，試寫出一個二次根式并將它化簡.加、減、乘、除運算二次根式性質最簡二次根式積的算術平方根的性質：商的算術平方根的